1 ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଶ୍ନ (30 ଟି ପ୍ରଶ୍ନ - 3 ପ୍ରକାର)

ପ୍ରକାର 1: ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଥିବା ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ

❓1 $(0, 0), (4, 0)$ ଓ $(0, 3)$ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓2 $(0, 0), (6, 0)$ ଓ $(0, 8)$ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓3 $(0, 0), (-2, 0)$ ଓ $(0, 5)$ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓4 $(0, 0), (10, 0)$ ଓ $(0, -4)$ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓5 $(0, 0), (a, 0)$ ଓ $(0, b)$ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓6 $(0, 0), (-6, 0)$ ଓ $(0, -6)$ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓7 $(0, 0), (3, 0)$ ଓ $(0, 4)$ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓8 $(0, 0), (5, 0)$ ଓ $(0, 12)$ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓9 $(0, 0), (7, 0)$ ଓ $(0, 2)$ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓10 $(0, 0), (-8, 0)$ ଓ $(0, 3)$ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

🌟withteachers.in🌟

ପ୍ରକାର 2: ଏକରେଖ୍ୟ (Collinear) ସର୍ତ୍ତ ଉପରେ ଆଧାରିତ

❓11 ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଥିଲେ, ସେମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ହେବ?

❓12 $(1, 1), (2, 2)$ ଓ $(x, 3)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହେଲେ $x$ ର ମାନ କେତେ?

❓13 $(0, 0), (1, 2)$ ଓ $(2, y)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହେଲେ $y$ ର ମାନ କେତେ?

❓14 ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଶୂନ ହେଲେ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ କିପରି ହେବେ?

❓15 $(a, 0), (0, b)$ ଓ $(0, 0)$ କେବେ ଏକରେଖ୍ୟ ହେବେ (ଯଦି କୌଣସି ଗୋଟିଏ ଶୂନ ହୁଏ)?

❓16 $(2, 3), (4, 6)$ ଓ $(6, k)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହେଲେ $k$ କେତେ?

❓17 $(1, -1), (2, -2)$ ଓ $(3, y)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହେଲେ $y$ କେତେ?

❓18 ଯଦି ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ଗଠନ କରନ୍ତି ନାହିଁ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ହେବ?

❓19 $(x, x), (2x, 2x)$ ଓ $(3x, 3x)$ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓20 $(0, 5), (0, 9)$ ଓ $(0, -2)$ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

🌟withteachers.in🌟

ପ୍ରକାର 3: ସାଧାରଣ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଉପରେ ଛୋଟ ପ୍ରଶ୍ନ

❓21 $(1, 1), (2, 1)$ ଓ $(1, 2)$ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓22 $(0, 1), (0, 2)$ ଓ $(1, 1)$ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓23 ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସର୍ବଦା କି ପ୍ରକାର ରାଶି ଅଟେ (ଧନାତ୍ମକ ନା ଋଣାତ୍ମକ)?

❓24 ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବାହାର କରିବାକୁ ହେଲେ ଏହାକୁ କେତୋଟି ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଏ?

❓25 $(2, 2), (4, 2)$ ଓ $(2, 6)$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓26 ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ରରେ ବାହାରେ ଥିବା ଭଗ୍ନାଂଶଟି କେତେ?

❓27 $(-1, 0), (1, 0)$ ଓ $(0, 2)$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓28 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ସମୟରେ ଋଣାତ୍ମକ ମାନ ଆସିଲେ କେଉଁ ଚିହ୍ନ (symbol) ବ୍ୟବହାର କରି ତାହାକୁ ଧନାତ୍ମକ କରାଯାଏ?

❓29 $(3, 3), (6, 3)$ ଓ $(3, 7)$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓30 $(0, 0), (1, 0)$ ଓ $(0, 1)$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

✅ ଉତ୍ତର (1 ମାର୍କ ପ୍ରଶ୍ନ):

✅1 6, ✅2 24, ✅3 5, ✅4 20, ✅5 $ab/2$, ✅6 18, ✅7 6, ✅8 30, ✅9 7, ✅10 12, ✅11 0, ✅12 3, ✅13 4, ✅14 ଏକରେଖ୍ୟ, ✅15 ଯଦି $a=0$ କିମ୍ବା $b=0$, ✅16 9, ✅17 -3, ✅18 0, ✅19 0, ✅20 0 (କାରଣ ସମସ୍ତେ y-ଅକ୍ଷ ଉପରେ), ✅21 0.5, ✅22 0.5, ✅23 ଧନାତ୍ମକ, ✅24 ଦୁଇଟି, ✅25 4, ✅26 1/2, ✅27 2, ✅28 ମଡ୍ୟୁଲସ୍ ବା $\vert{} \vert{}$, ✅29 6, ✅30 0.5।

🌟withteachers.in🌟

2 ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଶ୍ନ (20 ଟି ପ୍ରଶ୍ନ)

❓1 $(1, 2), (3, 4)$ ଓ $(5, 2)$ ଶୀର୍ଷବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓2 $(0, 0), (4, 5)$ ଓ $(-2, 3)$ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବାହାର କର।

❓3 $x$ ର ମାନ କେତେ ହେଲେ $(x, 2), (3, 4)$ ଓ $(4, 5)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହେବେ?

❓4 $(2, 3), (5, 7)$ ଓ $(1, y)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହେଲେ $y$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓5 $(-1, -2), (2, 3)$ ଓ $(-3, 4)$ ଶୀର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓6 ଦର୍ଶାଅ ଯେ $(1, 1), (2, 2)$ ଓ $(5, 5)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖ୍ୟ।

❓7 $(a, 0), (0, b)$ ଓ $(a, b)$ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓8 $(2, -2), (4, 2)$ ଓ $(-1, 3)$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓9 $k$ ର ମାନ କେତେ ହେଲେ $(1, -1), (2, k)$ ଓ $(4, 5)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହେବେ?

❓10 $(3, 1), (4, 3)$ ଓ $(5, 5)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ଗଠନ କରିବେ କି? କାରଣ ଦର୍ଶାଅ।

❓11 $(-4, 1), (2, 3)$ ଓ $(0, -5)$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର।

❓12 $(0, 0), (10, 12)$ ଓ $(5, 6)$ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓13 $p$ ର ମାନ କେତେ ହେଲେ $(p, p), (2, 3)$ ଓ $(4, 5)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହେବେ?

❓14 $(5, 6), (1, 2)$ ଓ $(3, 4)$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓15 $(1, 5), (3, 7)$ ଓ $(k, 9)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହେଲେ $k$ କେତେ?

❓16 $(-2, 0), (2, 0)$ ଓ $(0, 4)$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓17 ଦର୍ଶାଅ ଯେ $(0, 2), (2, 4)$ ଓ $(4, 6)$ ଏକରେଖ୍ୟ।

❓18 $(3, -4), (5, -2)$ ଓ $(1, -6)$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓19 $(0, 0), (a, b)$ ଓ $(-a, -b)$ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର।

❓20 $(2, 5), (4, 6)$ ଓ $(6, 7)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖ୍ୟ କି ନୁହେଁ ପରୀକ୍ଷା କର।

✅ ଉତ୍ତର (2 ମାର୍କ ପ୍ରଶ୍ନ):

✅1 4 ବର୍ଗ ଏକକ, ✅2 11 ବର୍ଗ ଏକକ, ✅3 $x=1$, ✅4 $y=5/3$, ✅5 13 ବର୍ଗ ଏକକ, ✅6 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 0, ତେଣୁ ଏକରେଖ୍ୟ, ✅7 $ab/2$ ବର୍ଗ ଏକକ, ✅8 13 ବର୍ଗ ଏକକ, ✅9 $k=1$, ✅10 ନାହିଁ, କାରଣ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 0 ଅଟେ, ✅11 16 ବର୍ଗ ଏକକ, ✅12 0 ବର୍ଗ ଏକକ (ଏକରେଖ୍ୟ), ✅13 $p=1$, ✅14 0 ବର୍ଗ ଏକକ, ✅15 $k=5$, ✅16 8 ବର୍ଗ ଏକକ, ✅17 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 0, ✅18 0 ବର୍ଗ ଏକକ, ✅19 0 (କାରଣ ସେମାନେ ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଯାଉଥିବା ସରଳରେଖାରେ ଅଛନ୍ତି), ✅20 ହଁ, ଏକରେଖ୍ୟ (କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 0)।

3 ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଶ୍ନ (15 ଟି ପ୍ରଶ୍ନ)

❓1 ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $(a, b+c), (b, c+a)$ ଏବଂ $(c, a+b)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖ୍ୟ।

✅1 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ରରେ ପକାଇଲେ ଫଳାଫଳ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କଟିଯାଇ 0 ଆସିବ। ତେଣୁ ଏକରେଖ୍ୟ।

❓2 $x$ ଏବଂ $y$ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ସ୍ଥାପନ କର ଯଦି $(x, y), (1, 2)$ ଏବଂ $(7, 0)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହୁଅନ୍ତି।

✅2 $x(2 - 0) + 1(0 - y) + 7(y - 2) = 0 \Rightarrow 2x - y + 7y - 14 = 0 \Rightarrow 2x + 6y - 14 = 0 \Rightarrow x + 3y = 7$।

❓3 ଯଦି $(3, -5), (-2, k)$ ଏବଂ $(1, 4)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 33.5 ବର୍ଗ ଏକକ ହୁଏ, ତେବେ $k$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

✅3 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା $k=6$ କିମ୍ବା $k=-151/4$ ମିଳିବ।

❓4 ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଶୀର୍ଷଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ $(1, 1), (3, 4), (5, -2)$ ଏବଂ $(4, -5)$ ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

✅4 ଏହାକୁ ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରି କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବାହାର କଲେ ମୋଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 14.5 ବର୍ଗ ଏକକ ଆସିବ।
🌟withteachers.in🌟

❓5 ଯଦି $(x, y)$ ବିନ୍ଦୁଟି $(3, 4)$ ଏବଂ $(-5, 6)$ କୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖା ଉପରେ ରହେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $x + 4y = 19$।

✅5 ଏକରେଖ୍ୟ ସର୍ତ୍ତ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $x(4 - 6) + 3(6 - y) - 5(y - 4) = 0 \Rightarrow -2x + 18 - 3y - 5y + 20 = 0 \Rightarrow 2x + 8y = 38 \Rightarrow x + 4y = 19$।

❓6 ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $(-1, -1), (5, 7)$ ଏବଂ $(8, 11)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ।

✅6 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $0.5 \times \vert{}-1(7-11) + 5(11 - (-1)) + 8(-1-7)\vert{} = 0.5 \times \vert{}4 + 60 - 64\vert{} = 0$। ପ୍ରମାଣିତ।

❓7 ଯଦି ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ $(k, 2k), (-k, 1)$ ଏବଂ $(3k, 3)$ ହୁଏ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 28 ବର୍ଗ ଏକକ ହୁଏ, ତେବେ $k$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

✅7 ସୂତ୍ରରେ ପକାଇ ସମାଧାନ କଲେ $k$ ର ଏକ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ମିଳିବ ଏବଂ $k$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ହେବ।

❓8 ଚତୁର୍ଭୁଜ $ABCD$ ର ଶୀର୍ଷ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ $(0, 0), (2, 0), (2, 2)$ ଓ $(0, 2)$ ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

✅8 ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜରେ ଭାଗ କଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 2 + 2 = 4 ବର୍ଗ ଏକକ। (ଏହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଟେ)।

❓9 ଯଦି $(a, b), (a', b')$ ଏବଂ $(a-a', b-b')$ ଏକରେଖ୍ୟ ହୁଅନ୍ତି, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $ab' = a'b$।

✅9 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ରକୁ 0 ସହ ସମାନ କଲେ: $ab' - a'b = 0 \Rightarrow ab' = a'b$ ପ୍ରମାଣିତ ହେବ।

❓10 $(-5, 7), (-4, -5), (-1, -6)$ ଓ $(4, 5)$ ଶୀର୍ଷବିଶିଷ୍ଟ ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

✅10 ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଯୋଗ କଲେ 72 ବର୍ଗ ଏକକ ମିଳିବ।

❓11 $(1, -1), (2, k)$ ଓ $(4, 5)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖ୍ୟ ହେଲେ $k$ ର ମାନ କେତେ?

✅11 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 0 କଲେ $1(k-5) + 2(5 - (-1)) + 4(-1-k) = 0 \Rightarrow k - 5 + 12 - 4 - 4k = 0 \Rightarrow 3k = 3 \Rightarrow k=1$।

❓12 ଦର୍ଶାଅ ଯେ $(p, q+r), (q, r+p)$ ଏବଂ $(r, p+q)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖ୍ୟ।

✅12 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବାହାର କଲେ ସମସ୍ତ ପଦ କଟିଯାଇ 0 ଆସିବ।

❓13 ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷଗୁଡ଼ିକ $(t, t-2), (t+2, t+2)$ ଓ $(t+3, t)$ ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $t$ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରେ ନାହିଁ।

✅13 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବାହାର କଲେ $t$ କଟିଯାଇ କେବଳ ଏକ ସଂଖ୍ୟା (4 ବର୍ଗ ଏକକ) ବାହାରିବ।

❓14 $(-2, 3), (3, -2)$ ଓ $(7, k)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହେଲେ $k$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

✅14 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 0 କଲେ $k = -6$ ଆସିବ।

❓15 ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ମଧ୍ୟମା ଏହାକୁ ଦୁଇଟି ସମାନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ (କୌଣସି ଉଦାହରଣ ନେଇ)।

✅15 $(0,0), (4,0)$ ଓ $(2,4)$ ନେଇ ମଧ୍ୟମା ଟାଣି କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବାହାର କଲେ ଉଭୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 4 ବର୍ଗ ଏକକ ଆସିବ।

4 ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଶ୍ନ (10 ଟି ପ୍ରଶ୍ନ)

❓1 ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ରକୁ ଉପଯୋଗ କରି ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, $(a, 0), (0, b)$ ଏବଂ $(1, 1)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖ୍ୟ ହେଲେ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ହେବ।

✅1 ସମାଧାନ: ଏକରେଖ୍ୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $a(b - 1) + 0(1 - 0) + 1(0 - b) = 0 \Rightarrow ab - a - b = 0 \Rightarrow ab = a + b$। ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ $ab$ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$।
🌟withteachers.in🌟

❓2 ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ $A(-3, 2), B(5, 4), C(7, -6)$ ଏବଂ $D(-5, -4)$ ହେଲେ, ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

✅2 $AC$ କର୍ଣ୍ଣ ଅଙ୍କନ କରି $\Delta ABC$ ଏବଂ $\Delta ADC$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବାହାର କଲେ ମୋଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 80 ବର୍ଗ ଏକକ ହେବ।

❓3 ଯଦି ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ $A(3, 4)$ ଓ $B(5, -2)$ ଦିଆଯାଇଛି, $x$-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ $P$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହା ଫଳରେ $\Delta PAB$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 10 ବର୍ଗ ଏକକ ହେବ।

✅3 $x$-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁ $P(x, 0)$। କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ରରେ ପକାଇ ସମାଧାନ କଲେ $x$ ର ଦୁଇଟି ମାନ ମିଳିବ।

❓4 ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ ଓ $(x_3, y_3)$ ଶୀର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 0 ହେଲେ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖାରେ ରହିବେ।

✅4 ଏହା ଏକରେଖ୍ୟତାର ମୌଳିକ ପ୍ରମାଣ ଯେଉଁଠାରେ ଟ୍ରାପିଜିୟମର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ସମଷ୍ଟି ଶୂନ ହୁଏ ଅର୍ଥାତ୍ ଉଚ୍ଚତା ନଥାଏ।

❓5 $(2, 3), (3, -1)$ ଏବଂ $(4, 5)$ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରି ଗଠନ କରାଯାଇଥିବା ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

✅5 ମୂଳ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବାହାର କରି ତାହାର $1/4$ କଲେ ନୂତନ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ମିଳିବ।

❓6 $A(-2, 1), B(a, b)$ ଓ $C(4, -1)$ ଏକରେଖ୍ୟ ଏବଂ $a - b = 1$ ହେଲେ, $a$ ଓ $b$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

✅6 ଏକରେଖ୍ୟ ସର୍ତ୍ତରୁ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଏବଂ $a-b=1$ ରୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ସମୀକରଣ ପାଇ ସମାଧାନ କଲେ $a, b$ ମିଳିବ।

❓7 ଚତୁର୍ଭୁଜର ଶୀର୍ଷ $(1, 0), (2, 4), (0, 5), (-2, 1)$ ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ଦ୍ୱାରା ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥିବା ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ।

✅7 କର୍ଣ୍ଣ ଅଙ୍କନ କରି ପ୍ରମାଣ କରିବା ଯେ ମୋଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 11.5 ବର୍ଗ ଏକକ।

❓8 ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି ଶୀର୍ଷ $(a, a^2), (b, b^2)$ ଓ $(c, c^2)$। ଏମାନେ କେବେ ଏକରେଖ୍ୟ ହୋଇପାରିବେ ନାହିଁ ଯଦି $a \neq b \neq c$ ହୁଏ, ପ୍ରମାଣ କର।

✅8 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବାହାର କଲେ $\vert{}(a-b)(b-c)(c-a)\vert{}$ ଆସିବ, ଯାହା ଶୂନ ହେବ ନାହିଁ।

❓9 $P(x, y)$ ବିନ୍ଦୁଟି $(A, 0)$ ଓ $(0, B)$ କୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖା ଉପରେ ଥିଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 0 ହେବାର ସର୍ତ୍ତରୁ ସରଳରେଖାର ସମୀକରଣ ମିଳିବ।

✅9 $\frac{x}{A} + \frac{y}{B} = 1$ ପ୍ରମାଣିତ ହେବ।

❓10 ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷ $(k, 2-2k), (-k+1, 2k)$ ଓ $(-4-k, 6-2k)$ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 70 ବର୍ଗ ଏକକ ହେଲେ, $k$ ର ମାନ ସ୍ଥିର କର।

✅10 ସୂତ୍ରରେ ପକାଇ ସମାଧାନ କଲେ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣରୁ $k$ ମିଳିବ।

🌟withteachers.in🌟

30 ଟି ବିଭିନ୍ନ ମାର୍କର ପ୍ରଶ୍ନ (ଉତ୍ତର ବିନା)

❓1 ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷ $(0, 0), (2, 2)$ ଓ $(4, 0)$ ହେଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓2 $(-3, 4), (5, -2)$ ଓ $(x, y)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହେବାର ସର୍ତ୍ତ ଲେଖ।

❓3 ଯଦି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣ ତାହାକୁ ସମାନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ, ତେବେ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି କି ପ୍ରକାର ହୋଇପାରେ?

❓4 $(1, -1), (2, -2)$ ଓ $(3, -3)$ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ଏକରେଖ୍ୟ କି?

❓5 ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସର୍ବଦା କେଉଁ ଚିହ୍ନ ବ୍ୟବହାର କରି ଧନାତ୍ମକ କରାଯାଏ?

❓6 $(0, 0), (a, 0)$ ଓ $(0, b)$ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ରଟି ଲେଖ।

❓7 $(-1, -2), (3, 4)$ ଓ $(5, 6)$ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓8 $x$ ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଥିବା ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ସର୍ବଦା କିପରି ହେବେ (ଏକରେଖ୍ୟ ନା ତ୍ରିଭୁଜ ଗଠନ କରିବେ)?

❓9 $(2, 3), (2, 5)$ ଓ $(2, 7)$ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓10 ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ତାହାର ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର _______ ସହ ସମାନ।

❓11 $(p, q), (q, r)$ ଓ $(r, p)$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଶୂନ ହେଲେ କ’ଣ ପ୍ରମାଣିତ ହୁଏ?

❓12 $(-5, -6), (-4, -5)$ ଓ $(-3, -4)$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବାହାର କର।

❓13 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ରରେ $x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) = 0$ ହେଲେ ଏହାକୁ କି ସର୍ତ୍ତ କୁହାଯାଏ?

❓14 $(a, b), (c, d)$ ଏବଂ ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓15 ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 15 ବର୍ଗ ଏକକ ଏବଂ ଶୀର୍ଷ $(1, 3), (-2, 4), (x, 5)$ ହେଲେ $x$ କେତେ?

❓16 ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି ମଧ୍ୟମା ତ୍ରିଭୁଜକୁ କେତୋଟି ସମାନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତି?

❓17 $(10, 10), (20, 20)$ ଓ $(30, 30)$ ଏକରେଖ୍ୟ କି ନୁହେଁ କାରଣ ସହ ଦର୍ଶାଅ।

❓18 $(2, 0), (0, 2)$ ଓ $(2, 2)$ ଶୀର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓19 $k$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ହେଲେ $(k, 2), (2, 4)$ ଓ $(3, 5)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହେବେ?

❓20 ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ତିନୋଟି ଶୀର୍ଷ ଜଣାଥିଲେ ତାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କିପରି ବାହାର କରିବ?

❓21 $(-1, 1), (-2, 2)$ ଓ $(-3, y)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହେଲେ $y$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓22 $(0, 0), (5, 0)$ ଓ $(0, -5)$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓23 ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହେଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ହେବ?

❓24 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ରରେ $| |$ (ମଡ୍ୟୁଲସ୍) ର କାର୍ଯ୍ୟ କ’ଣ?

❓25 $(a^2, a), (b^2, b)$ ଓ $(c^2, c)$ କେବେ ଏକରେଖ୍ୟ ହୋଇପାରିବେ କି?

❓26 ଯଦି ଚାରୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଏକରେଖ୍ୟ ହୁଅନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓27 $(1, 1), (1, 5)$ ଓ $(5, 1)$ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜଟି କି ପ୍ରକାର ତ୍ରିଭୁଜ ଓ ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

❓28 କ୍ଷେତ୍ରଫଳକୁ କେଉଁ ଏକକ (unit) ରେ ମପାଯାଏ?

❓29 $(1/2, 1/2), (1, 1)$ ଓ $(2, 2)$ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବାହାର କର।

❓30 ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଦିଆଯାଇଥିଲେ ଡିଟରମିନାଣ୍ଟ (Determinant) ସାହାଯ୍ୟରେ କିପରି କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବାହାର କରିବେ ଲେଖ।

🌟withteachers.in🌟

📝 ଶ୍ରେଣୀ ପରୀକ୍ଷା (Class Test) 📝

ବିଷୟ ନାମ: ଗଣିତ (ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି - ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)

ସମୟ: ୪୫ ମିନିଟ୍ | ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା: ୨୫ ମାର୍କ

କ-ବିଭାଗ: ବହୁବିକଳ୍ପୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ (MCQ) - (5 x 1 = 5 ମାର୍କ)

❓1 $(0, 0), (4, 0)$ ଓ $(0, 3)$ ଶୀର୍ଷବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

(a) 12 (b) 6 © 7 (d) 10

❓2 ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଏକରେଖ୍ୟ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ହେବ?

(a) 1 (b) ସର୍ବାଧିକ © 0 (d) ନକାରାତ୍ମକ

❓3 ଯଦି $A(x, 0), B(0, y)$ ଏବଂ $C(0, 0)$ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ଗଠନ କରନ୍ତି, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେବ:

(a) $xy$ (b) $x+y$ © $0.5xy$ (d) $0.5(x+y)$

❓4 $(1, 1), (2, 2)$ ଓ $(3, 3)$ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

(a) 1 (b) 2 © 0 (d) 3

❓5 ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ $| |$ ଚିହ୍ନର ଅର୍ଥ କ’ଣ?

(a) ବର୍ଗମୂଳ (b) ମଡ୍ୟୁଲସ୍ (ପରମମାନ) © ବ୍ରାକେଟ୍ (d) ଗୁଣନଫଳ

ଖ-ବିଭାଗ: ଅତି ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ - (3 x 2 = 6 ମାର୍କ)

❓6 $(2, 3), (4, 5)$ ଓ $(6, y)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହେଲେ $y$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓7 $(0, 0), (8, 0)$ ଓ $(0, 6)$ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓8 ଦର୍ଶାଅ ଯେ $(-1, -2), (1, 0)$ ଏବଂ $(3, 2)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ।

ଗ-ବିଭାଗ: ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ - (2 x 3 = 6 ମାର୍କ)

❓9 ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(0, 0), (2, 0), (2, 3)$ ଓ $(0, 3)$ ହେଲେ, ଏହାକୁ ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରି ଏହାର ମୋଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର।

❓10 ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଯଦି $(a, 0), (0, b)$ ଏବଂ $(x, y)$ ଏକରେଖ୍ୟ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$।

ଘ-ବିଭାଗ: ଦୀର୍ଘ ପ୍ରଶ୍ନ - (2 x 4 = 8 ମାର୍କ)

❓11 ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(1, -3), (2, -5)$ ଓ $(x, 1)$ ଏବଂ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 4 ବର୍ଗ ଏକକ ହେଲେ, $x$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର।

❓12 ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି ସାହାଯ୍ୟରେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ମଧ୍ୟମା ତ୍ରିଭୁଜଟିକୁ ଦୁଇଟି ସମାନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ।