🎯 Question 1: 10ମ ଥର ପାଇଁ “ଇଡ୍‌ଲି-ବରା” କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାରେ କୁହାଯିବ ?

Answer:

“ଇଡ୍‌ଲି-ବରା” ଉଭୟ 3 ଓ 5 ର ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ, ଅର୍ଥାତ୍ 15 ର ଗୁଣିତକମାନଙ୍କ ପାଇଁ କୁହାଯାଏ।

ତେଣୁ, 10ମ ଥର ପାଇଁ ଏହା $15 \times 10 = 150$ ସଂଖ୍ୟାରେ କୁହାଯିବ।

🔢 Question 2: ଯଦି ଖେଳଟିକୁ 1 ଠାରୁ 100 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ଖେଳାଯିବ, ତେବେ:

a) ପିଲାମାନେ କେତେଥର “ଇଡ୍‌ଲି” କହିବେ (ଇଡ୍‌ଲି-ବରା କହିଥିବା ଥରକୁ ମିଶାଇ)

b) ପିଲାମାନେ କେତେଥର “ବରା” କହିବେ (ଇଡ୍‌ଲି-ବରା କହିଥିବା ଥରକୁ ମିଶାଇ)

c) ପିଲାମାନେ କେତେଥର “ଇଡ୍‌ଲି-ବରା” କହିବେ ?

Answer:

• a) “ଇଡ୍‌ଲି” ପାଇଁ ଆମେ 3 ର ଗୁଣିତକ ବାହାର କରିବା: $100 \div 3 = 33$ (ଭାଗଶେଷ 1)। ତେଣୁ ପିଲାମାନେ 33 ଥର “ଇଡ୍‌ଲି” କହିବେ।

• b) “ବରା” ପାଇଁ ଆମେ 5 ର ଗୁଣିତକ ବାହାର କରିବା: $100 \div 5 = 20$। ତେଣୁ ପିଲାମାନେ 20 ଥର “ବରା” କହିବେ।

• c) “ଇଡ୍‌ଲି-ବରା” ପାଇଁ ଆମେ 15 ର ଗୁଣିତକ ବାହାର କରିବା: $100 \div 15 = 6$ (ଭାଗଶେଷ 10)। ତେଣୁ ପିଲାମାନେ 6 ଥର “ଇଡ୍‌ଲି-ବରା” କହିବେ।

📈 Question 3: ଯଦି ଏହି ଖେଳଟିକୁ 900 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଖେଳାଗଲା, ତେବେ କ’ଣ ହେବ ? ତୁମେ କହିଥିବା ଉତ୍ତରଗୁଡ଼ିକ କିପରି ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେବ ?

Answer:

ଯଦି ଖେଳଟି 900 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଖେଳାଯାଏ, ତେବେ ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ଅନୁପାତିକ ଭାବେ ଏହିପରି ବଦଳିବ:

• ମୋଟ “ଇଡ୍‌ଲି” କହିବା ସଂଖ୍ୟା: $900 \div 3 = 300$ ଥର।

• ମୋଟ “ବରା” କହିବା ସଂଖ୍ୟା: $900 \div 5 = 180$ ଥର।

• ମୋଟ “ଇଡ୍‌ଲି-ବରା” କହିବା ସଂଖ୍ୟା: $900 \div 15 = 60$ ଥର।

🖼️ Question 4: ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଚିତ୍ରଟି “ଇଡ୍‌ଲି-ବରା” ଖେଳ ସହ କୌଣସି ପ୍ରକାରରେ ସମ୍ପର୍କିତ କି ?

(ସୂଚନା : 30 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଖେଳାଯାଇଥିବା ଖେଳଟିକୁ ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି । ଯଦି ଖେଳଟିକୁ 60 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଖେଳାଯାଏ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାକୁ ନେଇ ଏହିଭଳି ଏକ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର।)

ପ୍ରଶ୍ନ (Question):

ଆସ ବର୍ତ୍ତମାନ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ି ନେଇ ଇଡ୍‌ଲି-ବରା ଖେଳଟିକୁ ଖେଳିବା :

କ) 2 ଓ 5

ଖ) 3 ଓ 7

ଗ) 4 ଓ 6

ସାନ ସଂଖ୍ୟାଟିର ଗୁଣିତକ ପାଇଁ ଆମେ ‘ଇଡ୍‌ଲି’, ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣିତକ ପାଇଁ “ବରା” ଏବଂ ଉଭୟର ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ ପାଇଁ “ଇଡ୍‌ଲି-ବରା” କହିବା । ଯଦି ଖେଳ 60 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଖେଳାଯାଏ, ତେବେ ଚିତ୍ର 5.1 ପରି ଉପର ସଂଖ୍ୟାଯୋଡ଼ିମାନଙ୍କର ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ଅଙ୍କନ କର ।

ଉତ୍ତର (Answer):

ଖେଳର ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ, ଆମେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଯୋଡ଼ି ପାଇଁ ସାନ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣିତକକୁ “ଇଡ୍‌ଲି”, ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣିତକକୁ “ବରା” ଏବଂ ଉଭୟଙ୍କ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକକୁ (ଲ.ସା.ଗୁ.) “ଇଡ୍‌ଲି-ବରା” ଭାବରେ ନେବା। ଖେଳଟି 60 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଖେଳାଯିବ। ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବା ବେଳେ ତଥ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ କିପରି ସଜାଇବେ, ତାହା ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା:

କ) 2 ଓ 5 ଯୋଡ଼ି ପାଇଁ:

• ଇଡ୍‌ଲି (ସାନ ସଂଖ୍ୟା): 2 ର ଗୁଣିତକ 🥟

• ବରା (ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା): 5 ର ଗୁଣିତକ 🍩

• ଇଡ୍‌ଲି-ବରା (ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ): 2 ଓ 5 ର ଲ.ସା.ଗୁ. ହେଉଛି 10। ତେଣୁ 10 ର ଗୁଣିତକ।

ଚିତ୍ର (Venn Diagram) ରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସ୍ଥାନ:

ଖ) 3 ଓ 7 ଯୋଡ଼ି ପାଇଁ:

• ଇଡ୍‌ଲି (ସାନ ସଂଖ୍ୟା): 3 ର ଗୁଣିତକ 🥟

• ବରା (ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା): 7 ର ଗୁଣିତକ 🍩

• ଇଡ୍‌ଲି-ବରା (ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ): 3 ଓ 7 ର ଲ.ସା.ଗୁ. ହେଉଛି 21। ତେଣୁ 21 ର ଗୁଣିତକ।

ଚିତ୍ର (Venn Diagram) ରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସ୍ଥାନ:

ଗ) 4 ଓ 6 ଯୋଡ଼ି ପାଇଁ:

• ଇଡ୍‌ଲି (ସାନ ସଂଖ୍ୟା): 4 ର ଗୁଣିତକ 🥟

• ବରା (ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା): 6 ର ଗୁଣିତକ 🍩

• ଇଡ୍‌ଲି-ବରା (ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ): 4 ଓ 6 ର ଲ.ସା.ଗୁ. (ସର୍ବନିମ୍ନ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ) ହେଉଛି 12। ତେଣୁ 12 ର ଗୁଣିତକ।

ଚିତ୍ର (Venn Diagram) ରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସ୍ଥାନ:

ଆସ ବୁଝିବା ((Page No. 110 – 111)
1️⃣ Question: 310 ଓ 410 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା 40 ର ସମସ୍ତ ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer: 310 ଓ 410 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା 40 ର ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି: 320, 360, ଏବଂ 400।

2️⃣ Question: ମୁଁ କିଏ, କୁହ ?

କ) ମୁଁ 40 ଠାରୁ ଗୋଟିଏ ସାନ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ । ମୋର ଗୋଟିଏ ଗୁଣନୀୟକ 7 ଏବଂ ମୋର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 8 ଅଟେ ।

ଖ) ମୁଁ 100 ଠାରୁ ଗୋଟିଏ ସାନ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ । 3 ଓ 5 ମୋର ଦୁଇଟି ଗୁଣନୀୟକ ଅଟନ୍ତି । ମୋର ଗୋଟିଏ ଅଙ୍କ ଅନ୍ୟ ଅଙ୍କଠାରୁ 1 ଅଧିକ ।

Answer:

• କ) 40 ରୁ ସାନ 7 ର ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 7, 14, 21, 28, 35 । ଏମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେବଳ 35 ର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 8 ($3 + 5 = 8$) ଅଟେ। ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି 35।

• ଖ) 3 ଓ 5 ଉଭୟ ଯଦି ଗୁଣନୀୟକ ଅଟନ୍ତି, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି 15 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ହେବ। 100 ରୁ ସାନ 15 ର ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 15, 30, 45, 60, 75, 90। ଏମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେବଳ 45 ରେ ଗୋଟିଏ ଅଙ୍କ ଅନ୍ୟ ଅଙ୍କଠାରୁ 1 ଅଧିକ ($5 - 4 = 1$)। ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି 45।

3️⃣ Question: ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାର ସମସ୍ତ ଗୁଣନୀୟକମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି, ସଂଖ୍ୟାର ଦୁଇଗୁଣ ସହ ସମାନ, ସେହି ସଂଖ୍ୟାକୁ “ପରିପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା” କୁହାଯାଏ । 28, ଏକ ପରିପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ । ଏହାର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 1, 2, 4, 7, 14 ଓ 28 | ଏହି ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ହେଲା, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 ଯାହା 28 ର 2 ଗୁଣ ସହ ସମାନ । 1 ଓ 10 ମଧ୍ୟରେ ଗୋଟିଏ ପରିପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer:

1 ଓ 10 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ପରିପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି 6।

କାରଣ 6 ର ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା 1, 2, 3, ଏବଂ 6। ଏଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି:

$$1 + 2 + 3 + 6 = 12$$

ଯାହାକି 6 ର ଦୁଇଗୁଣ ସହ ସମାନ।

4️⃣ Question: ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

କ) 20 ଓ 28

ଖ) 35 ଓ 50

ଗ) 4, 8 ଓ 12

ଘ) 5, 15 ଓ 25

Answer:

କ) 20 ଓ 28

• 20 ର ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 1, 2, 4, 5, 10, 20

• 28 ର ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 1, 2, 4, 7, 14, 28

• ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଉଭୟଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସମାନ ଥିବା ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 1, 2, 4। 🎯

ଖ) 35 ଓ 50

• 35 ର ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 1, 5, 7, 35

• 50 ର ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 1, 2, 5, 10, 25, 50

• ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଉଭୟଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସମାନ ଥିବା ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 1, 5। 🎯

ଗ) 4, 8 ଓ 12

• 4 ର ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 1, 2, 4

• 8 ର ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 1, 2, 4, 8

• 12 ର ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 1, 2, 3, 4, 6, 12

• ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ତିନୋଟିଯାକ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ସମାନ ଥିବା ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 1, 2, 4। 🎯

ଘ) 5, 15 ଓ 25

• 5 ର ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 1, 5

• 15 ର ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 1, 3, 5, 15

• 25 ର ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 1, 5, 25

• ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ତିନୋଟିଯାକ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ସମାନ ଥିବା ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 1, 5। 🎯

5️⃣ Question: ଏପରି 3ଟି ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକ 25 ର ଗୁଣିତକ ଅଟନ୍ତି କିନ୍ତୁ 50 ର ଗୁଣିତକ ନୁହଁନ୍ତି ।

ଏଠାରେ 5ମ ପ୍ରଶ୍ନର ଏକ ସ୍ପଷ୍ଟ ଏବଂ ବିସ୍ତୃତ ସମାଧାନ (Step-by-step solution) ଦିଆଗଲା, ଯାହାଦ୍ୱାରା ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ଏହାକୁ ଅତି ସହଜରେ ବୁଝିପାରିବେ। 📝✨

5️⃣ Question: ଏପରି 3ଟି ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକ 25 ର ଗୁଣିତକ ଅଟନ୍ତି କିନ୍ତୁ 50 ର ଗୁଣିତକ ନୁହଁନ୍ତି ।

Answer:

ଏହି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ପାଇବା ପାଇଁ ଆମେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସୋପାନଗୁଡ଼ିକୁ ଅନୁସରଣ କରିବା:

ସୋପାନ 1: ପ୍ରଥମେ, 25 ର କିଛି ଗୁଣିତକ (Multiples of 25) ବାହାର କରିବା।

• $25 \times 1 = 25$

• $25 \times 2 = 50$

• $25 \times 3 = 75$

• $25 \times 4 = 100$

• $25 \times 5 = 125$

• $25 \times 6 = 150$

ଅର୍ଥାତ୍ 25 ର ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 25, 50, 75, 100, 125, 150…

ସୋପାନ 2: ବର୍ତ୍ତମାନ, 50 ର କିଛି ଗୁଣିତକ (Multiples of 50) ବାହାର କରିବା।

• $50 \times 1 = 50$

• $50 \times 2 = 100$

• $50 \times 3 = 150$

ଅର୍ଥାତ୍ 50 ର ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 50, 100, 150…

ଆମେ ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ ଦେଖିପାରିବା ଯେ 50, 100, 150 ଇତ୍ୟାଦି ଉଭୟ 25 ଏବଂ 50 ର ଗୁଣିତକ ଅଟନ୍ତି (ଯୁଗ୍ମ ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ)। କିନ୍ତୁ 25, 75, 125 ଇତ୍ୟାଦି କେବଳ 25 ର ଗୁଣିତକ ଅଟନ୍ତି ଏବଂ 50 ର ନୁହେଁ (ଅଯୁଗ୍ମ ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ)।

ତେଣୁ, ଆବଶ୍ୟକ ହେଉଥିବା 3ଟି ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 25, 75, ଏବଂ 125। 🎯

6️⃣ Question: ଅଂଶୁ ଏବଂ ତା’ର ସାଙ୍ଗମାନେ 10 ରୁ କମ୍ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ନେଇ ଇଡ୍‌ଲି-ବରା ଖେଳଟିକୁ ଖେଳୁଛନ୍ତି । 50 ପରେ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଜଣେ ପ୍ରଥମ ଥର ପାଇଁ ଇଡ୍‌ଲି-ବରା କହିଲା । ତେବେ କୁହ, ଇଡ୍‌ଲି ଓ ବରା ପାଇଁ କେଉଁ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ନିଆଯାଇପାରେ ?

Answer:

“ଇଡ୍‌ଲି-ବରା” କହିବାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାର ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ (ଲ.ସା.ଗୁ.)। ଯଦି ପ୍ରଥମ “ଇଡ୍‌ଲି-ବରା” 50 ପରେ କୁହାଯାଇଛି, ତେବେ ସେହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଲ.ସା.ଗୁ. 50 ରୁ ବଡ଼ ହୋଇଥିବ। 10 ରୁ କମ୍ ଏପରି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରିବେ 7 ଏବଂ 8।
(କାରଣ 7 ଓ 8 ର ଲ.ସା.ଗୁ ହେଉଛି 56, ଯାହା 50 ପରେ ଆସେ)।

7️⃣ Question: “ମୁଦ୍ରା ଖୋଜିବା/ପାଇବା ଖେଳ”ଟିରେ ରହିମ୍ 28 ଓ 70 ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ରଖିଲା । କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବଧାନରେ ଡେଇଁଲେ, ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାରେ ପହଞ୍ଚିପାରିବ ?

Answer:

ଉଭୟ 28 ଓ 70 ପାଖରେ ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ, ଡେଇଁବା ବ୍ୟବଧାନଟି ଉଭୟଙ୍କର ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ। 28 ଓ 70 ର ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା 1, 2, 7, ଏବଂ 14।

ତେଣୁ, ସେ 1, 2, 7, କିମ୍ବା 14 ବ୍ୟବଧାନରେ ଡେଇଁଲେ ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାରେ ପହଞ୍ଚିପାରିବ।

8️⃣ Question: ତଳେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଚିତ୍ରରେ, ଗୁନା ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଲିଭାଇଦେଇଛି । ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଖୋଜି ବାହାର କର ଏବଂ ଲିଭାଇ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଖାଲି ସ୍ଥାନରେ ପୂରଣ କର ।

ମଝି ଅଂଶରେ ଥିବା 24, 48, 72 ହେଉଛି ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାର ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ (Common Multiples)। ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ସେହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଲ.ସା.ଗୁ. 24 ଅଟେ। ସେହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ 8 ଏବଂ 12 ହୋଇପାରିବେ (କିମ୍ବା 6 ଓ 8 ମଧ୍ୟ ହୋଇପାରିବେ)।

ଯଦି ଆମେ 8 ଓ 12 ନେବା, ତେବେ:

• ଖାଲି ଥିବା ବାମ ବୃତ୍ତରେ 8 ର ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ରହିବ: 8, 16, 32, 40, 56, 64 ଇତ୍ୟାଦି।

• ଖାଲି ଥିବା ଡାହାଣ ବୃତ୍ତରେ 12 ର ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ରହିବ: 12, 36, 60 ଇତ୍ୟାଦି।

9️⃣ Question: 7 ବ୍ୟତୀତ, 1 ଠାରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

**Answer:**ଏହି ପ୍ରଶ୍ନରେ ଆମକୁ 7 କୁ ବାଦ୍ ଦେଇ, 1 ରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଥିବା ବାକି ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଲ.ସା.ଗୁ. (କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ ବା LCM) ବାହାର କରିବାକୁ ହେବ।

ପ୍ରଥମେ, ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରିବା: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, ଏବଂ 10

ଲ.ସା.ଗୁ. (LCM) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ, ଆମେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ (Prime factorization) କରିବା:

🔟 Question: ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯାହା 1 ଠାରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ ହେବ ।

ଉତ୍ତର:

1 ଠାରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ନେଲେ—

• 2 = 2

• 3 = 3

• 4 = 2²

• 5 = 5

• 6 = 2 × 3

• 7 = 7

• 8 = 2³

• 9 = 3²

• 10 = 2 × 5

ସର୍ବାଧିକ ଘାତ ବିଶିଷ୍ଟ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା:
2³ × 3² × 5 × 7
= 8 × 9 × 5 × 7
= 72 × 5 × 7
= 360 × 7
= 2520
ଅତଏବ, 1 ଠାରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ (ଲ.ସା.ଗୁ.) = 2520।

ଆସ ବୁଝିବା Page No. 113

Question: 21 ରୁ 30 ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ? 21 ରୁ 30 ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ?

Answer (ସମାଧାନ):

21 ରୁ 30 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଥିବା ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କଲେ:

• ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା (Prime Numbers): 21 ରୁ 30 ମଧ୍ୟରେ ମୋଟ 2 ଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି।

  ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 23 ଏବଂ 29।

• ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା (Composite Numbers): 21 ରୁ 30 ମଧ୍ୟରେ ମୋଟ 8 ଟି ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି।

  ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, ଏବଂ 30

ଆସ ବୁଝିବା Page No. 114 – 115
1️⃣ Question: ଆମେ ଦେଖିବା ଯେ 2 ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟ । ଏହିଭଳି ଅନ୍ୟ ଯୁଗ୍ମ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି କି ?

Answer: ନାହିଁ। 2 ହେଉଛି ଏକମାତ୍ର ଯୁଗ୍ମ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା। 2 ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା (ଯେପରିକି 4, 6, 8 ଇତ୍ୟାଦି) 2 ଦ୍ୱାରା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବାରୁ ସେଗୁଡ଼ିକ ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି।

2️⃣ Question: 100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଦେଖ। ଦୁଇଟି କ୍ରମାଗତ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ପାର୍ଥକ୍ୟ କେତେ ? ବୃହତ୍ତମ ପାର୍ଥକ୍ୟ କେତେ ?

Answer:
1 ଠାରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲା:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, ଏବଂ 97 ।

** : କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ପାର୍ଥକ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ**

ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 2 ଏବଂ ତା’ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 3।

ଏମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ପାର୍ଥକ୍ୟ:

$$3 - 2 = 1$$

** ବୃହତ୍ତମ ପାର୍ଥକ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ**

89 ଓ 97 ମଧ୍ୟରେ ପାର୍ଥକ୍ୟ: $97 - 89 = 8$

ଅତଏବ, ଦୁଇଟି କ୍ରମାଗତ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ:

• କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ପାର୍ଥକ୍ୟ ହେଉଛି 1

• ବୃହତ୍ତମ ପାର୍ଥକ୍ୟ ହେଉଛି 8

3️⃣ Question: ପୂର୍ବପୃଷ୍ଠାରେ ଥିବା ସାରଣୀର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ିରେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ରହୁଛି କି ? କେଉଁ ଦଶ ଭାଗରେ ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟକ ମୌଳିକ ଅଛି ? କେଉଁ ଦଶଭାଗରେ ସର୍ବାଧ‌ିକ ସଂଖ୍ୟକ ମୌଳିକ ଅଛି ?

Answer: ନା, ସାରଣୀର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ି ବା ଦଶଭାଗରେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ରହୁନାହିଁ।

• ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା 91 ରୁ 100 ଦଶଭାଗରେ ଅଛି (ଏଥିରେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ‘97’ ଅଛି)।

• ସର୍ବାଧିକ ସଂଖ୍ୟକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା 1 ରୁ 10 ଏବଂ 11 ରୁ 20 ଦଶଭାଗରେ ଅଛି (ଉଭୟରେ 4ଟି ଲେଖାଏଁ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି)।

4️⃣ Question: ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା : 23, 51, 37, 26 ?

Answer: ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ 23 ଏବଂ 37 ହେଉଛନ୍ତି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା।

(କାରଣ 51, 3 ଦ୍ୱାରା ଏବଂ 26, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଅଟନ୍ତି)

5️⃣ Question: 20 ଠାରୁ ସାନ 3 ଯୋଡ଼ା ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହାର ସମଷ୍ଟି 5 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଅଟେ।

Answer: 20 ରୁ ସାନ ଏପରି 3 ଯୋଡ଼ା ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି:

• 2 ଏବଂ 3 ($2 + 3 = 5$, ଯାହା 5 ର ଗୁଣିତକ)

• 2 ଏବଂ 13 ($2 + 13 = 15$, ଯାହା 5 ର ଗୁଣିତକ)

• 3 ଏବଂ 17 ($3 + 17 = 20$, ଯାହା 5 ର ଗୁଣିତକ)

  (ଅନ୍ୟ ଏକ ବିକଳ୍ପ: 7 ଏବଂ 13 ଯାହାର ସମଷ୍ଟି 20 ଅଟେ)

6️⃣ Question: 13 ଏବଂ 31 ହେଉଛି ଦୁଇଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଯେଉଁଥିରେ ସମାନ ଅଙ୍କ 1 ଓ 3 ଅଛି । 100 ମଧ୍ୟରେ, ଏହିପରି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଡ଼ିଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Answer: 100 ମଧ୍ୟରେ ସମାନ ଅଙ୍କ ବ୍ୟବହାର କରି ଗଠିତ ଏପରି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ିଗୁଡ଼ିକ ହେଲା:

• 17 ଏବଂ 71

• 37 ଏବଂ 73

• 79 ଏବଂ 97

7️⃣ Question: 1 ଓ 100 ମଧ୍ୟରେ 7ଟି କ୍ରମାଗତ ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer: 1 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା 7ଟି କ୍ରମାଗତ ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା (ଯାହା ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ) ହେଉଛି:

90, 91, 92, 93, 94, 95, ଏବଂ 96।

8️⃣ Question: ଯେଉଁ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ି ମଧ୍ଯରେ ପାର୍ଥକ୍ୟ 2 ଥାଏ, ସେମାନଙ୍କୁ ଯମଜ ମୌଳିକ କୁହାଯାଏ । ଉଦାହରଣ : 3 ଓ 5, 17 ଓ 19 ଯମଜ ମୌଳିକ ଅଟନ୍ତି । 1 ଠାରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ୟ ଯମଜ ମୌଳିକ ଗୁଡିକ ଲେଖ।

Answer: 1 ଠାରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଅନ୍ୟ ଯମଜ ମୌଳିକ (Twin Primes) ଯୋଡ଼ିଗୁଡ଼ିକ ହେଲା:

(5, 7), (11, 13), (29, 31), (41, 43), (59, 61), ଏବଂ (71, 73)।

9️⃣ Question: ଦିଆଯାଇଥିବା ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ କିମ୍ବା ଭୁଲ ଚିହ୍ନଟ କର ଏବଂ କାରଣ ଲେଖ।

କ) ଏପରି କୌଣସି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ, ଯାହାର ଏକକ ସ୍ଥାନର ଅଙ୍କ 4 ଅଟେ।

ଖ) ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ମଧ୍ୟ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରିବ।

ଗ) ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର କୌଣସି ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ ।

ଘ) ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ।

ଙ) 2 ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ତା’ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟା 3 ମଧ୍ୟ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା । 2 ଭିନ୍ନ ଅନ୍ୟ ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାଟି ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ।

Answer:

• କ) ଠିକ୍। କାରଣ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 4 ଥିଲେ, ତାହା 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ (ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା)। ତେଣୁ ଏହା ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ।

• ଖ) ଭୁଲ। ଦୁଇଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ସର୍ବଦା ଯୌଗିକ ହେବ, କାରଣ ସେହି ଗୁଣଫଳଟିର 1 ଓ ନିଜେ ବ୍ୟତୀତ ସେହି ଦୁଇଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟ ଗୁଣନୀୟକ ଭାବେ ରହିବେ।

• ଗ) ଭୁଲ। ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ଠିକ୍ ଦୁଇଟି ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ (1 ଏବଂ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ନିଜେ)। ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ କହିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭୁଲ।

• ଘ) ଭୁଲ। ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଯୌଗିକ ନୁହଁନ୍ତି। କାରଣ ‘2’ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ ମଧ୍ୟ ଏହା ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା।

• ଙ) ଠିକ୍। 2 କୁ ଛାଡିଦେଲେ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଯୁଗ୍ମ ଅଟନ୍ତି। ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟା ସର୍ବଦା ଯୁଗ୍ମ ହୋଇଥାଏ। ଏବଂ 2 ରୁ ବଡ଼ ଯେକୌଣସି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ସର୍ବଦା ଏକ ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ।

1️⃣0️⃣ Question: ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ତିନୋଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଅଟେ। 45, 60, 91, 105, 330 ?

Answer: 105।

କାରଣ ଏହାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ହେଉଛି: $105 = 3 \times 5 \times 7$ (ଯାହା ଠିକ୍ ତିନୋଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା)।

(ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ: $45 = 3 \times 3 \times 5$, $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$, $91 = 7 \times 13$, $330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11$)

1️⃣1️⃣ Question: 2, 4 ଏବଂ 5 ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ ଥରେ ଲେଖାଏଁ ବ୍ୟବହାର କରି କେତୋଟି ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଗଠନ କରିପାରିବ ?

Answer: ଶୂନ (0) ବା ଗୋଟିଏ ମଧ୍ୟ ନୁହେଁ।

କାରଣ ଏହି ତିନୋଟି ଅଙ୍କ (2, 4, ଏବଂ 5) କୁ ନେଇ ଗଠିତ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 2, 4, କିମ୍ବା 5 ରହିବ। ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 2 ବା 4 ରହିଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ଏବଂ 5 ରହିଲେ 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ। ତେଣୁ ସମସ୍ତ ଗଠିତ ସଂଖ୍ୟା ଯୌଗିକ ହେବେ।

1️⃣2️⃣ Question: ଲକ୍ଷ୍ୟକର, 3 ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $2 \times 3 + 1 = 7$ ମଧ୍ଯ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା, ଏପରି ଅନ୍ୟ କିଛି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି କି, ଯାହାର 2 ଗୁଣରେ 1 ଯୋଗ କଲେ, ଅନ୍ୟ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ମିଳିବ ? ଏପରି ଅତିକମ୍‌ରେ 5ଟିର ଉଦାହରଣ ଦିଅ।

Answer: ହଁ, ଏପରି ଅନେକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି। ଅତିକମ୍‌ରେ 5ଟି ଉଦାହରଣ ହେଉଛି:

• 2 ($2 \times 2 + 1 = 5$, ଯାହା ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା)

• 5 ($2 \times 5 + 1 = 11$, ଯାହା ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା)

• 11 ($2 \times 11 + 1 = 23$, ଯାହା ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା)

• 23 ($2 \times 23 + 1 = 47$, ଯାହା ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା)

• 29 ($2 \times 29 + 1 = 59$, ଯାହା ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା)

• 41 ($2 \times 41 + 1 = 83$, ଯାହା ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା)

ଆସ ବୁଝିବା Page No. 116
ପ୍ରଶ୍ନ ୧: ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଯୋଡ଼ିଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ? କ) 18 ଓ 35
ଖ) 15 ଓ 37
ଗ) 30 ଓ 415
ଘ) 17 ଓ 69
ଙ) 81 ଓ 18

ସମାଧାନ: ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର 1 ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ (Common Factor) ନଥିଲେ, ସେମାନଙ୍କୁ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ (Co-prime) କୁହାଯାଏ ।

• କ) 18 ଓ 35: 18 ର ଗୁଣନୀୟକ ହେଲା 1, 2, 3, 6, 9, 18 ଏବଂ 35 ର ଗୁଣନୀୟକ ହେଲା 1, 5, 7, 35। ଏମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ 1 ଛଡ଼ା ଅନ୍ୟ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ। ତେଣୁ ଏହା ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ଅଟେ।

• ଖ) 15 ଓ 37: 37 ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ 15 ଏହା ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ। ତେଣୁ ଏମାନଙ୍କର 1 ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ। ଏହା ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ଅଟେ।

• ଗ) 30 ଓ 415: ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 0 ଏବଂ 5 ଅଛି, ତେଣୁ ଏମାନେ 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ। ତେଣୁ ଏମାନଙ୍କର ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ 5 ଅଛି। ଏହା ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ନୁହେଁ।

• ଘ) 17 ଓ 69: 17 ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା। କିନ୍ତୁ 69, 17 ଦ୍ୱାରା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ। ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ 1 ବ୍ୟତୀତ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ। ଏହା ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ଅଟେ।

• ଙ) 81 ଓ 18: ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟା 9 (ଏବଂ 3) ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ। ତେଣୁ ଏହା ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ନୁହେଁ।

ପ୍ରଶ୍ନ ୨: ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଇଡ୍‌ଲି-ବରା ଖେଳ ଖେଳିବା ବେଳେ, ଅଂଶୁ କିଛି କୌତୁହଳ ତଥ୍ୟ ପାଇଥିଲା !

1. ବେଳେବେଳେ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରଥମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ ସଙ୍ଗେ ସମାନ ଅଟେ ।

2. ଅନ୍ୟ ସମୟରେ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଠାରୁ ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରଥମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ କମ୍ ଅଟେ । ଉପରୋକ୍ତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉକ୍ତି ପାଇଁ ଉଦାହରଣ ଦିଅ । ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ି ସହିତ ଏହା କିପରି ସମ୍ପର୍କିତ ?

ସମାଧାନ:

• ଉକ୍ତି 1 ର ଉଦାହରଣ: ଧରାଯାଉ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 3 ଏବଂ 5।

  ଏମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ = $3 \times 5 = 15$।

  ଏମାନଙ୍କର ପ୍ରଥମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ (ଲ.ସା.ଗୁ.) ମଧ୍ୟ = 15।

  ଏଠାରେ ଆମେ ଦେଖିପାରିବା ଯେ 3 ଏବଂ 5 ହେଉଛନ୍ତି ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା (କାରଣ ଏମାନଙ୍କର କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ)।

• ଉକ୍ତି 2 ର ଉଦାହରଣ: ଧରାଯାଉ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 4 ଏବଂ 6।

  ଏମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ = $4 \times 6 = 24$।

  କିନ୍ତୁ, 4 ଓ 6 ର ପ୍ରଥମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ (ଲ.ସା.ଗୁ.) ହେଉଛି 12।

  ଏଠାରେ ପ୍ରଥମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ (12), ଗୁଣଫଳ (24) ଠାରୁ କମ୍ ଅଟେ। ଆମେ ଦେଖିପାରିବା ଯେ 4 ଏବଂ 6 ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ନୁହଁନ୍ତି (କାରଣ ଉଭୟଙ୍କର ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ 2 ଅଛି)।

ଆସ ବୁଝିବା Page No. 120

1️⃣ Question: ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

64, 104, 105, 243, 320, 141, 1728, 729, 1024, 1331, 1000

Answer:

2️⃣ Question: ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଗୋଟିଏ 2 ଦୁଇଟି 3 ଏବଂ ଗୋଟିଏ 11 ଅଛି । ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer:

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ସଂଖ୍ୟାଟିର ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକୁ ଗୁଣନ କଲେ ଆମେ ସଂଖ୍ୟାଟି ପାଇବା:

$$2\times 3\times 3\times 11$$

$$=2\times 9\times 11$$

$$=18\times 11=198$$

ତେଣୁ, ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି 198।

3️⃣ Question: 30 ରୁ କମ୍ 3ଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯାହାର ଗୁଣଫଳ 1955 ହେବ ।

Answer:

1955 ର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 5 ଅଛି, ତେଣୁ ଏହା 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ। ଅର୍ଥାତ୍ ପ୍ରଥମ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି 5।

$$1955÷5=391$$

ବର୍ତ୍ତମାନ 391 କୁ ବାକି ଦୁଇଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କରିବା। 391 କୁ 17 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:

$$391=17\times 23$$

ଉଭୟ 17 ଏବଂ 23 ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକ 30 ରୁ କମ୍ ଅଟନ୍ତି।

ତେଣୁ, ସେହି 3ଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି: 5, 17, ଏବଂ 23
OR

4️⃣ Question: ଗୁଣନ ନକରି ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କର ।

a. 56 × 25

b. 108 × 75

c. 1000 × 81

Answer:

ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଗୁଣନ ନକରି, ଆମେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅଂଶର ପୃଥକ ଭାବରେ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରିବା:

• a. 56 × 25:

  $56=2\times 2\times 2\times 7$

  $25=5\times 5$

  ଦୁଇଟିକୁ ମିଶାଇ ଲେଖିଲେ:

  $$2\times 2\times 2\times 5\times 5\times 7$$

• b. 108 × 75:

  $108=2\times 2\times 3\times 3\times 3$

  $75=3\times 5\times 5$

  ଦୁଇଟିକୁ ମିଶାଇ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ଲେଖିଲେ:

  $$2\times 2\times 3\times 3\times 3\times 3\times 5\times 5$$

• c. 1000 × 81:

  $1000=2\times 2\times 2\times 5\times 5\times 5$

  $81=3\times 3\times 3\times 3$

  ଦୁଇଟିକୁ ମିଶାଇ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ଲେଖିଲେ:

  $$2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 3\times 3\times 5\times 5\times 5$$

5️⃣ Question: କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯାହାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ

a. 3ଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ରହିବ ।

b. 4ଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ରହିବ ।

Answer:

• a. 3ଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ରହିଥିବା କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ପାଇବା ପାଇଁ, ଆମକୁ ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ 3ଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା (2, 3, ଓ 5) କୁ ନେଇ ଗୁଣିବାକୁ ପଡ଼ିବ।

  $$2\times 3\times 5=30$$

  ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି 30।

• b. 4ଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ରହିଥିବା କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ପାଇବା ପାଇଁ, ଆମକୁ ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ 4ଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା (2, 3, 5, ଓ 7) କୁ ନେଇ ଗୁଣିବାକୁ ପଡ଼ିବ।

  $$2\times 3\times 5\times 7=210$$

  ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି 210।

ଆସ ବୁଝିବା Page No. 122

1️⃣ Question: ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଯୋଡ଼ିଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ କି ? ପ୍ରଥମେ ଅନୁମାନ କର ଏବଂ ତା’ପରେ ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣର ପ୍ରୟୋଗ କରି ତୁମ ଉତ୍ତରକୁ ଯାଞ୍ଚ କର।

କ) 30 ଓ 45 ଖ) 57 ଓ 85

ଗ) 121 ଓ 1331 ଘ) 343 ଓ 216

Answer:

ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଯଦି କୌଣସି ସାଧାରଣ (common) ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ନଥାଏ, ତେବେ ସେଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ (Co-prime) ଅଟନ୍ତି।

• କ) 30 ଓ 45

  $30 = 2 \times 3 \times 5$

  $45 = 3 \times 3 \times 5$

  ଏଠାରେ 3 ଏବଂ 5 ଉଭୟ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଅଟନ୍ତି। ତେଣୁ ଏହା ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ନୁହେଁ। ❌

• ଖ) 57 ଓ 85

  $57 = 3 \times 19$

  $85 = 5 \times 17$

  ଏଠାରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ। ତେଣୁ ଏହା ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ଅଟେ। ✅

• ଗ) 121 ଓ 1331

  $121 = 11 \times 11$

  $1331 = 11 \times 11 \times 11$

  ଏଠାରେ 11 ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଅଟେ। ତେଣୁ ଏହା ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ନୁହେଁ। ❌

• ଘ) 343 ଓ 216

  $343 = 7 \times 7 \times 7$

  $216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

  ଏଠାରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ। ତେଣୁ ଏହା ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ଅଟେ। ✅

2️⃣ Question: ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଯୋଡ଼ି ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାଟି ଦ୍ୱିତୀୟ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ବ୍ୟବହାର କରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

କ) 225 ଓ 27 ଖ) 96 ଓ 24

ଗ) 343 ଓ 17 ଘ) 999 ଓ 99

Answer:

ଯଦି ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଗୁଣନୀୟକ, ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଥାଏ, ତେବେ ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାଟି ଦ୍ୱିତୀୟ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।

• କ) 225 ଓ 27

  $225 = 3 \times 3 \times 5 \times 5$

  $27 = 3 \times 3 \times 3$

  27 ରେ ତିନୋଟି 3 ଅଛି, କିନ୍ତୁ 225 ରେ କେବଳ ଦୁଇଟି 3 ଅଛି। ତେଣୁ 225, 27 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ। ❌

• ଖ) 96 ଓ 24

  $96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$

  $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$

  24 ର ସମସ୍ତ ଉତ୍ପାଦକ ($2 \times 2 \times 2 \times 3$), 96 ର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଅଛି। ତେଣୁ 96, 24 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଅଟେ। ✅

• ଗ) 343 ଓ 17

  $343 = 7 \times 7 \times 7$

  $17 = 17$ (ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା)

  17, 343 ର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ନାହିଁ। ତେଣୁ 343, 17 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ। ❌

• ଘ) 999 ଓ 99

  $999 = 3 \times 3 \times 3 \times 37$

  $99 = 3 \times 3 \times 11$

  99 ରେ ଥିବା 11, 999 ର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ନାହିଁ। ତେଣୁ 999, 99 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ। ❌

3️⃣ Question: ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ $2 \times 3 \times 7$ ଅଛି ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ $3 \times 7 \times 11$ ଅଛି। ସେମାନେ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ କି ? ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି ?

Answer:

• ପରସ୍ପର ମୌଳିକ (Co-prime) କି? ନାହିଁ। ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ 3 ଏବଂ 7 ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଭାବରେ ଅଛନ୍ତି। ତେଣୁ ସେମାନେ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ନୁହଁନ୍ତି। 🚫

• ବିଭାଜ୍ୟ କି (Divisible)? ନାହିଁ। ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାରେ 2 ଅଛି ଯାହା ଦ୍ୱିତୀୟରେ ନାହିଁ, ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାରେ 11 ଅଛି ଯାହା ପ୍ରଥମରେ ନାହିଁ। ତେଣୁ କୌଣସିଟି ଅନ୍ୟଟିର ସମସ୍ତ ଉତ୍ପାଦକ ଧାରଣ କରିନାହିଁ। ଅତଏବ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ। ➗❌

4️⃣ Question: ଗୁନା କହୁଛି, “ଯେ କୌଣସି ଦୁଇଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ଅଟନ୍ତି।” ସେ ଠିକ୍ କହୁଛି କି ?

Answer:

ହଁ, ଗୁନା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଠିକ୍ କହୁଛି। ✅

କାରଣ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର କେବଳ ଦୁଇଟି ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ: 1 ଏବଂ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ନିଜେ। ତେଣୁ ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ଅଲଗା ଅଲଗା ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ନେଲେ (ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ: 5 ଓ 7, କିମ୍ବା 11 ଓ 19), ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ 1 କୁ ଛାଡ଼ି ଅନ୍ୟ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ରହିବ ନାହିଁ। ଏହି କାରଣରୁ ସେମାନେ ସର୍ବଦା ପରସ୍ପର ମୌଳିକ (Co-prime) ଅଟନ୍ତି।

ଆସ ବୁଝିବା Page No. 125 TO 126

ଏଠାରେ ଆପଣ ଅପଲୋଡ୍ କରିଥିବା ଦୁଇଟିଯାକ ଚିତ୍ର (ପୃଷ୍ଠା 125 ଓ 126 ର “ଆସ ବୁଝିବା” ଅନୁଶୀଳନୀ) ରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନର ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଗାଣିତିକ ସମାଧାନ ଦିଆଗଲା। 📝✨

1️⃣ Question: 2024 ବର୍ଷଟି ଏକ ଅଧିବର୍ଷ ଅଟେ (ଯେହେତୁ ଏହାର ଫେବୃଆରୀ ମାସ 29 ଦିନିଆ ଅଟେ) 100 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା କିନ୍ତୁ 400 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉନଥିବା ବର୍ଷଗୁଡ଼ିକ ବ୍ୟତୀତ 4 ର ଗୁଣିତକ ହେଉଥିବା ବର୍ଷଗୁଡ଼ିକରେ ଅଧିବର୍ଷ ପଡ଼ିବ।

କ) ତୁମ ଜନ୍ମ ବର୍ଷଠାରୁ ଆଜି ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ, କେଉଁ ବର୍ଷଗୁଡ଼ିକ ଅଧିବର୍ଷ ଅଟେ ?

ଖ) 2024 ଠାରୁ 2099 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ, କେତୋଟି ଅଧିବର୍ଷ ପଡ଼ିବ ?

Answer:

• କ) ଏହା ତୁମର ଜନ୍ମ ବର୍ଷ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି ତୁମର ଜନ୍ମ 2014 ରେ ହୋଇଥାଏ, ତେବେ 2014 ରୁ ବର୍ତ୍ତମାନ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅଧିବର୍ଷ (Leap year) ଗୁଡ଼ିକ ହେବ: 2016, 2020, ଏବଂ 2024।

• ଖ) 2024 ଠାରୁ 2099 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅଧିବର୍ଷଗୁଡ଼ିକ ବାହାର କରିବା ପାଇଁ, ଆମେ 4 ର ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକୁ ଗଣିବା:

  ପ୍ରଥମ ଅଧିବର୍ଷ = 2024 ଏବଂ ଶେଷ ଅଧିବର୍ଷ (2099 ପୂର୍ବରୁ) = 2096।

  ମୋଟ ଅଧିବର୍ଷ ସଂଖ୍ୟା = $\frac{2096 - 2024}{4} + 1$

  $= \frac{72}{4} + 1 = 18 + 1 = 19$।

  ତେଣୁ, ମୋଟ 19 ଟି ଅଧିବର୍ଷ ପଡ଼ିବ।

2️⃣ Question: 4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ତମ ଓ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ, ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକ 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବ ଏବଂ ପାଲିଣ୍ଡ୍ରୋମ୍ ହୋଇଥିବ।

Answer:

ପାଲିଣ୍ଡ୍ରୋମ୍ ସଂଖ୍ୟା (Palindrome number) ହେଉଛି ଏପରି ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଯାହାକୁ ଆଗରୁ କିମ୍ବା ପଛରୁ ପଢିଲେ ସମାନ ହୁଏ (ଯେପରି ABBA)। 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବା ପାଇଁ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଦୁଇଟି ଅଙ୍କ 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ। ଏହାସହ ଏହା ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବା ବାଧ୍ୟତାମୂଳକ।

• ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟା: ସର୍ବବୃହତ୍ ଯୁଗ୍ମ ଅଙ୍କ 8 କୁ ପ୍ରଥମ ଓ ଶେଷ ଅଙ୍କ ଭାବେ ନେଲେ (9 ନେଇହେବ ନାହିଁ କାରଣ ଅଯୁଗ୍ମ)। 8_ _8 ର ଶେଷ ଦୁଇ ଅଙ୍କ _8 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବା ପାଇଁ ସର୍ବବୃହତ୍ ସମ୍ଭବ ଅଙ୍କ 8 ନେବାକୁ ହେବ (88)। ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ: 8888।

• କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା: ସର୍ବନିମ୍ନ ଯୁଗ୍ମ ଅଙ୍କ 2 କୁ (0 ନେଇହେବ ନାହିଁ କାରଣ 4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ରହିବ ନାହିଁ) ପ୍ରଥମ ଓ ଶେଷ ଅଙ୍କ ଭାବେ ନେଲେ 2_ _2। ଶେଷ ଦୁଇ ଅଙ୍କ _2 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବା ପାଇଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସମ୍ଭବ ଅଙ୍କ 1 ନେବାକୁ ହେବ (12)। ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ: 2112।

3️⃣ Question: ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ସତ୍ୟ / ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ / ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ଲେଖ। ଉଦାହରଣ ଦେଇ ତୁମ ଯୁକ୍ତିର ସତ୍ୟତା ପ୍ରତିପାଦନ କର।

କ) ଦୁଇଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ, 4 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଅଟେ।

ଖ) ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ, 4 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଅଟେ।

Answer:

• କ) ଦୁଇଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ, 4 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଅଟେ।

  ଉତ୍ତର: ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ (Sometimes True)।

  ଯୁକ୍ତି: ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $2 + 6 = 8$ (ଯାହା 4 ର ଗୁଣିତକ ଅଟେ - ସତ୍ୟ)। କିନ୍ତୁ $2 + 4 = 6$ (ଯାହା 4 ର ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ - ସତ୍ୟ ନୁହେଁ)।

• ଖ) ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ, 4 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଅଟେ।

  ଉତ୍ତର: ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ (Sometimes True)।

  ଯୁକ୍ତି: ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $3 + 5 = 8$ (ଯାହା 4 ର ଗୁଣିତକ ଅଟେ - ସତ୍ୟ)। କିନ୍ତୁ $3 + 7 = 10$ (ଯାହା 4 ର ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ - ସତ୍ୟ ନୁହେଁ)।

4️⃣ Question: ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ କ) 10 ଖ) 5 ଗ) 2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ, ଭାଗଶେଷ କେତେ ହେବ, ସ୍ଥିର କର ।

78, 99, 173, 572, 980, 1111, 2345

Answer:

ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ 10, 5, ଏବଂ 2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କଲେ ମିଳୁଥିବା ଭାଗଶେଷ (Remainder) ଗୁଡ଼ିକ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା:

• 78 କୁ ଭାଗ କଲେ: 10 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 8, 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 3, ଏବଂ 2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 0 ହେବ।

• 99 କୁ ଭାଗ କଲେ: 10 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 9, 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 4, ଏବଂ 2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 1 ହେବ।

• 173 କୁ ଭାଗ କଲେ: 10 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 3, 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 3, ଏବଂ 2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 1 ହେବ।

• 572 କୁ ଭାଗ କଲେ: 10 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 2, 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 2, ଏବଂ 2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 0 ହେବ।

• 980 କୁ ଭାଗ କଲେ: 10 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 0, 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 0, ଏବଂ 2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 0 ହେବ।

• 1111 କୁ ଭାଗ କଲେ: 10 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 1, 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 1, ଏବଂ 2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 1 ହେବ।

• 2345 କୁ ଭାଗ କଲେ: 10 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 5, 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 0, ଏବଂ 2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗଶେଷ 1 ହେବ।

5️⃣ Question: 14560 ସଂଖ୍ୟାଟି 2, 4, 5, 8 ଏବଂ 10 ସମସ୍ତଙ୍କ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି ନୁହେଁ ? ଗୁନା ଏହି ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେବଳ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି 14560 ର ବିଭାଜ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କଲା ଏବଂ 14560 ସଂଖ୍ୟାଟି ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ବୋଲି କହିଲା। ଏହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା କ’ଣ ହୋଇଥିବ ?

Answer:

ହଁ, 14560 ସଂଖ୍ୟାଟି 2, 4, 5, 8 ଏବଂ 10 ସମସ୍ତଙ୍କ ଦ୍ଵାରା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ରୂପେ ବିଭାଜ୍ୟ ଅଟେ।

• ଗୁନା ବିଭାଜ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର କରିଥିବା ସେହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 5 ଏବଂ 8 (କିମ୍ବା 8 ଏବଂ 10 ମଧ୍ୟ ନେଇପାରିବ)।

• କାରଣ: 5 ଏବଂ 8 ହେଉଛନ୍ତି ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା (Co-prime numbers)। ଯଦି କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା 5 ଏବଂ 8 ଉଭୟଙ୍କ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହୁଏ, ତେବେ ତାହା ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ($5 \times 8 = 40$) ଦ୍ଵାରା ମଧ୍ୟ ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ। ଏବଂ 40 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ସ୍ୱତଃ 2, 4, ଏବଂ 10 ଦ୍ଵାରା ମଧ୍ୟ ବିଭାଜ୍ୟ ହୋଇଥାଏ (କାରଣ 2, 4, ଓ 10 ହେଉଛନ୍ତି 40 ର ଗୁଣନୀୟକ)।

6️⃣ Question: ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ 2, 4, 5, 8 ଓ 10 ସମସ୍ତଙ୍କ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ?

572, 2352, 5600, 6000, 77622160

Answer:

ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 2, 4, 5, 8 ଓ 10 ସମସ୍ତଙ୍କ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବା ପାଇଁ, ତାହାକୁ ଏହି ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଲ.ସା.ଗୁ. (ଅର୍ଥାତ୍ 40) ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବାକୁ ପଡ଼ିବ। ଏହାର ସହଜ ଅର୍ଥ ହେଉଛି: ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଅଙ୍କ ଶୂନ (0) ହୋଇଥିବ ଏବଂ ଶେଷ ତିନୋଟି ଅଙ୍କ ମିଶି 8 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବ।

ଆସନ୍ତୁ ପରୀକ୍ଷା କରିବା:

• $572$ (ଶେଷରେ 0 ନାହିଁ, ତେଣୁ ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ)

• $2352$ (ଶେଷରେ 0 ନାହିଁ, ତେଣୁ ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ)

• $5600$ (ଶେଷରେ 00 ଅଛି ଏବଂ 600, 8 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଅଟେ। ତେଣୁ ହଁ)

• $6000$ (ଶେଷରେ 000 ଅଛି, ଯାହା 8 ଦ୍ଵାରା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବିଭାଜ୍ୟ। ତେଣୁ ହଁ)

• $77622160$ (ଶେଷରେ 0 ଅଛି ଏବଂ 160, 8 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ। ତେଣୁ ହଁ)

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: 5600, 6000, ଏବଂ 77622160।

7️⃣ Question: ଏକକ ଅଙ୍କରେ ‘0’ ନ ଥାଇ, ଏପରି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ, ଯେଉଁମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 10000 ହେବ।

Answer:

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ:

$$10000 = 10^4$$

ଏହାକୁ ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ:

$$10^4 = (2 \times 5)^4 = 2^4 \times 5^4$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟିକୁ ଅଲଗା କଲେ ଆମେ ପାଇବା:

• ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟା $= 2^4 = 16$

• ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟା $= 5^4 = 625$

16 ଏବଂ 625 କୌଣସିଟିର ମଧ୍ୟ ଏକକ ଅଙ୍କରେ ଶୂନ (0) ନାହିଁ, କିନ୍ତୁ ସେମାନଙ୍କୁ ଗୁଣନ କଲେ ଗୁଣଫଳ ($16 \times 625$) ଠିକ୍ 10000 ହୋଇଥାଏ।

ତେଣୁ, ସେହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 16 ଏବଂ 625।