ପ୍ରିୟ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ, ନିଜର ପ୍ରସ୍ତୁତିକୁ ପରଖିବା ପାଇଁ ପ୍ରଥମେ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ ନିଜେ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ ଏବଂ ପରେ ନିଜ ଉତ୍ତରକୁ ସଠିକ୍ ଭାବେ ଯାଞ୍ଚ କରିବା ପାଇଁ ତଳେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଉତ୍ତର ସୂଚୀ ସହ ମିଳାଇ ଦେଖନ୍ତୁ। ପରୀକ୍ଷା ଉପଯୋଗୀ ଏହି ଅଭ୍ୟାସ ପତ୍ରିକାରେ ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଉତ୍ତରଗୁଡ଼ିକୁ ସୁନ୍ଦର ଭାବେ ପୃଥକ କରାଯାଇଛି, ଯାହା ଆପଣଙ୍କୁ ସିଧାସଳଖ ଅଭ୍ୟାସ କରିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିବ। MCQ ପାଇଁ MCQ Page Login କରନ୍ତୁ ।

✍️ ୧ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ (ସମାଧାନ ସହିତ)

1. $x-y=0$ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ରଟି କେଉଁ ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଗତି କରିବ?

• ସମାଧାନ: $x-y=0$ ଅର୍ଥାତ୍ $x=y$ । ଏହି ରେଖା ଉପରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁର x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଓ y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସମାନ ହେବ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, (0, 0), (1, 1), (2, 2) ଇତ୍ୟାଦି ।
• ଉତ୍ତର: ମୂଳବିନ୍ଦୁ (0, 0) (କିମ୍ବା (1, 1), (2, 2) ଇତ୍ୟାଦି ମଧ୍ୟ ସଠିକ୍) ।

2. $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ (ଯେଉଁଠାରେ $a_1, b_1$ ଏକ ସଙ୍ଗେ ଶୂନ ନୁହଁନ୍ତି) ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ରର ଜ୍ୟାମିତିକ ରୂପ କ'ଣ?

• ସମାଧାନ: ଦୁଇ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର ସର୍ବଦା ଏକ ସରଳରେଖା ହୋଇଥାଏ ।
• ଉତ୍ତର: ଏକ ସରଳରେଖା ।

3. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) $x-2y-7=0$ ସମୀକରଣ ପାଇଁ $x=1$ ହେଲେ $y=$ ____ ।

• ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣରେ $x=1$ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $1 - 2y - 7 = 0$ $\Rightarrow -2y - 6 = 0$ $\Rightarrow -2y = 6$ $\Rightarrow y = \frac{6}{-2} = -3$
• ଉତ୍ତର: -3

4. $k$ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $x+y=0$ ଓ $x+ky=0$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ?

• ସମାଧାନ: ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ (ଯେହେତୁ $c_1=0, c_2=0$) $\Rightarrow \frac{1}{1} = \frac{1}{k}$ $\Rightarrow 1 = \frac{1}{k}$ $\Rightarrow k=1$
• ଉତ୍ତର: $k=1$

5. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) ଯଦି $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ ହୁଏ, ତେବେ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ _____ ଓ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଅଟନ୍ତି ।

• ସମାଧାନ: ଏହା ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନର ସର୍ତ୍ତ । ଯେଉଁ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ଥାଏ (ଅନନ୍ୟ ବା ଅସଂଖ୍ୟ), ତାକୁ ସଙ୍ଗତ କୁହାଯାଏ ।
• ଉତ୍ତର: ସଙ୍ଗତ

6. $x+y-3=0$ ଓ $x+y-5=0$ ଲେଖଚିତ୍ର ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର କିପରି ଅବସ୍ଥିତ?

• ସମାଧାନ: ସର୍ତ୍ତ ପରୀକ୍ଷା କରିବା:
  • $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1$
  • $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{1} = 1$
  • $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5}$
• ଏଠାରେ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ । ଏହା ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବର ସର୍ତ୍ତ ଅଟେ, ଯାହାର ଲେଖଚିତ୍ର ସମାନ୍ତର ହୁଏ ।
• ଉତ୍ତର: ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ।

7. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) ଯଦି ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଲେଖଚିତ୍ର ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ____ ସମାଧାନ ଥାଏ ।

• ସମାଧାନ: ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ରେଖା କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ତେଣୁ କେବଳ ଗୋଟିଏ (ଅନନ୍ୟ) ସମାଧାନ ଥାଏ ।
• ଉତ୍ତର: କେବଳ ଗୋଟିଏ (ବା ଅନନ୍ୟ)

8. $y = 2x-1$ ରେଖାଟି y-ଅକ୍ଷକୁ କେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ?

• ସମାଧାନ: y-ଅକ୍ଷ ଉପରେ $x=0$ ହୁଏ । $y = 2(0) - 1$ $y = -1$
• ଉତ୍ତର: (0, -1)

9. $k$ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $2x-y+3=0$ ଓ $kx-y+3=0$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ ହେବେ?

• ସମାଧାନ: ସଙ୍ଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ (ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ) ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ $\Rightarrow \frac{2}{k} = \frac{-1}{-1} = \frac{3}{3}$ $\Rightarrow \frac{2}{k} = 1 = 1$ $\Rightarrow \frac{2}{k} = 1 \Rightarrow k=2$
• ଉତ୍ତର: $k=2$

10. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) ଯଦି $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ ହୁଏ, ତେବେ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ _____ ଅଟନ୍ତି ।

• ସମାଧାନ: ଏହା ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବର ସର୍ତ୍ତ । ଯେଉଁ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ, ତାକୁ ଅସଙ୍ଗତ କୁହାଯାଏ ।
• ଉତ୍ତର: ଅସଙ୍ଗତ

11. $(1, 1)$ ବିନ୍ଦୁଟି $3x+ty-6=0$ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କଲେ $t$ ର ମାନ କେତେ?

• ସମାଧାନ: $x=1, y=1$ ସମୀକରଣରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3(1) + t(1) - 6 = 0$ $\Rightarrow 3 + t - 6 = 0$ $\Rightarrow t - 3 = 0 \Rightarrow t = 3$
• ଉତ୍ତର: $t = 3$

12. $x-y=4$ ଓ $x+y=6$ ର ସମାଧାନ କ'ଣ?

• ସମାଧାନ: ଦୁଇ ସମୀକରଣକୁ ଯୋଗ କଲେ: $(x-y) + (x+y) = 4 + 6$ $\Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x=5$
• $x=5$ କୁ $x+y=6$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $5+y=6 \Rightarrow y=1$
• ଉତ୍ତର: $x=5, y=1$

13. $2x-y=0$ ସମୀକରଣ ପାଇଁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ ଲେଖ ।

• ସମାଧାନ: $2x-y=0 \Rightarrow y=2x$ । $x$ ର ଯେକୌଣସି ମାନ ପାଇଁ $y$ ର ମାନ ତା'ର ଦୁଇ ଗୁଣ ହେବ । ଯଦି $x=1$, ତେବେ $y=2$ ।
• ଉତ୍ତର: (1, 2) (ଅନ୍ୟ ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟ ସମ୍ଭବ, ଯଥା: (2, 4))

14. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) $a_{1}x+b_{1}y=0$ ଓ $a_{2}x+b_{2}y=0$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ____ ଅଟେ ।

• ସମାଧାନ: ଏହି ଦୁଇ ସମୀକରଣ ସର୍ବଦା (0, 0) ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ଵାରା ସିଦ୍ଧ ହୁଅନ୍ତି ($a_1(0)+b_1(0)=0$) । ଯଦି ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ଥାଏ, ତେବେ ତାହା (0, 0) ହିଁ ହେବ ।
• ଉତ୍ତର: (0, 0)

15. $x+y=0$ ଲେଖଚିତ୍ରଟି କେଉଁ ପାଦ (Quadrant) ଦେଇ ଗତି କରେ?

• ସମାଧାନ: $x+y=0 \Rightarrow y=-x$ ।
  • ଯଦି $x$ ଧନାତ୍ମକ (ପାଦ 1 ବା 4), $y$ ଋଣାତ୍ମକ ହେବ । ତେଣୁ ରେଖାଟି ପାଦ ୪ (Fourth Quadrant) ରେ ଥିବ ।
  • ଯଦି $x$ ଋଣାତ୍ମକ (ପାଦ 2 ବା 3), $y$ ଧନାତ୍ମକ ହେବ । ତେଣୁ ରେଖାଟି ପାଦ ୨ (Second Quadrant) ରେ ଥିବ ।
• ଉତ୍ତର: ଦ୍ଵିତୀୟ ଓ ଚତୁର୍ଥ ପାଦ ।

16. $4x+6y=10$ ଓ $6x+9y=12$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଲେଖଚିତ୍ର ଦ୍ଵୟ କିପରି ହେବେ?

• ସମାଧାନ: ସର୍ତ୍ତ ପରୀକ୍ଷା କରିବା:
  • $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
  • $\frac{b_1}{b_2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
  • $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-10}{-12} = \frac{5}{6}$
• ଏଠାରେ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ । ଏହା ସମାନ୍ତର ରେଖାର ସର୍ତ୍ତ ।
• ଉତ୍ତର: ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ।

17. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) $x-4y+1=0$ ହେଲେ $y$ କୁ $x$ ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ $y=$ _____ ।

• ସମାଧାନ: $x-4y+1=0$ $\Rightarrow x+1 = 4y$ $\Rightarrow y = \frac{x+1}{4}$
• ଉତ୍ତର: $\frac{x+1}{4}$

18. $k$ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $kx+2y-3=0$ ଓ $6x-2y-3=0$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ନଥିବ?

• ସମାଧାନ: "ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ନଥିବ" ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ ହେବ । $\Rightarrow \frac{k}{6} = \frac{2}{-2}$ $\Rightarrow \frac{k}{6} = -1$ $\Rightarrow k = -6$
• ଉତ୍ତର: $k = -6$

19. $x+2y-3=0$ ରେଖାଟି x-ଅକ୍ଷକୁ କେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ?

• ସମାଧାନ: x-ଅକ୍ଷ ଉପରେ $y=0$ ହୁଏ । $x + 2(0) - 3 = 0$ $\Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
• ଉତ୍ତର: (3, 0)

20. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) ଯଦି ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ ହୁଏ, ତେବେ ଲେଖଚିତ୍ର ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ____ ଅଟନ୍ତି ।

• ସମାଧାନ: ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବର ଅର୍ଥ ରେଖା ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରନ୍ତି ନାହିଁ । ଏହା କେବଳ ସମାନ୍ତର ରେଖା କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମ୍ଭବ ।
• ଉତ୍ତର: ସମାନ୍ତର

21. $x-y=0$ ଓ $x+y=0$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ?

• ସମାଧାନ: ଦୁଇ ସମୀକରଣକୁ ଯୋଗ କଲେ: $(x-y) + (x+y) = 0 + 0$ $\Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x=0$
• $x=0$ କୁ $x-y=0$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $0-y=0 \Rightarrow y=0$
• ଉତ୍ତର: (0, 0)

22. $k=4$ ଭିନ୍ନ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ମାନ ପାଇଁ $4x+ky+8=0$ ଓ $2x+2y+2=0$ ର ସମାଧାନ କିପରି ହେବ?

• ସମାଧାନ: ସର୍ତ୍ତ ପରୀକ୍ଷା: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{2} = 2$ ଏବଂ $\frac{b_1}{b_2} = \frac{k}{2}$ ।
• ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ, ଅର୍ଥାତ୍ $2 \neq \frac{k}{2} \Rightarrow k \neq 4$ ।
• ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି $k \neq 4$, ତେଣୁ ଏହା ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନର ସର୍ତ୍ତକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।
• ଉତ୍ତର: ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ

23. $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ ସମୀକରଣରେ $a_1=0$ ଓ $b_1 \neq 0$ ହେଲେ ଲେଖଚିତ୍ରଟି କିପରି ହେବ?

• ସମାଧାନ: $a_1=0$ ହେଲେ ସମୀକରଣଟି $b_1y + c_1 = 0 \Rightarrow y = -\frac{c_1}{b_1}$ ହେବ ।
• $y = k$ (ଏକ ଧ୍ରୁବକ) ର ଲେଖଚିତ୍ର ସର୍ବଦା X-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ହୁଏ ।
• ଉତ୍ତର: X-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ।

24. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) $5x-3y=0$ ଓ $2x+ky=0$ ର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ $k=$ ____ ।

• ସମାଧାନ: ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ $\Rightarrow \frac{5}{2} = \frac{-3}{k}$ $\Rightarrow 5k = 2 \times (-3) = -6$ $\Rightarrow k = -\frac{6}{5}$
• ଉତ୍ତର: $-\frac{6}{5}$

25. $x+y=3$ ଓ $2x+2y=6$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ସମାଧାନର ସ୍ୱରୂପ କ'ଣ?

• ସମାଧାନ: ସର୍ତ୍ତ ପରୀକ୍ଷା:
  • $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
  • $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$
  • $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$
• ଏଠାରେ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ । ଏହା ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନର ସର୍ତ୍ତ ।
• ଉତ୍ତର: ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

26. $y=4$ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର କେଉଁ ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର?

• ସମାଧାନ: $y=4$ ରେଖାଟି Y-ଅକ୍ଷକୁ (0, 4) ରେ ଛେଦ କରେ ଏବଂ ଏହାର ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ପାଇଁ y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ 4 ଅଟେ । ଏହା X-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ।
• ଉତ୍ତର: X-ଅକ୍ଷ ।

27. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) $2x-y+2=0$ ସମୀକରଣଟି $(-1, k)$ ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ଵାରା ସିଦ୍ଧ ହେଲେ $k=$ ____ ।

• ସମାଧାନ: $x=-1$ ଓ $y=k$ ସମୀକରଣରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $2(-1) - k + 2 = 0$ $\Rightarrow -2 - k + 2 = 0$ $\Rightarrow -k = 0 \Rightarrow k = 0$
• ଉତ୍ତର: 0

28. $x=0$ ଓ $y=0$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ କ'ଣ?

• ସମାଧାନ: $x=0$ ହେଉଛି Y-ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣ ଏବଂ $y=0$ ହେଉଛି X-ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣ । ଏହି ଦୁଇ ଅକ୍ଷ ପରସ୍ପରକୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ (0, 0) ରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
• ଉତ୍ତର: $x=0, y=0$ ବା (0, 0) ।

29. $k$ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $kx+2y=5$ ଓ $3x+y=1$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ ହେବେ?

• ସମାଧାନ: ଅସଙ୍ଗତ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
  1. ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ: $\frac{k}{3} = \frac{2}{1} \Rightarrow k = 6$
  2. ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ପରୀକ୍ଷା: $\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \Rightarrow \frac{2}{1} \neq \frac{-5}{-1} \Rightarrow 2 \neq 5$ । ସର୍ତ୍ତ ସିଦ୍ଧ ହେଉଛି ।
• ଉତ୍ତର: $k=6$

30. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପଦ୍ଧତିରେ $y=2x$ ଓ $x+y=3$ କୁ ସମାଧାନ କଲେ $x$ ର ମାନ କେତେ?

• ସମାଧାନ: $y=2x$ କୁ ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $x + (2x) = 3$ $\Rightarrow 3x = 3$ $\Rightarrow x = 1$
• ଉତ୍ତର: $x = 1$