୧. ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

(i) ସମୀକରଣ: $x + y = 0$

• ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ: $(4, 5), (5, 5), (4, -4), (-4, 5)$

• ବୁଝାମଣା: ଏକ ବିନ୍ଦୁ $(x, y)$ ସମୀକରଣର ଏକ ସଠିକ୍ ସମାଧାନ ହେବ, ଯଦି ସେହି ବିନ୍ଦୁର ମାନକୁ ସମୀକରଣରେ ପକାଇଲେ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱ ସମାନ (LHS = RHS) ହେବ। ଏଠାରେ ବିକଳ୍ପ $(4, -4)$ କୁ ପରୀକ୍ଷା କଲେ: $x = 4$ ଏବଂ $y = -4$ ନେଲେ, ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ (LHS) $= 4 + (-4) = 4 - 4 = 0$ ହେବ। ଏହା ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱ (RHS) ଥିବା ଶୂନ ସହ ସମାନ ହେଉଛି।

• ଉତ୍ତର: $(4, -4)$

(ii) ସମୀକରଣ: $x - 2y = 0$

• ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ: $(4, 2), (-4, 2), (4, -2), (-4, -2)$

• ବୁଝାମଣା: ବିକଳ୍ପ $(4, 2)$ ରେ $x = 4$ ଏବଂ $y = 2$ ଅଛି। ଏହାକୁ ସମୀକରଣର ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱରେ (LHS) ପକାଇଲେ: $4 - 2(2) = 4 - 4 = 0$ ହେଉଛି। ତେଣୁ ଏହା ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି। ଅନ୍ୟ ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ପକାଇଲେ ଶୂନ ଆସିବ ନାହିଁ।

• ଉତ୍ତର: $(4, 2)$

(iii) ସମୀକରଣ: $2x + y + 2 = 0$

• ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ: $(0, 2), (2, 0), (-2, 0), (0, -2)$

• ବୁଝାମଣା: ବିକଳ୍ପ $(0, -2)$ କୁ ପରୀକ୍ଷା କଲେ ଆମେ $x = 0$ ଏବଂ $y = -2$ ପାଇବା। ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ (LHS) ରେ ଏହି ମାନ ପକାଇଲେ: $2(0) + (-2) + 2 = 0 - 2 + 2 = 0$ ହେଉଛି।

• ଉତ୍ତର: $(0, -2)$

(iv) ସମୀକରଣ: $x - 4y + 1 = 0$

• ପ୍ରଶ୍ନ: $x =$ ?

• ବୁଝାମଣା: ଏଠାରେ ଆମକୁ $x$ ର ମାନକୁ $y$ ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରିବାକୁ ହେବ। ସମୀକରଣର ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱରେ କେବଳ $x$ କୁ ରଖି, ବାକି ସବୁ ପଦକୁ ପାର୍ଶ୍ୱ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରି ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ (RHS) ନେବାକୁ ପଡ଼ିବ। ଗଣିତର ନିୟମ ଅନୁସାରେ ପାର୍ଶ୍ୱ ପରିବର୍ତ୍ତନ କଲେ ଚିହ୍ନ ବଦଳିଯାଏ। ତେଣୁ $-4y$ ଡାହାଣକୁ ଗଲେ $+4y$ ହେବ, ଏବଂ $+1$ ଡାହାଣକୁ ଗଲେ $-1$ ହେବ।

  ଅର୍ଥାତ୍, $x = 4y - 1$ ।

• ଉତ୍ତର: $4y - 1$

(v) ସମୀକରଣ: $2x - y + 2 = 0$

• ପ୍ରଶ୍ନ: $y =$ ?

• ବୁଝାମଣା: ଏଠାରେ ଆମକୁ $y$ ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରିବାକୁ ହେବ। ସମୀକରଣରେ $-y$ ଥିବାରୁ, କେବଳ ଏହାକୁ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ନେଇଗଲେ ଏହା ସହଜରେ ଧନାତ୍ମକ (positive) $+y$ ହୋଇଯିବ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତର କରିବାର ଆବଶ୍ୟକତା ରହିବ ନାହିଁ। ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱରେ କେବଳ $2x + 2$ ବଳିବ।

  ଅର୍ଥାତ୍, $2x + 2 = y$ କିମ୍ବା ଆମେ କହିପାରିବା $y = 2x + 2$ ।

• ଉତ୍ତର: $2x + 2$

(vi) ସମୀକରଣ: $x - 2y + 3 = 0$

• ପ୍ରଶ୍ନ: $y =$ ?

• ବୁଝାମଣା: ପୂର୍ବ ପ୍ରଶ୍ନ ଭଳି ପ୍ରଥମେ ଋଣାତ୍ମକ ପଦ $-2y$ କୁ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ନିଅନ୍ତୁ, ଯାହାଦ୍ୱାରା ତାହା ଧନାତ୍ମକ ହୋଇଯିବ:

  $x + 3 = 2y$

  ଏବେ କେବଳ $y$ ର ମାନ ପାଇବା ପାଇଁ, $y$ ସହ ଗୁଣନ ହୋଇଥିବା $2$ କୁ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଆଣି ଭାଗ (divide) କରିବାକୁ ହେବ:

  $y = \frac{x + 3}{2}$

  ଏହାକୁ ଆମେ ସୁବିଧା ପାଇଁ ଭଗ୍ନାଂଶ ଆକାରରେ $\frac{1}{2}(x + 3)$ ହିସାବରେ ମଧ୍ୟ ଲେଖିପାରିବା।

• ଉତ୍ତର: $\frac{1}{2}(x + 3)$

୪. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତର ଆବଶ୍ୟକ ।

(i) $kx + my + 4 = 0$ ଓ $2x + y + 1 = 0$ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ ହେଲେ $k : m$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଅସଙ୍ଗତ (Inconsistent) ହେବାର ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

ଏଠାରେ $a_1 = k, b_1 = m, c_1 = 4$ ଏବଂ $a_2 = 2, b_2 = 1, c_2 = 1$ ।

ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ:

$\frac{k}{2} = \frac{m}{1}$

$\Rightarrow k \times 1 = 2 \times m$

$\Rightarrow k = 2m$

$\Rightarrow \frac{k}{m} = \frac{2}{1}$

ଉତ୍ତର: ତେଣୁ $k : m = 2 : 1$ ।

(ii) $2x + 3y - 5 = 0$ ଓ $7x - 6y - 1 = 0$ ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ $(1, \beta)$ ହେଲେ $\beta$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଯେହେତୁ $(1, \beta)$ ସମୀକରଣର ଏକ ସମାଧାନ, ଏହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରିବ। ଅର୍ଥାତ୍ $x = 1$ ଏବଂ $y = \beta$ ।

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$2(1) + 3(\beta) - 5 = 0$

$\Rightarrow 2 + 3\beta - 5 = 0$

$\Rightarrow 3\beta - 3 = 0$

$\Rightarrow 3\beta = 3$

$\Rightarrow \beta = \frac{3}{3} = 1$

ଉତ୍ତର: $\beta$ ର ମୂଲ୍ୟ ହେବ $1$ ।

(iii) ‘$t$’ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $(1, 1)$, ସମୀକରଣ $3x + ty - 6 = 0$ ର ଅନ୍ୟ ଏକ ସମାଧାନ ହେବ ?

ସମାଧାନ:

ବିନ୍ଦୁ $(1, 1)$ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରିବ। ତେଣୁ $x = 1$ ଏବଂ $y = 1$ ପକାଇବା।

$3(1) + t(1) - 6 = 0$

$\Rightarrow 3 + t - 6 = 0$

$\Rightarrow t - 3 = 0$

$\Rightarrow t = 3$

ଉତ୍ତର: $t$ ର ମାନ $3$ ହେବ ।

(iv) ‘$t$’ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $(1, 1)$, $tx - 2y - 10 = 0$ ର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ହେବ ?

ସମାଧାନ:

ବିନ୍ଦୁ $(1, 1)$ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରିବ। ତେଣୁ $x = 1$ ଏବଂ $y = 1$ ପକାଇବା।

$t(1) - 2(1) - 10 = 0$

$\Rightarrow t - 2 - 10 = 0$

$\Rightarrow t - 12 = 0$

$\Rightarrow t = 12$

ଉତ୍ତର: $t$ ର ମାନ $12$ ହେବ ।

(v) ‘$t$’ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $tx + 2y = 0$ ଓ $3x + ty = 0$ ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ?

ସମାଧାନ:

ଏହି ଦୁଇଟି ସମୀକରଣରେ ଧ୍ରୁବକ (Constant) $c_1 = 0$ ଏବଂ $c_2 = 0$ ଅଟେ। ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ (Infinite solutions) ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$

ଏଠାରେ $a_1 = t, b_1 = 2$ ଏବଂ $a_2 = 3, b_2 = t$ ।

ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ:

$\frac{t}{3} = \frac{2}{t}$

ବଜ୍ରଗୁଣନ (Cross multiplication) କଲେ:

$t \times t = 3 \times 2$

$\Rightarrow t^2 = 6$

$\Rightarrow t = \pm\sqrt{6}$

ଉତ୍ତର: $t$ ର ମାନ $\pm\sqrt{6}$ ହେବ ।

(vi) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, $6x - 3y + 10 = 0$ ଓ $2x - y + 9 = 0$ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ।

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ $a_1 = 6, b_1 = -3, c_1 = 10$ ଏବଂ $a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 9$ ।

ଅନୁପାତଗୁଡ଼ିକ ବାହାର କଲେ:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = 3$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-1} = 3$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{9}$

ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (ଅର୍ଥାତ୍ $3 = 3 \neq \frac{10}{9}$), ସୁତରାଂ ଏହି ସମୀକରଣଦ୍ୱୟ ଅସଙ୍ଗତ (Inconsistent) ଏବଂ ଏହାର ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ (ପ୍ରମାଣିତ)।

(vii) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, $2x + 5y = 17$ ଏବଂ $5x + 3y = 14$ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗତ ଓ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ।

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ $a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = -17$ ଏବଂ $a_2 = 5, b_2 = 3, c_2 = -14$ ।

ଅନୁପାତଗୁଡ଼ିକ ବାହାର କଲେ:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{3}$

ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{2}{5} \neq \frac{5}{3}$), ସୁତରାଂ ଏହି ସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ଏକ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିଛି। ଅତଏବ ଏହା ସଙ୍ଗତ ଓ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର (Consistent and Independent) ଅଟେ (ପ୍ରମାଣିତ)।

(viii) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, $3x - 5y - 10 = 0$ ଏବଂ $6x - 10y = 20$ ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିଛି ।

ସମାଧାନ:

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣଟିକୁ ଆମେ ଏପରି ଲେଖିପାରିବା: $6x - 10y - 20 = 0$ ।

ଏଠାରେ $a_1 = 3, b_1 = -5, c_1 = -10$ ଏବଂ $a_2 = 6, b_2 = -10, c_2 = -20$ ।

ଅନୁପାତଗୁଡ଼ିକ ବାହାର କଲେ:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-10}{-20} = \frac{1}{2}$

ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (ଅର୍ଥାତ୍ ତିନୋଟିଯାକ ଅନୁପାତ $\frac{1}{2}$ ସହ ସମାନ), ସୁତରାଂ ଏହି ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟ ସଙ୍ଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ ଅଟନ୍ତି ଏବଂ ଏହାର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିଛି (ପ୍ରମାଣିତ)।

7. ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ସହ-ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ହେଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ $k$ ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।

(i) $x - 2y - 3 = 0$ ଓ $3x + ky - 1 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = -3$ ଓ $a_2 = 3, b_2 = k, c_2 = -1$

• ସୂତ୍ର (ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{1}{3} \neq \frac{-2}{k}$

• $\Rightarrow k \neq -6$

  ଉତ୍ତର: $k \neq -6$ ହେଲେ ସମାଧାନ ଅନନ୍ୟ ହେବ ।

(ii) $kx - y - 2 = 0$ ଓ $6x + 2y - 3 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = k, b_1 = -1, c_1 = -2$ ଓ $a_2 = 6, b_2 = 2, c_2 = -3$

• ସୂତ୍ର (ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{k}{6} \neq \frac{-1}{2}$

• $\Rightarrow 2k \neq -6 \Rightarrow k \neq -3$

  ଉତ୍ତର: $k \neq -3$ ହେଲେ ସମାଧାନ ଅନନ୍ୟ ହେବ ।

(iii) $kx + 3y + 8 = 0$ ଓ $12x + 5y - 2 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = k, b_1 = 3, c_1 = 8$ ଓ $a_2 = 12, b_2 = 5, c_2 = -2$

• ସୂତ୍ର (ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{k}{12} \neq \frac{3}{5}$

• $\Rightarrow 5k \neq 36 \Rightarrow k \neq \frac{36}{5}$

  ଉତ୍ତର: $k \neq \frac{36}{5}$ ହେଲେ ସମାଧାନ ଅନନ୍ୟ ହେବ ।

(iv) $kx + 2y = 5 \Rightarrow kx + 2y - 5 = 0$ ଏବଂ $3x + y = 1 \Rightarrow 3x + y - 1 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = k, b_1 = 2, c_1 = -5$ ଓ $a_2 = 3, b_2 = 1, c_2 = -1$

• ସୂତ୍ର (ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{k}{3} \neq \frac{2}{1}$

• $\Rightarrow k \neq 6$

  ଉତ୍ତର: $k \neq 6$ ହେଲେ ସମାଧାନ ଅନନ୍ୟ ହେବ ।

(v) $x - ky = 2 \Rightarrow x - ky - 2 = 0$ ଏବଂ $3x + 2y + 5 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = 1, b_1 = -k, c_1 = -2$ ଓ $a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = 5$

• ସୂତ୍ର (ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{1}{3} \neq \frac{-k}{2}$

• $\Rightarrow -3k \neq 2 \Rightarrow k \neq -\frac{2}{3}$

  ଉତ୍ତର: $k \neq -\frac{2}{3}$ ହେଲେ ସମାଧାନ ଅନନ୍ୟ ହେବ ।

(vi) $4x - ky = 5 \Rightarrow 4x - ky - 5 = 0$ ଏବଂ $2x - 3y = 12 \Rightarrow 2x - 3y - 12 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = 4, b_1 = -k, c_1 = -5$ ଓ $a_2 = 2, b_2 = -3, c_2 = -12$

• ସୂତ୍ର (ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{4}{2} \neq \frac{-k}{-3}$

• $\Rightarrow 2 \neq \frac{k}{3} \Rightarrow k \neq 6$

  ଉତ୍ତର: $k \neq 6$ ହେଲେ ସମାଧାନ ଅନନ୍ୟ ହେବ ।

8. ନିମ୍ନରେ ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ $k$ ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।

(i) $7x - y - 5 = 0$ ଓ $21x - 3y - k = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = 7, b_1 = -1, c_1 = -5$ ଓ $a_2 = 21, b_2 = -3, c_2 = -k$

• ସୂତ୍ର (ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{7}{21} = \frac{-1}{-3} = \frac{-5}{-k}$

• $\Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{5}{k} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{5}{k} \Rightarrow k = 15$

  ଉତ୍ତର: $k = 15$

(ii) $8x + 5y - 9 = 0$ ଓ $kx + 10y - 18 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = 8, b_1 = 5, c_1 = -9$ ଓ $a_2 = k, b_2 = 10, c_2 = -18$

• ସୂତ୍ର (ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{8}{k} = \frac{5}{10} = \frac{-9}{-18}$

• $\Rightarrow \frac{8}{k} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{8}{k} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = 16$

  ଉତ୍ତର: $k = 16$

(iii) $kx - 2y + 6 = 0$ ଓ $4x - 3y + 9 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = k, b_1 = -2, c_1 = 6$ ଓ $a_2 = 4, b_2 = -3, c_2 = 9$

• ସୂତ୍ର (ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{k}{4} = \frac{-2}{-3} = \frac{6}{9}$

• $\Rightarrow \frac{k}{4} = \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{k}{4} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3k = 8 \Rightarrow k = \frac{8}{3}$

  ଉତ୍ତର: $k = \frac{8}{3}$

(iv) $2x + 3y = 5 \Rightarrow 2x + 3y - 5 = 0$ ଓ $6x + ky = 15 \Rightarrow 6x + ky - 15 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -5$ ଓ $a_2 = 6, b_2 = k, c_2 = -15$

• ସୂତ୍ର (ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{2}{6} = \frac{3}{k} = \frac{-5}{-15}$

• $\Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{3}{k} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{3}{k} \Rightarrow k = 9$

  ଉତ୍ତର: $k = 9$

(v) $5x + 2y = k \Rightarrow 5x + 2y - k = 0$ ଓ $10x + 4y = 3 \Rightarrow 10x + 4y - 3 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = 5, b_1 = 2, c_1 = -k$ ଓ $a_2 = 10, b_2 = 4, c_2 = -3$

• ସୂତ୍ର (ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{5}{10} = \frac{2}{4} = \frac{-k}{-3}$

• $\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{k}{3} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{k}{3} \Rightarrow 2k = 3 \Rightarrow k = \frac{3}{2}$

  ଉତ୍ତର: $k = \frac{3}{2}$

(vi) $kx - 2y - 6 = 0$ ଓ $4x + 3y + 9 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = k, b_1 = -2, c_1 = -6$ ଓ $a_2 = 4, b_2 = 3, c_2 = 9$

• ସୂତ୍ର (ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{k}{4} = \frac{-2}{3} = \frac{-6}{9}$

• $\Rightarrow \frac{k}{4} = -\frac{2}{3} = -\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{k}{4} = -\frac{2}{3} \Rightarrow 3k = -8 \Rightarrow k = -\frac{8}{3}$

  ଉତ୍ତର: $k = -\frac{8}{3}$

9. $k$ ର କେଉଁ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ନିମ୍ନରେ ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ ହେବେ ?

(i) $8x + 5y - 9 = 0$ ଓ $kx + 10y - 15 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = 8, b_1 = 5, c_1 = -9$ ଓ $a_2 = k, b_2 = 10, c_2 = -15$

• ସୂତ୍ର (ଅସଙ୍ଗତ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{8}{k} = \frac{5}{10} \neq \frac{-9}{-15}$

• $\Rightarrow \frac{8}{k} = \frac{1}{2} \neq \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{8}{k} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = 16$

  ଉତ୍ତର: $k = 16$

(ii) $kx - 5y - 2 = 0$ ଓ $6x + 2y - 7 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = k, b_1 = -5, c_1 = -2$ ଓ $a_2 = 6, b_2 = 2, c_2 = -7$

• ସୂତ୍ର (ଅସଙ୍ଗତ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{k}{6} = \frac{-5}{2} \neq \frac{-2}{-7}$

• $\Rightarrow \frac{k}{6} = -\frac{5}{2} \Rightarrow 2k = -30 \Rightarrow k = -15$

  ଉତ୍ତର: $k = -15$

(iii) $kx + 2y - 3 = 0$ ଓ $5x + 5y - 7 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = k, b_1 = 2, c_1 = -3$ ଓ $a_2 = 5, b_2 = 5, c_2 = -7$

• ସୂତ୍ର (ଅସଙ୍ଗତ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{k}{5} = \frac{2}{5} \neq \frac{-3}{-7}$

• $\Rightarrow \frac{k}{5} = \frac{2}{5} \Rightarrow 5k = 10 \Rightarrow k = 2$

  ଉତ୍ତର: $k = 2$

(iv) $kx - y - 2 = 0$ ଓ $6x - 2y - 3 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = k, b_1 = -1, c_1 = -2$ ଓ $a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = -3$

• ସୂତ୍ର (ଅସଙ୍ଗତ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{k}{6} = \frac{-1}{-2} \neq \frac{-2}{-3}$

• $\Rightarrow \frac{k}{6} = \frac{1}{2} \neq \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{k}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2k = 6 \Rightarrow k = 3$

  ଉତ୍ତର: $k = 3$

(v) $x + 2y - 5 = 0$ ଓ $8x + ky - 10 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -5$ ଓ $a_2 = 8, b_2 = k, c_2 = -10$

• ସୂତ୍ର (ଅସଙ୍ଗତ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{1}{8} = \frac{2}{k} \neq \frac{-5}{-10}$

• $\Rightarrow \frac{1}{8} = \frac{2}{k} \neq \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{8} = \frac{2}{k} \Rightarrow k = 16$

  ଉତ୍ତର: $k = 16$

(vi) $3x - 4y + 7 = 0$ ଓ $kx + 3y - 5 = 0$

• ଏଠାରେ $a_1 = 3, b_1 = -4, c_1 = 7$ ଓ $a_2 = k, b_2 = 3, c_2 = -5$

• ସୂତ୍ର (ଅସଙ୍ଗତ ପାଇଁ): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

• ସୂତ୍ରରେ ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{3}{k} = \frac{-4}{3} \neq \frac{7}{-5}$

• $\Rightarrow \frac{3}{k} = -\frac{4}{3} \Rightarrow -4k = 9 \Rightarrow k = -\frac{9}{4}$

  ଉତ୍ତର: $k = -\frac{9}{4}$