ପ୍ରଶ୍ନ ୧: ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀ ପ୍ରୟୋଗ କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହ-ସମୀକରଣମାନଙ୍କର ସମାଧାନ କର:

• (i) $x + y – 8 = 0$ ଓ $2x – 3y – 1 = 0$

• (ii) $3x + 2y – 5 = 0$ ଓ $x – 3y – 9 = 0$

• (iii) $2x – 5y + 8 = 0$ ଓ $x – 4y + 7 = 0$

• (iv) $11x + 15y + 23 = 0$ ଓ $7x – 2y – 20 = 0$

• (v) $ax + by – a + b = 0$ ଓ $bx – ay – a – b = 0$

• (vi) $x + y – a = 0$ ଓ $ax + by – b^2 = 0$

  • ପଦକ୍ଷେପ ୧: ପ୍ରଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣକୁ ବାଛି, ସେଥିରୁ ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ($x$ କିମ୍ବା $y$) ର ମାନକୁ ଅନ୍ୟ ରାଶି ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ (ଯେପରିକି $x$ କୁ $y$ ର ପଦରେ ପ୍ରକାଶ କରିବା)।

• ପଦକ୍ଷେପ ୨: ଏହି ମିଳିଥିବା $x$ କିମ୍ବା $y$ ର ମାନକୁ ଅନ୍ୟ ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ (Substitute) କରାଯାଏ। ଏହାଦ୍ଵାରା ଗୋଟିଏ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ସରଳ ସମୀକରଣ ମିଳିଥାଏ ଏବଂ ସେଥିରୁ ପ୍ରଥମ ରାଶିର ସଠିକ୍ ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ।

• ପଦକ୍ଷେପ ୩: ଉକ୍ତ ନିର୍ଣ୍ଣୀତ ମାନକୁ ନେଇ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, ଅନ୍ୟ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ମାନ ସହଜରେ ମିଳିଯାଇଥାଏ।

(i)

$x + y - 8 = 0$ …(1)

$2x - 3y - 1 = 0$ …(2)

ସମୀକରଣ (1) ରୁ ପାଇବା: $x = 8 - y$ …(3)

ଏହି $x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (2) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ:

$\Rightarrow 2(8 - y) - 3y - 1 = 0$

$\Rightarrow 16 - 2y - 3y - 1 = 0$

$\Rightarrow 15 - 5y = 0$

$\Rightarrow -5y = -15 \Rightarrow y = 3$

$y = 3$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (3) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ:
$x = 8 - 3 \Rightarrow x = 5$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(5, 3)$

(ii)

$3x + 2y - 5 = 0$ …(1)

$x - 3y - 9 = 0$ …(2)

ସମୀକରଣ (2) ରୁ ପାଇବା: $x = 3y + 9$ …(3)

ଏହି $x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (1) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ:

$\Rightarrow 3(3y + 9) + 2y - 5 = 0$

$\Rightarrow 9y + 27 + 2y - 5 = 0$

$\Rightarrow 11y + 22 = 0$

$\Rightarrow 11y = -22 \Rightarrow y = -2$

$y = -2$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (3) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ:
$x = 3(-2) + 9 = -6 + 9 \Rightarrow x = 3$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(3, -2)$

(iii)

$2x - 5y + 8 = 0$ …(1)

$x - 4y + 7 = 0$ …(2)

ସମୀକରଣ (2) ରୁ ପାଇବା: $x = 4y - 7$ …(3)

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (1) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ:

$\Rightarrow 2(4y - 7) - 5y + 8 = 0$

$\Rightarrow 8y - 14 - 5y + 8 = 0$

$\Rightarrow 3y - 6 = 0$

$\Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$

$y = 2$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (3) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ:
$x = 4(2) - 7 = 8 - 7 \Rightarrow x = 1$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(1, 2)$

(iv)

$11x + 15y + 23 = 0$ …(1)

$7x - 2y - 20 = 0$ …(2)

ସମୀକରଣ (2) ରୁ ପାଇବା:
$2y = 7x - 20 \Rightarrow y = \frac{7x - 20}{2}$ …(3)

$y$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (1) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ:

$\Rightarrow 11x + 15\left(\frac{7x - 20}{2}\right) + 23 = 0$

ସମୀକରଣକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ:

$\Rightarrow 22x + 15(7x - 20) + 46 = 0$

$\Rightarrow 22x + 105x - 300 + 46 = 0$

$\Rightarrow 127x - 254 = 0$

$\Rightarrow 127x = 254 \Rightarrow x = 2$

$x = 2$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (3) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ:
$y = \frac{7(2) - 20}{2} = \frac{14 - 20}{2} = \frac{-6}{2} \Rightarrow y = -3$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(2, -3)$

(v)

$ax + by - a + b = 0$ …(1)

$bx - ay - a - b = 0$ …(2)

ସମୀକରଣ (1) ରୁ ପାଇବା: $by = a - b - ax \Rightarrow y = \frac{a - b - ax}{b}$ …(3)

$y$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (2) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ:

$\Rightarrow bx - a\left(\frac{a - b - ax}{b}\right) - a - b = 0$

ସମୀକରଣକୁ $b$ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ:

$\Rightarrow b^2x - a(a - b - ax) - b(a + b) = 0$

$\Rightarrow b^2x - a^2 + ab + a^2x - ab - b^2 = 0$

$\Rightarrow b^2x + a^2x - a^2 - b^2 = 0$

$\Rightarrow x(a^2 + b^2) = a^2 + b^2 \Rightarrow x = 1$

$x = 1$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (3) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ:
$y = \frac{a - b - a(1)}{b} = \frac{a - b - a}{b} = \frac{-b}{b} \Rightarrow y = -1$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(1, -1)$

(vi)

$x + y - a = 0$ …(1)

$ax + by - b^2 = 0$ …(2)

ସମୀକରଣ (1) ରୁ ପାଇବା: $x = a - y$ …(3)

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (2) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ:

$\Rightarrow a(a - y) + by - b^2 = 0$

$\Rightarrow a^2 - ay + by - b^2 = 0$

$\Rightarrow y(b - a) = b^2 - a^2$

$\Rightarrow y(b - a) = (b - a)(b + a)$

$\Rightarrow y = a + b$

$y = a + b$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (3) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ:
$x = a - (a + b) = a - a - b \Rightarrow x = -b$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(-b, a + b)$

ପ୍ରଶ୍ନ ୨: ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀ ପ୍ରୟୋଗ କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହ-ସମୀକରଣମାନଙ୍କର ସମାଧାନ କର:

• (i) $x – y – 3 = 0$ ଓ $3x – 2y – 1 = 0$

• (ii) $3x + 4y = 10$ ଓ $2x – 2y = 2$

• (iii) $3x – 5y – 4 = 0$ ଓ $9x = 2y – 1$

• (iv) $0.4x – 1.5y = 6.5$ ଓ $0.3x + 0.2y = 0.9$

• (v) $\sqrt{2}x + \sqrt{3}y = 0$ ଓ $\sqrt{5}x + \sqrt{2}y = 0$

• (vi) $ax + by = 0$ ଓ $x + y – c = 0$ $\quad (a+b \neq 0)$
  Answers:-

ସମାଧାନର ମୂଳ ନିୟମ (Working Principle):

ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀ (Elimination Method) ରେ ସହ-ସମୀକରଣର ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପଦକ୍ଷେପଗୁଡ଼ିକୁ ଅନୁସରଣ କରାଯାଏ:

• ପଦକ୍ଷେପ ୧: ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଯେକୌଣସି ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ($x$ କିମ୍ବା $y$) ର ସହଗକୁ ସମାନ କରାଯାଏ।

• ପଦକ୍ଷେପ ୨: ଏହାପରେ ଯୋଗ କିମ୍ବା ବିୟୋଗ ମାଧ୍ୟମରେ ସେହି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିକୁ ଅପସାରଣ (Eliminate) କରାଯାଇ ଅନ୍ୟ ରାଶିର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ (ଯେପରିକି ପ୍ରଥମେ $x$ କୁ ଅପସାରଣ କଲେ $y$ ର ମାନ ମିଳିଥାଏ)।

• ପଦକ୍ଷେପ ୩: ମିଳିଥିବା ମାନକୁ ଯେକୌଣସି ଏକ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କରି ଦ୍ଵିତୀୟ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ମାନ ସହଜରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ।

(i) $x - y - 3 = 0$ … (i) ଏବଂ

$3x - 2y - 10 = 0$ … (ii)

ସମୀକରଣ (i) $\times 2 \Rightarrow \quad 2x - 2y - 6 = 0$

ସମୀକରଣ (ii) $\times 1 \Rightarrow \quad 3x - 2y - 10 = 0$

$\qquad \qquad \qquad \qquad (-) \quad (+) \quad \quad \;\; (+)$

$\qquad \qquad \qquad$ ----------------------------------

$\quad$ ବିୟୋଗ କଲେ, $\qquad \quad -x \quad \quad + 4 = 0 \quad \Rightarrow x = 4$

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

$x - y - 3 = 0 \Rightarrow 4 - y - 3 = 0 \Rightarrow -y + 1 = 0 \Rightarrow y = 1$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ $(x, y) = (4, 1)$ ଅଟେ।

(ii) $3x + 4y = 10$ … (i) ଏବଂ

$2x - 2y = 2$ … (ii)

ସମୀକରଣ (i) $\times 1 \Rightarrow \quad 3x + 4y = 10$

ସମୀକରଣ (ii) $\times 2 \Rightarrow \quad 4x - 4y = 4$

$\qquad \qquad \qquad$ ----------------------------------

$\quad$ ଯୋଗ କଲେ, $\qquad \quad 7x \quad \quad \quad = 14 \quad \Rightarrow x = 2$

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

$3x + 4y = 10 \Rightarrow 3(2) + 4y = 10 \Rightarrow 6 + 4y = 10 \Rightarrow 4y = 4 \Rightarrow y = 1$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ $(x, y) = (2, 1)$ ଅଟେ।

(iii) $3x - 5y - 4 = 0$ … (i) ଏବଂ

$9x - 2y - 7 = 0$ … (ii)

ସମୀକରଣ (i) $\times 3 \Rightarrow \quad 9x - 15y - 12 = 0$

ସମୀକରଣ (ii) $\times 1 \Rightarrow \quad 9x - 2y - 7 = 0$

$\qquad \qquad \qquad \qquad (-) \quad \;\; (+) \quad \quad \;\; (+)$

$\qquad \qquad \qquad$ ----------------------------------

$\quad$ ବିୟୋଗ କଲେ, $\qquad \qquad -13y - 5 = 0 \quad \Rightarrow 13y = -5 \Rightarrow y = -\frac{5}{13}$

$y$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

$3x - 5y - 4 = 0 \Rightarrow 3x - 5\left(-\frac{5}{13}\right) - 4 = 0 \Rightarrow 3x + \frac{25}{13} - 4 = 0$

$\Rightarrow 3x = 4 - \frac{25}{13} \Rightarrow 3x = \frac{52 - 25}{13} \Rightarrow 3x = \frac{27}{13} \Rightarrow x = \frac{9}{13}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ $(x, y) = \left(\frac{9}{13}, -\frac{5}{13}\right)$ ଅଟେ।

(iv) $0.4x – 1.5y = 6.5$ ଓ $0.3x + 0.2y = 0.9$
ଦଶମିକକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ $10$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ,

$4x - 15y - 65 = 0$ … (i) ଏବଂ

$3x + 2y - 9 = 0$ … (ii)

ସମୀକରଣ (i) $\times 2 \Rightarrow \quad \;\; 8x - 30y - 130 = 0$

ସମୀକରଣ (ii) $\times 15 \Rightarrow \quad 45x + 30y - 135 = 0$

$\qquad \qquad \qquad \quad \;\;$ ---------------------------------------

$\quad$ ଯୋଗ କଲେ, $\qquad \quad 53x \quad \quad \;\; - 265 = 0 \quad \Rightarrow 53x = 265 \Rightarrow x = 5$

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

$3x + 2y - 9 = 0 \Rightarrow 3(5) + 2y - 9 = 0 \Rightarrow 15 + 2y - 9 = 0 \Rightarrow 2y + 6 = 0 \Rightarrow 2y = -6 \Rightarrow y = -3$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ $(x, y) = (5, -3)$ ଅଟେ।

(v) $\sqrt{2}x + \sqrt{3}y = 0$ … (i) ଏବଂ

$\sqrt{5}x + \sqrt{2}y = 0$ … (ii)

ସମୀକରଣ (i) $\times \sqrt{2} \Rightarrow \quad \;\; 2x + \sqrt{6}y = 0$

ସମୀକରଣ (ii) $\times \sqrt{3} \Rightarrow \quad \sqrt{15}x + \sqrt{6}y = 0$

$\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\; (-) \quad \quad \;\; (-)$

$\qquad \qquad \qquad \quad \;\;$ ---------------------------------------

$\quad$ ବିୟୋଗ କଲେ, $\qquad (2 - \sqrt{15})x \quad \quad \;\; = 0 \quad \Rightarrow x = 0$ (ଯେହେତୁ $\sqrt{15} - 2 \neq 0$)

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

$\sqrt{2}x + \sqrt{3}y = 0 \Rightarrow \sqrt{2}(0) + \sqrt{3}y = 0 \Rightarrow 0 + \sqrt{3}y = 0 \Rightarrow y = 0$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ $(x, y) = (0, 0)$ ଅଟେ।

(vi) $ax + by = 0$ … (i) ଏବଂ

$x + y - c = 0$ … (ii)

ସମୀକରଣ (i) $\times 1 \Rightarrow \quad ax + by = 0$

ସମୀକରଣ (ii) $\times b \Rightarrow \quad bx + by - bc = 0$

$\qquad \qquad \qquad \qquad (-) \quad \;\; (-) \quad \;\; (+)$

$\qquad \qquad \qquad$ ----------------------------------

$\quad$ ବିୟୋଗ କଲେ,
$\qquad (a - b)x \quad \;\; + bc = 0 \quad \Rightarrow (a - b)x = -bc \Rightarrow x = \frac{-bc}{a - b}$

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

$x + y - c = 0 \Rightarrow \left(\frac{-bc}{a - b}\right) + y - c = 0 \Rightarrow y = c + \frac{bc}{a - b} \Rightarrow y = \frac{c(a - b) + bc}{a - b} \Rightarrow y = \frac{ac - bc + bc}{a - b} \Rightarrow y = \frac{ac}{a - b}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ $(x, y) = \left(\frac{-bc}{a - b}, \frac{ac}{a - b}\right)$ ଅଟେ।

୩. ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀରେ (Cross-Multiplication Method) ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହସମୀକରଣମାନଙ୍କ ସମାଧାନ କର ।

• (i) $x + 2y + 1 = 0$ ଓ $2x – 3y – 12 = 0$

• (ii) $2x + 5y - 1 = 0$ ଓ $2x + 3y - 3 = 0$

• (iii) $x + 6y + 1 = 0$ ଓ $2x + 3y + 8 = 0$

• (iv) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = a+b$ ଓ $\frac{x}{a^2} + \frac{y}{b^2} = 2$

• (v) $x + 6y + 1 = 0$ ଓ $2x + 3y + 8 = 0$

• (vi) $4x – 9y = 0$ ଓ $3x + 2y – 35 = 0$
  ସୂତ୍ର:

$$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$$
Answers
(i)

$x + 2y + 1 = 0$

$2x + 3y - 12 = 0$

ଏଠାରେ: $a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = 1$
ଏବଂ $a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = -12$

$\Rightarrow \frac{x}{(2)(-12) - (3)(1)} = \frac{y}{(1)(2) - (-12)(1)} = \frac{1}{(1)(3) - (2)(2)}$

$\Rightarrow \frac{x}{-24 - 3} = \frac{y}{2 + 12} = \frac{1}{3 - 4}$

$\Rightarrow \frac{x}{-27} = \frac{y}{14} = \frac{1}{-1}$

$\Rightarrow x = \frac{-27}{-1} = 27$

$\Rightarrow y = \frac{14}{-1} = -14$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(27, -14)$

(ii)

$2x + 5y = 1 \Rightarrow 2x + 5y - 1 = 0$

$2x + 3y = 3 \Rightarrow 2x + 3y - 3 = 0$

ଏଠାରେ: $a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = -1$
ଏବଂ $a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = -3$

$\Rightarrow \frac{x}{(5)(-3) - (3)(-1)} = \frac{y}{(-1)(2) - (-3)(2)} = \frac{1}{(2)(3) - (2)(5)}$

$\Rightarrow \frac{x}{-15 + 3} = \frac{y}{-2 + 6} = \frac{1}{6 - 10}$

$\Rightarrow \frac{x}{-12} = \frac{y}{4} = \frac{1}{-4}$

$\Rightarrow x = \frac{-12}{-4} = 3$

$\Rightarrow y = \frac{4}{-4} = -1$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(3, -1)$

(iii)

$x + 6y + 1 = 0$

$2x + 3y + 8 = 0$

ଏଠାରେ: $a_1 = 1, b_1 = 6, c_1 = 1$
ଏବଂ $a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = 8$

$\Rightarrow \frac{x}{(6)(8) - (3)(1)} = \frac{y}{(1)(2) - (8)(1)} = \frac{1}{(1)(3) - (2)(6)}$

$\Rightarrow \frac{x}{48 - 3} = \frac{y}{2 - 8} = \frac{1}{3 - 12}$

$\Rightarrow \frac{x}{45} = \frac{y}{-6} = \frac{1}{-9}$

$\Rightarrow x = \frac{45}{-9} = -5$

$\Rightarrow y = \frac{-6}{-9} = \frac{2}{3}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(-5, \frac{2}{3})$

(iv)

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - (a + b) = 0$

$\frac{x}{a^2} + \frac{y}{b^2} - 2 = 0$

ଏଠାରେ: $a_1 = \frac{1}{a}, b_1 = \frac{1}{b}, c_1 = -(a + b)$
ଏବଂ $a_2 = \frac{1}{a^2}, b_2 = \frac{1}{b^2}, c_2 = -2$

$\Rightarrow \frac{x}{(\frac{1}{b})(-2) - (\frac{1}{b^2})(-(a + b))} = \frac{y}{(-(a + b))(\frac{1}{a^2}) - (-2)(\frac{1}{a})} = \frac{1}{(\frac{1}{a})(\frac{1}{b^2}) - (\frac{1}{a^2})(\frac{1}{b})}$

$\Rightarrow \frac{x}{-\frac{2}{b} + \frac{a + b}{b^2}} = \frac{y}{-\frac{a + b}{a^2} + \frac{2}{a}} = \frac{1}{\frac{1}{ab^2} - \frac{1}{a^2b}}$

$\Rightarrow \frac{x}{\frac{-2b + a + b}{b^2}} = \frac{y}{\frac{-a - b + 2a}{a^2}} = \frac{1}{\frac{a - b}{a^2b^2}}$

$\Rightarrow \frac{x}{\frac{a - b}{b^2}} = \frac{y}{\frac{a - b}{a^2}} = \frac{1}{\frac{a - b}{a^2b^2}}$

ତୁଳନା କଲେ:

$x = \frac{\frac{a - b}{b^2}}{\frac{a - b}{a^2b^2}} = \frac{a - b}{b^2} \times \frac{a^2b^2}{a - b} \Rightarrow x = a^2$

$y = \frac{\frac{a - b}{a^2}}{\frac{a - b}{a^2b^2}} = \frac{a - b}{a^2} \times \frac{a^2b^2}{a - b} \Rightarrow y = b^2$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(a^2, b^2)$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(-5, \frac{2}{3})$
ଏଠାରେ ୩ ନମ୍ବର (v) ର ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାଧାନ ପରୀକ୍ଷା ଖାତା ଶୈଳୀରେ ଦିଆଗଲା:

(v)

ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟ:

$x + 6y + 1 = 0$ … (i)

$2x + 3y + 8 = 0$ … (ii)

ଏଠାରେ ସହଗଗୁଡ଼ିକ ହେଲା:

$a_1 = 1, \quad b_1 = 6, \quad c_1 = 1$

$a_2 = 2, \quad b_2 = 3, \quad c_2 = 8$

ବଜ୍ରଗୁଣନ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

$$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$$

ମାନଗୁଡ଼ିକୁ ସୂତ୍ରରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା:

$$\Rightarrow \frac{x}{(6 \times 8) - (3 \times 1)} = \frac{y}{(1 \times 2) - (8 \times 1)} = \frac{1}{(1 \times 3) - (2 \times 6)}$$

$$\Rightarrow \frac{x}{48 - 3} = \frac{y}{2 - 8} = \frac{1}{3 - 12}$$

$$\Rightarrow \frac{x}{45} = \frac{y}{-6} = \frac{1}{-9}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ $x$ ର ମାନ ପାଇଁ,

$$\frac{x}{45} = \frac{1}{-9} \Rightarrow -9x = 45 \Rightarrow x = \frac{45}{-9} \Rightarrow x = -5$$

ଏବଂ $y$ ର ମାନ ପାଇଁ,

$$\frac{y}{-6} = \frac{1}{-9} \Rightarrow -9y = -6 \Rightarrow y = \frac{-6}{-9} \Rightarrow y = \frac{6}{9} \Rightarrow y = \frac{2}{3}$$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ $(x, y) = \left(-5, \frac{2}{3}\right)$ ଅଟେ।

(vi)

$4x - 9y + 0 = 0$

$3x + 2y - 35 = 0$

ଏଠାରେ: $a_1 = 4, b_1 = -9, c_1 = 0$
ଏବଂ $a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -35$

$\Rightarrow \frac{x}{(-9)(-35) - (2)(0)} = \frac{y}{(0)(3) - (-35)(4)} = \frac{1}{(4)(2) - (3)(-9)}$

$\Rightarrow \frac{x}{315 - 0} = \frac{y}{0 + 140} = \frac{1}{8 + 27}$

$\Rightarrow \frac{x}{315} = \frac{y}{140} = \frac{1}{35}$

$\Rightarrow x = \frac{315}{35} = 9$

$\Rightarrow y = \frac{140}{35} = 4$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(9, 4)$

ପ୍ରଶ୍ନ ୪: ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହ-ସମୀକରଣମାନଙ୍କର ସମାଧାନ କର:

• (i) $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 17$ ଓ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 7$ $\quad (x \neq 0, y \neq 0)$

• (ii) $\frac{5}{x} + 6y = 13$ ଓ $\frac{3}{x} + 20y = 35$ $\quad (x \neq 0)$

• (iii) $2x - \frac{3}{y} = 9$ ଓ $3x + \frac{7}{y} = 2$ $\quad (y \neq 0)$

• (iv) $4x + 6y = 3xy$ ଓ $8x + 9y = 5xy$ $\quad (x \neq 0, y \neq 0)$

• (v) $(a - b)x + (a + b)y = a^2 - 2ab - b^2$ ଓ $(a + b)x + (a + b)y = a^2 + b^2$

• (vi) $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2$ ଓ $ax - by = a^2 - b^2$ $\quad (x \neq 0, y \neq 0)$

• (vii) $\frac{5}{x+y} - \frac{2}{x-y} + 1 = 0$ ଓ $\frac{15}{x+y} + \frac{7}{x-y} - 10 = 0$ $\quad (x+y \neq 0, x-y \neq 0)$

• (viii) $\frac{xy}{x+y} = \frac{6}{5}$ ଓ $\frac{xy}{x-y} = 6$ $\quad (x+y \neq 0, x-y \neq 0)$

• (ix) $6x + 5y = 7$ ଓ $x + 3y + 1 = 2(x + 6y - 1)$

• (x) $\frac{x+y-8}{2} = \frac{x+2y-14}{3} = \frac{3x+y-12}{11}$

• (xi) $\frac{x+y}{2} - \frac{x-y}{3} = 8$ ଓ $\frac{x+y}{3} + \frac{x-y}{4} = 11$

• (xii) $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ ଓ $ax + by = a^2 + b^2$

Answers-

~~
କିପରି ସମାଧାନ କରିବେ
~~
ଭଗ୍ନାଂଶ ରୂପରେ ଥିବା ପ୍ରଶ୍ନ (ଯେପରିକି $\frac{1}{x}$ କିମ୍ବା $\frac{1}{x+y}$) ଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ $\frac{1}{x} = u$ ଏବଂ $\frac{1}{y} = v$ ନେଇ ପ୍ରଥମେ ସରଳ ସହସମୀକରଣରେ ପରିଣତ କରନ୍ତୁ।

• $xy$ ପଦ ଥିବା ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ $xy$ ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରି ସରଳ କରନ୍ତୁ।

• (x) ନମ୍ବର ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ପଦକୁ ନେଇ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଏବଂ ପ୍ରଥମ ଓ ଶେଷ ପଦକୁ ନେଇ ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣ ଗଠନ କରନ୍ତୁ।
  ବିନା କୌଣସି ଅତିରିକ୍ତ ଅଣ୍ଡରଲାଇନ୍ ବ୍ୟବହାର କରି, ଦଶମ ଶ୍ରେଣୀ ବହିର ଅବିକଳ ଫର୍ମାଟ୍ ଏବଂ ଶୈଳୀରେ ପ୍ରଶ୍ନ ୪ ର ସମସ୍ତ ବିଭାଗର ସମାଧାନ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା:

(i)

$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 17$ … (i)

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 7$ … (ii)

ମନେକର $\frac{1}{x} = p$ ଏବଂ $\frac{1}{y} = q$

ସମୀକରଣ (i) $\Rightarrow 2p + 3q = 17$ … (iii)

ସମୀକରଣ (ii) $\Rightarrow p + q = 7$ … (iv)

ସମୀକରଣ (iii) $\times 1 \Rightarrow \quad 2p + 3q = 17$

ସମୀକରଣ (iv) $\times 2 \Rightarrow \quad 2p + 2q = 14$

$\qquad \qquad \qquad \qquad (-) \quad (-) \quad \;\; (-)$

$\qquad \qquad \qquad$ ----------------------------------

$\quad$ ବିୟୋଗ କଲେ, $\qquad \quad \;\; q = 3$

$q$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iv) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

$p + 3 = 7 \Rightarrow p = 4$

ବର୍ତ୍ତମାନ, $p = 4 \Rightarrow \frac{1}{x} = 4 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$

ଏବଂ, $q = 3 \Rightarrow \frac{1}{y} = 3 \Rightarrow y = \frac{1}{3}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ $(x, y) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right)$ ଅଟେ।

(ii)

$\frac{5}{x} + 6y = 13$ … (i)

$\frac{3}{x} + 20y = 35$ … (ii)

ମନେକର $\frac{1}{x} = p$

ସମୀକରଣ (i) $\Rightarrow 5p + 6y = 13$ … (iii)

ସମୀକରଣ (ii) $\Rightarrow 3p + 20y = 35$ … (iv)

ସମୀକରଣ (iii) $\times 3 \Rightarrow \quad 15p + 18y = 39$

ସମୀକରଣ (iv) $\times 5 \Rightarrow \quad 15p + 100y = 175$

$\qquad \qquad \qquad \qquad (-) \quad \;\; (-) \quad \quad \;\; (-)$

$\qquad \qquad \qquad$ ----------------------------------

$\quad$ ବିୟୋଗ କଲେ,
$\qquad \quad -82y = -136$
$\Rightarrow y = \frac{-136}{-82}$
$\Rightarrow y = \frac{68}{41}$

$y$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

$5p + 6\left(\frac{68}{41}\right) = 13$
$\Rightarrow 5p + \frac{408}{41} = 13$
$\Rightarrow 5p = 13 - \frac{408}{41}$
$\Rightarrow 5p = \frac{533 - 408}{41} \Rightarrow 5p = \frac{125}{41}$

$\Rightarrow p = \frac{125}{41 \times 5} \Rightarrow p = \frac{25}{41}$

$p = \frac{25}{41} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{25}{41} \Rightarrow x = \frac{41}{25}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ $(x, y) = \left(\frac{41}{25}, \frac{68}{41}\right)$ ଅଟେ।

(iii)

$2x - \frac{3}{y} = 9$ … (i)

$3x + \frac{7}{y} = 2$ … (ii)

ମନେକର $\frac{1}{y} = q$

ସମୀକରଣ (i) $\Rightarrow 2x - 3q = 9$ … (iii)

ସମୀକରଣ (ii) $\Rightarrow 3x + 7q = 2$ … (iv)

ସମୀକରଣ (iii) $\times 3 \Rightarrow \quad 6x - 9q = 27$

ସମୀକରଣ (iv) $\times 2 \Rightarrow \quad 6x + 14q = 4$

$\qquad \qquad \qquad \qquad (-) \quad (-) \quad \;\; (-)$

$\qquad \qquad \qquad$ ----------------------------------

$\quad$ ବିୟୋଗ କଲେ, $\qquad \quad -23q = 23 \Rightarrow q = -1$

$q$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

$2x - 3(-1) = 9 \Rightarrow 2x + 3 = 9 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$

ବର୍ତ୍ତମାନ, $q = -1 \Rightarrow \frac{1}{y} = -1 \Rightarrow y = -1$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ $(x, y) = (3, -1)$ ଅଟେ।

(iv)

$4x + 6y = 3xy$

$8x + 9y = 5xy$

ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ $xy$ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:

$\frac{4}{y} + \frac{6}{x} = 3 \Rightarrow \frac{6}{x} + \frac{4}{y} = 3$ … (i)

$\frac{8}{y} + \frac{9}{x} = 5 \Rightarrow \frac{9}{x} + \frac{8}{y} = 5$ … (ii)

ମନେକର $\frac{1}{x} = p$ ଏବଂ $\frac{1}{y} = q$

$6p + 4q = 3$ … (iii)

$9p + 8q = 5$ … (iv)

ସମୀକରଣ (iii) $\times 2 \Rightarrow \quad 12p + 8q = 6$

ସମୀକରଣ (iv) $\times 1 \Rightarrow \quad 9p + 8q = 5$

$\qquad \qquad \qquad \qquad (-) \quad (-) \quad (-)$

$\qquad \qquad \qquad$ ----------------------------------

$\quad$ ବିୟୋଗ କଲେ, $\qquad \quad 3p \qquad \;\; = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{3}$

$p$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

$6\left(\frac{1}{3}\right) + 4q = 3 \Rightarrow 2 + 4q = 3 \Rightarrow 4q = 1 \Rightarrow q = \frac{1}{4}$

ବର୍ତ୍ତମାନ, $p = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3$

ଏବଂ, $q = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \Rightarrow y = 4$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ $(x, y) = (3, 4)$ ଅଟେ।

(v)

$(a - b)x + (a + b)y = a^2 - 2ab - b^2$ … (i)

$(a + b)x + (a + b)y = a^2 + b^2$ … (ii)

ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ସିଧାସଳଖ ବିୟୋଗ କଲେ:

$\quad [(a - b)x + (a + b)y] - [(a + b)x + (a + b)y] = (a^2 - 2ab - b^2) - (a^2 + b^2)$

$\Rightarrow (a - b - a - b)x = a^2 - 2ab - b^2 - a^2 - b^2$

$\Rightarrow -2bx = -2ab - 2b^2$

$\Rightarrow -2bx = -2b(a + b) \Rightarrow x = a + b$

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

$(a + b)(a + b) + (a + b)y = a^2 + b^2$

$\Rightarrow (a^2 + 2ab + b^2) + (a + b)y = a^2 + b^2$