📘 1. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତି ଗୁଡ଼ିକରେ ଥିବା ତ୍ରୁଟିକୁ ସଂଶୋଧନ କରି ଲେଖ।

❓ i. $x^2 - 4x + 4 = 0$ ସମୀକରଣର ବୀଜ ଦ୍ୱୟ ବାସ୍ତବ ଓ ଭିନ୍ନ।

✏️ ସଂଶୋଧନ: ଏଠାରେ ପ୍ରଭେଦକ $D = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$ ।
ଯେହେତୁ $D = 0$, ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ ହେବେ।

✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: $x^2 - 4x + 4 = 0$ ସମୀକରଣର ବୀଜ ଦ୍ୱୟ ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ।

❓ii. $x^2 - 5x + 6 = 0$ ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ $2$ ଅଟେ।

✏️ ସଂଶୋଧନ: ପ୍ରଭେଦକ $D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$ ।

✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: $x^2 - 5x + 6 = 0$ ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ $1$ ଅଟେ।

❓ iii. $ax^2 + bx - c = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି $\frac{c}{a}$ ।

✏️ ସଂଶୋଧନ: ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟିର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $-\frac{b}{a}$ ।

✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: $ax^2 + bx - c = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି $-\frac{b}{a}$ ।

❓ iv. $ax^2 + bx + c = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ $\frac{b}{a}$ ।

✏️ ସଂଶୋଧନ: ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{c}{a}$ ।

✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: $ax^2 + bx + c = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ $\frac{c}{a}$ ।

❓ v. $1$ ଓ $-1$ ମୂଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ‌ଟି $x^2 + 1 = 0$ ।

✏️ ସଂଶୋଧନ: ସମୀକରଣ ଗଠନ ସୂତ୍ର:
$x^2 - (1 + (-1))x + (1)(-1) = 0$
$\Rightarrow x^2 - 0x - 1 = 0$
$\Rightarrow x^2 - 1 = 0$ ।

✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: $1$ ଓ $-1$ ମୂଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ‌ଟି $x^2 - 1 = 0$ ।

❓ vi. $x^2 = 0$ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳ ସମାନ ନୁହଁନ୍ତି।

✏️ ସଂଶୋଧନ: $x^2 = 0$ ର ମୂଳଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି $0$ ଓ $0$, ଯାହାକି ପରସ୍ପର ସମାନ।

✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: $x^2 = 0$ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳ ସମାନ ଅଟନ୍ତି।

❓ vii. $3x^2 - 2x - 1 = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି $-\frac{3}{2}$ ।

✏️ ସଂଶୋଧନ: ସମଷ୍ଟି = $-\frac{b}{a} = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$ ।

✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: $3x^2 - 2x - 1 = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି $\frac{2}{3}$ ।

❓ viii. $3x^2 - 2x - 1 = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ $\frac{1}{3}$ ।

✏️ ସଂଶୋଧନ: ଗୁଣଫଳ = $\frac{c}{a} = \frac{-1}{3}$ ।

✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: $3x^2 - 2x - 1 = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ $-\frac{1}{3}$ ।

📘 2. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତର ଦିଅ।

❓ i. ଗୋଟିଏ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ $3$ ଓ $-5$ ହେଲେ, ସମୀକରଣଟି ନିରୂପଣ କର।

✏️ ସମାଧାନ: ଆବଶ୍ୟକ ସମୀକରଣ: $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$
$\Rightarrow x^2 - (3 + (-5))x + (3)(-5) = 0$
$\Rightarrow x^2 - (-2)x - 15 = 0$
$\Rightarrow x^2 + 2x - 15 = 0$

✅ ଉତ୍ତର: $x^2 + 2x - 15 = 0$

❓ ii. $mx^2 - 2x + (2m - 1) = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ $3$ ହେଲେ $m$ ର ମାନ ନିରୂପଣ କର।

✏️ ସମାଧାନ: ଗୁଣଫଳ = $\frac{c}{a} = \frac{2m - 1}{m}$ ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, $\frac{2m - 1}{m} = 3$
$\Rightarrow 2m - 1 = 3m$
$\Rightarrow -1 = 3m - 2m$
$\Rightarrow m = -1$

✅ ଉତ୍ତର: $m = -1$

❓ iii. $x^2 - px + 2 = 0$ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ $2$ ହେଲେ, $p$ ର ମାନ ନିରୂପଣ କର।

✏️ ସମାଧାନ: ଯେହେତୁ $2$ ଏକ ମୂଳ, ଏହା ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରିବ।
ତେଣୁ $x = 2$ ରଖିଲେ: $(2)^2 - p(2) + 2 = 0$
$\Rightarrow 4 - 2p + 2 = 0$
$\Rightarrow 6 - 2p = 0$
$\Rightarrow 2p = 6$
$\Rightarrow p = 3$

✅ ଉତ୍ତର: $p = 3$

❓ iv. $4x^2 - 2x + c = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ହେଲେ, $c$ ର ମାନ ନିରୂପଣ କର।

✏️ ସମାଧାନ: ମୂଳଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ (ସମାନ) ହେବାର ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି $D = 0$ । $D = (-2)^2 - 4(4)(c) = 4 - 16c$ ।
ତେଣୁ $4 - 16c = 0 \Rightarrow 16c = 4$
$\Rightarrow c = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

✅ ଉତ୍ତର: $c = \frac{1}{4}$

❓ v. $5x^2 + 2x + k = 0$ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ $-2$ ହେଲେ, $k$ ର ମାନ ନିରୂପଣ କର।

✏️ ସମାଧାନ: $x = -2$ ରଖିଲେ: $5(-2)^2 + 2(-2) + k = 0 \Rightarrow 5(4) - 4 + k = 0 \Rightarrow 20 - 4 + k = 0 \Rightarrow 16 + k = 0 \Rightarrow k = -16$

✅ ଉତ୍ତର: $k = -16$

❓ vi. $x^2 - kx + 6 = 0$ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ $3$ ହେଲେ, $k$ ର ମାନ ନିରୂପଣ କର।

✏️ ସମାଧାନ: $x = 3$ ରଖିଲେ: $(3)^2 - k(3) + 6 = 0 \Rightarrow 9 - 3k + 6 = 0 \Rightarrow 15 - 3k = 0 \Rightarrow 3k = 15 \Rightarrow k = 5$

✅ ଉତ୍ତର: $k = 5$

❓ vii. $2x^2 + kx + 3 = 0$ ସମୀକରଣର ଦୁଇଟି ମୂଳ ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ ହେଲେ, $k$ ର ମାନ ନିରୂପଣ କର।

✏️ ସମାଧାନ: ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ ମୂଳ ପାଇଁ $D = 0$ । $D = k^2 - 4(2)(3) = k^2 - 24 = 0 \Rightarrow k^2 = 24 \Rightarrow k = \pm\sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$

✅ ଉତ୍ତର: $k = \pm 2\sqrt{6}$

📘 3. ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ଥିବା ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତରଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ।

❓ i. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମୀକରଣମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି $x$ ରେ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ?

(a) $x^2 - x - 12 = 0$

(b) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

© $x + \frac{3}{x} = x^2$

(d) $x(x - 1)(x + 5) = 0$

✏️ ସମାଧାନ: (a) ଟି ସିଧାସଳଖ ଏକ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ରୂପ ($ax^2 + bx + c = 0$) ରେ ଅଛି। ଅନ୍ୟଗୁଡ଼ିକର ଘାତ ସରଳ କଲେ ୨ ରୁ ଅଧିକ ହୋଇଯିବ।

✅ ଉତ୍ତର: (a) $x^2 - x - 12 = 0$

❓ ii. $7x^2 - 9x + 2 = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସ୍ୱରୂପ କ’ଣ?

(a) ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ ପରସ୍ପରଠାରୁ ପୃଥକ୍

(b) ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ

© ବାସ୍ତବ ହେବେ ନାହିଁ

✏️ ସମାଧାନ: $D = (-9)^2 - 4(7)(2) = 81 - 56 = 25$ । ଯେହେତୁ $D > 0$, ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଓ ପୃଥକ୍ ଅଟନ୍ତି।

✅ ଉତ୍ତର: (a) ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ ପରସ୍ପରଠାରୁ ପୃଥକ୍।

❓iii. ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ଯରୁ କେଉଁଟି $-6$ ଓ $8$ ମୂଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ?

(a) $(x + 6)(x + 8) = 0$

(b) $(x + 6)(x - 8) = 0$

© $(x - 6)(x + 8) = 0$

(d) $(x - 6)(x - 8) = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ମୂଳଦ୍ଵୟ $-6$ ଓ $8$ ହେଲେ ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକ ହେବ $(x - (-6))(x - 8) = (x + 6)(x - 8) = 0$ ।

✅ ଉତ୍ତର: (b) $(x + 6)(x - 8) = 0$

❓ iv. $3x^2 + 2\sqrt{5}x - 5 = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ $\alpha$ ଓ $\beta$ ହେଲେ $\alpha\beta$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?

(a) $3$

(b) $2\sqrt{5}$

© $\frac{2\sqrt{5}}{3}$

(d) $-\frac{5}{3}$

✏️ ସମାଧାନ: ଗୁଣଫଳ $\alpha\beta = \frac{c}{a} = -\frac{5}{3}$ ।

✅ ଉତ୍ତର: (d) $-\frac{5}{3}$

❓v. $4x^2 - 2x + \frac{1}{4} = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ବୟ $\alpha$ ଓ $\beta$ ହେଲେ $\alpha + \beta$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?

(a) $\frac{1}{16}$

(b) $4$

© $\frac{1}{2}$

(d) $-8$

✏️ ସମାଧାନ: ସମଷ୍ଟି $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ।

✅ ଉତ୍ତର: © $\frac{1}{2}$

❓vi. $4x^2 + 3x + 7 = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ $\alpha$ ଓ $\beta$ ହେଲେ $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?

(a) $\frac{3}{7}$

(b) $-\frac{3}{7}$

© $\frac{7}{3}$

(d) $-\frac{7}{3}$

✏️ ସମାଧାନ: $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = -\frac{b}{c} = -\frac{3}{7}$ ।

✅ ଉତ୍ତର: (b) $-\frac{3}{7}$

❓ vii. ଗୋଟିଏ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି ଓ ଗୁଣଫଳ ଯଥାକ୍ରମେ $4$ ଓ $\frac{5}{2}$ ହେଲେ ସମୀକରଣଟି ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି?

(a) $2x^2 + 8x + 5 = 0$

(b) $2x^2 - 8x + 5 = 0$

© $2x^2 + 8x - 5 = 0$

(d) $2x^2 - 8x - 5 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ସମୀକରଣଟି ହେବ $x^2 - (\text{ସମଷ୍ଟି})x + (\text{ଗୁଣଫଳ}) = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + \frac{5}{2} = 0$ । ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ $2$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ $2x^2 - 8x + 5 = 0$ ହେବ।

✅ ଉତ୍ତର: (b) $2x^2 - 8x + 5 = 0$

📘 ୪. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣମାନଙ୍କୁ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରି ସମାଧାନ କର।

❓ 4. (i) $x^2 + x - 6 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a = 1$, $b = 1$ ଓ $c = -6$ ।

$4a$ ଅର୍ଥାତ୍ $4$ ଦ୍ଵାରା $x^2 + x = 6$ ର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଗୁଣନ କଲେ ଆମେ ପାଇବା:

$\Rightarrow 4(x^2 + x) = 6 \times 4$

$\Rightarrow 4x^2 + 4x = 24$

$\Rightarrow (2x)^2 + 2(2x) \times 1 = 24$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ $1^2$ ଯୋଗ କଲେ,

$\Rightarrow (2x)^2 + 2(2x) \times 1 + 1^2 = 24 + 1^2$

$\Rightarrow (2x + 1)^2 = 24 + 1 = 25 = (\pm 5)^2$

$\Rightarrow 2x + 1 = \pm 5$

$\Rightarrow 2x = -1 \pm 5$

$\Rightarrow 2x = -1 + 5$ କିମ୍ବା $-1 - 5$

$\Rightarrow 2x = 4$ କିମ୍ବା $-6$

$\Rightarrow x = \frac{4}{2} = 2$ କିମ୍ବା $x = \frac{-6}{2} = -3$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ମୂଳଦ୍ଵୟ $2$ ଓ $-3$ । (ଉତ୍ତର)

❓ 4. (ii) $2x^2 - 9x + 4 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a = 2$, $b = -9$ ଓ $c = 4$ ।

$4a$ ଅର୍ଥାତ୍ $8$ ଦ୍ଵାରା $2x^2 - 9x = -4$ ର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଗୁଣନ କଲେ:

$\Rightarrow 8(2x^2 - 9x) = (-4) \times 8$

$\Rightarrow 16x^2 - 72x = -32$

$\Rightarrow (4x)^2 - 2(4x) \times 9 = -32$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ $9^2$ ଯୋଗ କଲେ,

$\Rightarrow (4x)^2 - 2(4x) \times 9 + 9^2 = -32 + 81$

$\Rightarrow (4x - 9)^2 = 49 = (\pm 7)^2$

$\Rightarrow 4x - 9 = \pm 7 \Rightarrow 4x = 9 \pm 7$

$\Rightarrow 4x = 16$ କିମ୍ବା $2$

$\Rightarrow x = \frac{16}{4} = 4$ କିମ୍ବା $x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ମୂଳଦ୍ଵୟ $4$ ଓ $\frac{1}{2}$ । (ଉତ୍ତର)

❓ 4. (iii) $14x^2 + x - 3 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a = 14$, $b = 1$ ଓ $c = -3$ ।

$4a$ ଅର୍ଥାତ୍ $56$ ଦ୍ଵାରା $14x^2 + x = 3$ ର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଗୁଣନ କଲେ:

$\Rightarrow 56(14x^2 + x) = 3 \times 56$

$\Rightarrow 784x^2 + 56x = 168$

$\Rightarrow (28x)^2 + 2(28x) \times 1 = 168$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ $1^2$ ଯୋଗ କଲେ,

$\Rightarrow (28x)^2 + 2(28x) \times 1 + 1^2 = 168 + 1 = 169$

$\Rightarrow (28x + 1)^2 = (\pm 13)^2$

$\Rightarrow 28x + 1 = \pm 13 \Rightarrow 28x = -1 \pm 13$

$\Rightarrow x = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}$ କିମ୍ବା $x = \frac{-14}{28} = -\frac{1}{2}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ମୂଳଦ୍ଵୟ $\frac{3}{7}$ ଓ $-\frac{1}{2}$ । (ଉତ୍ତର)

❓ 4. (iv) $3x^2 - 32x + 12 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a = 3$, $b = -32$ ଓ $c = 12$ ।

$4a$ ଅର୍ଥାତ୍ $12$ ଦ୍ଵାରା $3x^2 - 32x = -12$ ର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଗୁଣନ କଲେ:

$\Rightarrow 12(3x^2 - 32x) = -12 \times 12$

$\Rightarrow 36x^2 - 384x = -144$

$\Rightarrow (6x)^2 - 2(6x) \times 32 = -144$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ $32^2$ ଯୋଗ କଲେ,

$\Rightarrow (6x)^2 - 2(6x) \times 32 + 32^2 = -144 + 1024$

$\Rightarrow (6x - 32)^2 = 880$

$\Rightarrow 6x - 32 = \pm \sqrt{880} = \pm 4\sqrt{55}$

$\Rightarrow 6x = 32 \pm 4\sqrt{55}$

$\Rightarrow x = \frac{32 \pm 4\sqrt{55}}{6} = \frac{16 \pm 2\sqrt{55}}{3}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ମୂଳଦ୍ଵୟ $\frac{16 + 2\sqrt{55}}{3}$ ଓ $\frac{16 - 2\sqrt{55}}{3}$ । (ଉତ୍ତର)

❓ 4. (v) $x^2 + 2px - 3qx - 6pq = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ସମୀକରଣଟି ହେଉଛି $x^2 + (2p - 3q)x = 6pq$ ।

ଏଠାରେ $a = 1$, ତେଣୁ $4a$ ଅର୍ଥାତ୍ $4$ ଦ୍ଵାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଗୁଣନ କଲେ:

$\Rightarrow 4x^2 + 4(2p - 3q)x = 24pq$

$\Rightarrow (2x)^2 + 2(2x)(2p - 3q) = 24pq$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ $(2p - 3q)^2$ ଯୋଗ କଲେ,

$\Rightarrow (2x)^2 + 2(2x)(2p - 3q) + (2p - 3q)^2 = 24pq + (2p - 3q)^2$

$\Rightarrow (2x + 2p - 3q)^2 = 24pq + 4p^2 - 12pq + 9q^2$

$\Rightarrow (2x + 2p - 3q)^2 = 4p^2 + 12pq + 9q^2 = (2p + 3q)^2$

$\Rightarrow 2x + 2p - 3q = \pm (2p + 3q)$

$\Rightarrow 2x = -(2p - 3q) \pm (2p + 3q)$

ଧନାତ୍ମକ ନେଲେ: $2x = -2p + 3q + 2p + 3q = 6q \Rightarrow x = 3q$

ଋଣାତ୍ମକ ନେଲେ: $2x = -2p + 3q - 2p - 3q = -4p \Rightarrow x = -2p$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ମୂଳଦ୍ଵୟ $3q$ ଓ $-2p$ । (ଉତ୍ତର)

❓ 4. (vi) $\sqrt{3}x^2 + 10x + 8\sqrt{3} = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a = \sqrt{3}$, ତେଣୁ $4a = 4\sqrt{3}$ ।

$4\sqrt{3}$ ଦ୍ଵାରା $\sqrt{3}x^2 + 10x = -8\sqrt{3}$ ର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଗୁଣନ କଲେ:

$\Rightarrow 4\sqrt{3}(\sqrt{3}x^2 + 10x) = -8\sqrt{3} \times 4\sqrt{3}$

$\Rightarrow 12x^2 + 40\sqrt{3}x = -96$

$\Rightarrow (2\sqrt{3}x)^2 + 2(2\sqrt{3}x) \times 10 = -96$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ $10^2$ ଯୋଗ କଲେ,

$\Rightarrow (2\sqrt{3}x)^2 + 2(2\sqrt{3}x) \times 10 + 10^2 = -96 + 100$

$\Rightarrow (2\sqrt{3}x + 10)^2 = 4 = (\pm 2)^2$

$\Rightarrow 2\sqrt{3}x + 10 = \pm 2 \Rightarrow 2\sqrt{3}x = -10 \pm 2$

$\Rightarrow x = \frac{-8}{2\sqrt{3}} = -\frac{4}{\sqrt{3}}$ କିମ୍ବା $x = \frac{-12}{2\sqrt{3}} = -2\sqrt{3}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ମୂଳଦ୍ଵୟ $-\frac{4}{\sqrt{3}}$ ଓ $-2\sqrt{3}$ । (ଉତ୍ତର)

❓ 4. (vii) $25x^2 + 30x + 7 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a = 25$, ତେଣୁ $4a = 100$ ।

$100$ ଦ୍ଵାରା $25x^2 + 30x = -7$ କୁ ଗୁଣନ କଲେ:

$\Rightarrow 2500x^2 + 3000x = -700$

$\Rightarrow (50x)^2 + 2(50x) \times 30 = -700$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ $30^2$ ଯୋଗ କଲେ,

$\Rightarrow (50x)^2 + 2(50x) \times 30 + 30^2 = -700 + 900$

$\Rightarrow (50x + 30)^2 = 200$

$\Rightarrow 50x + 30 = \pm \sqrt{200} = \pm 10\sqrt{2}$

$\Rightarrow 50x = -30 \pm 10\sqrt{2} \Rightarrow x = \frac{-30 \pm 10\sqrt{2}}{50} = \frac{-3 \pm \sqrt{2}}{5}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ମୂଳଦ୍ଵୟ $\frac{-3 + \sqrt{2}}{5}$ ଓ $\frac{-3 - \sqrt{2}}{5}$ । (ଉତ୍ତର)

❓ 4. (viii) $3a^2x^2 + 8abx + 4b^2 = 0 \quad (a \neq 0)$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $x^2$ ର ସହଗ $3a^2$, ତେଣୁ ଏହାକୁ $4$ ଗୁଣ କଲେ $12a^2$ ହେବ।

$12a^2$ ଦ୍ଵାରା $3a^2x^2 + 8abx = -4b^2$ କୁ ଗୁଣନ କଲେ:

$\Rightarrow 36a^4x^2 + 96a^3bx = -48a^2b^2$

$\Rightarrow (6a^2x)^2 + 2(6a^2x)(8ab) = -48a^2b^2$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ $(8ab)^2$ ଯୋଗ କଲେ,

$\Rightarrow (6a^2x)^2 + 2(6a^2x)(8ab) + (8ab)^2 = -48a^2b^2 + 64a^2b^2$

$\Rightarrow (6a^2x + 8ab)^2 = 16a^2b^2 = (\pm 4ab)^2$

$\Rightarrow 6a^2x + 8ab = \pm 4ab \Rightarrow 6a^2x = -8ab \pm 4ab$

ଧନାତ୍ମକ ନେଲେ: $x = \frac{-4ab}{6a^2} = -\frac{2b}{3a}$

ଋଣାତ୍ମକ ନେଲେ: $x = \frac{-12ab}{6a^2} = -\frac{2b}{a}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ମୂଳଦ୍ଵୟ $-\frac{2b}{3a}$ ଓ $-\frac{2b}{a}$ । (ଉତ୍ତର)

❓ 4. (ix) $x^2 + ax + b = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ ସହଗ $1$, ତେଣୁ $4$ ଦ୍ଵାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଗୁଣନ କଲେ:

$\Rightarrow 4x^2 + 4ax = -4b$

$\Rightarrow (2x)^2 + 2(2x)(a) = -4b$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ $a^2$ ଯୋଗ କଲେ,

$\Rightarrow (2x)^2 + 2(2x)(a) + a^2 = a^2 - 4b$

$\Rightarrow (2x + a)^2 = a^2 - 4b$

$\Rightarrow 2x + a = \pm \sqrt{a^2 - 4b}$

$\Rightarrow 2x = -a \pm \sqrt{a^2 - 4b}$

$\Rightarrow x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ମୂଳଦ୍ଵୟ $\frac{-a + \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$ ଓ $\frac{-a - \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$ । (ଉତ୍ତର)

❓ 4. (x) $x^2 + bx = a^2 - ab$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ ସହଗ $1$, ତେଣୁ $4$ ଦ୍ଵାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଗୁଣନ କଲେ:

$\Rightarrow 4x^2 + 4bx = 4a^2 - 4ab$

$\Rightarrow (2x)^2 + 2(2x)(b) = 4a^2 - 4ab$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ $b^2$ ଯୋଗ କଲେ,

$\Rightarrow (2x)^2 + 2(2x)(b) + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$

$\Rightarrow (2x + b)^2 = (2a - b)^2$

$\Rightarrow 2x + b = \pm (2a - b)$

ଧନାତ୍ମକ ନେଲେ: $2x + b = 2a - b \Rightarrow 2x = 2a - 2b \Rightarrow x = a - b$

ଋଣାତ୍ମକ ନେଲେ: $2x + b = -2a + b \Rightarrow 2x = -2a \Rightarrow x = -a$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ମୂଳଦ୍ଵୟ $a - b$ ଓ $-a$ । (ଉତ୍ତର)

📘 ୫. ଦ୍ବିଘାତ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମୀକରଣମାନଙ୍କର ବୀଜ ବା ମୂଳ ନିରୂପଣ କର।
ଦ୍ବିଘାତ ସୂତ୍ର: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (ଯେଉଁଠାରେ $D = b^2 - 4ac$)

❓ 5. (i) $4x^2 - 11x + 6 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a=4, b=-11, c=6$ ।

ପ୍ରବେଧକ $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4(4)(6) = 121 - 96 = 25$ ।

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, $x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{25}}{2(4)} = \frac{11 \pm 5}{8}$ ।

ଧନାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{11 + 5}{8} = \frac{16}{8} = 2$

ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{11 - 5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

** ମୂଳଦ୍ଵୟ $2$ ଓ $\frac{3}{4}$ ଅଟେ।

❓ 5. (ii) $(2x - 1)(x - 2) = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ସମୀକରଣକୁ ଗୁଣନ କରି ସରଳ କଲେ, $2x^2 - 4x - x + 2 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 5x + 2 = 0$ ।

ଏଠାରେ $a=2, b=-5, c=2$ ।

$D = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9$ ।

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{5 \pm 3}{4}$ ।

ଧନାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

ମୂଳଦ୍ଵୟ $2$ ଓ $\frac{1}{2}$ ଅଟେ।

❓ 5. (iii) $x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a=1, b=-(1 + \sqrt{2}), c=\sqrt{2}$ ।

$D = [-(1 + \sqrt{2})]^2 - 4(1)(\sqrt{2}) = 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 4\sqrt{2} = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = (1 - \sqrt{2})^2$ ।

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, $x = \frac{-[-(1 + \sqrt{2})] \pm \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}}{2(1)} = \frac{(1 + \sqrt{2}) \pm (1 - \sqrt{2})}{2}$ ।

ଧନାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{1 + \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1$

ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{1 + \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

ମୂଳଦ୍ଵୟ $1$ ଓ $\sqrt{2}$ ଅଟେ।

❓ 5. (iv) $a(x^2 + 1) = x(a^2 + 1) \quad (a \neq 0)$

✏️ ସମାଧାନ: ଏହାକୁ ସଜାଇ ଲେଖିଲେ, $ax^2 + a = a^2x + x \Rightarrow ax^2 - (a^2 + 1)x + a = 0$ ।

ଏଠାରେ ସହଗଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $A=a, B=-(a^2 + 1), C=a$ ।

$D = [-(a^2 + 1)]^2 - 4(a)(a) = a^4 + 2a^2 + 1 - 4a^2 = a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2 - 1)^2$ ।

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, $x = \frac{(a^2 + 1) \pm \sqrt{(a^2 - 1)^2}}{2a} = \frac{(a^2 + 1) \pm (a^2 - 1)}{2a}$ ।

ଧନାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{a^2 + 1 + a^2 - 1}{2a} = \frac{2a^2}{2a} = a$

ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{a^2 + 1 - a^2 + 1}{2a} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a}$

ମୂଳଦ୍ଵୟ $a$ ଓ $\frac{1}{a}$ ଅଟେ।

❓ 5. (v) $6x^2 + 11x + 3 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a=6, b=11, c=3$ ।

$D = 11^2 - 4(6)(3) = 121 - 72 = 49$ ।

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, $x = \frac{-11 \pm \sqrt{49}}{2(6)} = \frac{-11 \pm 7}{12}$ ।

ଧନାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{-11 + 7}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{-11 - 7}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$

ମୂଳଦ୍ଵୟ $-\frac{1}{3}$ ଓ $-\frac{3}{2}$ ଅଟେ।

❓ 5. (vi) $2x^2 + 41x - 115 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a=2, b=41, c=-115$ ।

$D = 41^2 - 4(2)(-115) = 1681 + 920 = 2601$ । (ଯେହେତୁ $51^2 = 2601$)

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, $x = \frac{-41 \pm \sqrt{2601}}{2(2)} = \frac{-41 \pm 51}{4}$ ।

ଧନାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{-41 + 51}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{-41 - 51}{4} = \frac{-92}{4} = -23$

ମୂଳଦ୍ଵୟ $\frac{5}{2}$ ଓ $-23$ ଅଟେ।

❓ 5. (vii) $12x^2 + x - 6 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a=12, b=1, c=-6$ ।

$D = 1^2 - 4(12)(-6) = 1 + 288 = 289$ । (ଯେହେତୁ $17^2 = 289$)

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, $x = \frac{-1 \pm \sqrt{289}}{2(12)} = \frac{-1 \pm 17}{24}$ ।

ଧନାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{-1 + 17}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$

ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{-1 - 17}{24} = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$

ମୂଳଦ୍ଵୟ $\frac{2}{3}$ ଓ $-\frac{3}{4}$ ଅଟେ।

❓ 5. (viii) $(6x + 5)(x - 2) = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ, $6x^2 - 12x + 5x - 10 = 0 \Rightarrow 6x^2 - 7x - 10 = 0$ ।

ଏଠାରେ $a=6, b=-7, c=-10$ ।

$D = (-7)^2 - 4(6)(-10) = 49 + 240 = 289$ ।

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, $x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{289}}{2(6)} = \frac{7 \pm 17}{12}$ ।

ଧନାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{7 + 17}{12} = \frac{24}{12} = 2$

ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{7 - 17}{12} = \frac{-10}{12} = -\frac{5}{6}$

ମୂଳଦ୍ଵୟ $2$ ଓ $-\frac{5}{6}$ ଅଟେ।

❓ 5. (ix) $15x^2 - x - 28 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a=15, b=-1, c=-28$ ।

$D = (-1)^2 - 4(15)(-28) = 1 + 1680 = 1681$ । (ଯେହେତୁ $41^2 = 1681$)

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, $x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{1681}}{2(15)} = \frac{1 \pm 41}{30}$ ।

ଧନାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{1 + 41}{30} = \frac{42}{30} = \frac{7}{5}$

ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{1 - 41}{30} = \frac{-40}{30} = -\frac{4}{3}$

ମୂଳଦ୍ଵୟ $\frac{7}{5}$ ଓ $-\frac{4}{3}$ ଅଟେ।

❓ 5. (x) $(x + 5)(x - 5) = 39$

✏️ ସମାଧାନ: ସୂତ୍ର $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ ପ୍ରୟୋଗ କରି ସରଳ କଲେ,

$x^2 - 25 = 39 \Rightarrow x^2 - 25 - 39 = 0 \Rightarrow x^2 - 64 = 0$ ।

ଏଠାରେ $a=1, b=0, c=-64$ ।

$D = 0^2 - 4(1)(-64) = 256$ । (ଯେହେତୁ $16^2 = 256$)

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, $x = \frac{-0 \pm \sqrt{256}}{2(1)} = \frac{\pm 16}{2}$ ।

ଧନାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{16}{2} = 8$

ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ପାଇଁ: $x = \frac{-16}{2} = -8$

ମୂଳଦ୍ଵୟ $8$ ଓ $-8$ ଅଟେ।

❓ 6. ଯଦି $4x^2 - 13x + k = 0$ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ଅପରଟିର $12$ ଗୁଣ ହେଲେ $k$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର।