ଏଠାରେ ‘ଅନୁଶୀଳନୀ-5(a)’ ପୂର୍ବରୁ ଥିବା ପରିସଂଖ୍ୟାନ (Statistics) ଅଧ୍ୟାୟର ସମସ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସୂତ୍ର ଏବଂ ତଥ୍ୟର ଏକ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ବିବରଣୀ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯାଇଛି। ଶ୍ରେଣୀଗୃହ ପାଠଦାନ କିମ୍ବା ପିଲାମାନଙ୍କର ନୋଟ୍ସ ପ୍ରସ୍ତୁତି ପାଇଁ ଏହା ବେଶ୍ ଉପଯୋଗୀ ହେବ।

ପରିସଂଖ୍ଯାନ (Statistics) - ମୁଖ୍ୟ ବିଷୟବସ୍ତୁ

୧. କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତା (Central Tendency)

• ଏକାଧିକ ସାଂଖ୍ୟକ ତ‌ଥ୍ୟ ଦତ୍ତ ଥିଲେ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରତିନିଧୂତ୍ଵ କଲା ଭଳି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ବାରା ପ୍ରକାଶ କରିବାକୁ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତା କୁହାଯାଏ ।

• କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାକୁ ସୂଚାଇବାପାଇଁ ମୁଖ୍ୟତଃ ତିନି ପ୍ରକାରର ମାପ ଅଛି: (i) ମାଧ୍ଯମାନ (Mean), (ii) ମଧ୍ୟମା (Median) ଏବଂ (iii) ଗରିଷ୍ଠକ (Mode) ।

• ମାଧ୍ଯମାନ (Mean): ଏକ ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀ ଅନ୍ତର୍ଗତ ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ହାରାହାରି ମାପ ।

• ମଧ୍ୟମା (Median): ବଡ଼ରୁ ସାନ ବା ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମରେ ସଜାଯାଇଥିବା ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମଧ୍ୟମ ଲବଧାଙ୍କ ।

• ଗରିଷ୍ଠକ (Mode): କୌଣସି ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ଥିବା ସର୍ବାଧ‌ିକ ବାରମ୍ବାରତା ବିଶିଷ୍ଟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ।

୨. ମାଧ୍ଯମାନ (Mean) ନିର୍ଣ୍ଣୟର ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରଣାଳୀ

କ) ସାଧାରଣ ତଥ୍ୟାବଳୀ ପାଇଁ (Individual Series):

• କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକ $x_{1}, x_{2}, x_{3}.......x_{n}$ ହେଲେ, ସେଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ (M) ସୂତ୍ର ହେଉଛି:

  $M = \frac{\Sigma x}{n}$ ।

• ଏଠାରେ $\Sigma x$ ହେଉଛି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ଏବଂ $n$ ହେଉଛି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ।

ଖ) ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀ ପାଇଁ (Frequency Distribution):

• ବାରମ୍ବାରତା ଦିଆଯାଇଥିବା କ୍ଷେତ୍ରରେ ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ସୂତ୍ର:

  $M = \frac{\Sigma fx}{\Sigma f}$ ।

ଗ) ଭାଗ ବିଭକ୍ତ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ପାଇଁ (Grouped Frequency Distribution):

• ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ପ୍ରଥମେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ($y$) ନିରୂପଣ କରାଯାଏ ।

• ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $y = \frac{l_{1} + l_{2}}{2}$ (ଯେଉଁଠି $l_{1}$ ଓ $l_{2}$ ଯଥାକ୍ରମେ ସଂଭାଗର ନିମ୍ନ ଓ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବ ସୀମା ଅଟନ୍ତି) ।

• ଏକ୍ଷେତ୍ରରେ ମାଧ୍ଯମାନ ସୂତ୍ର:

  $M = \frac{\Sigma fy}{\Sigma f}$ ।

୩. ହିସାବ ସରଳୀକରଣ ପାଇଁ ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ

କ) ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ ବା ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ (Short-cut / Deviation Method):

• ବଡ଼ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନ ଏବଂ ଯୋଗକୁ ସହଜ କରିବା ପାଇଁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାକୁ “ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ” (A) ରୂପେ ନିଆଯାଏ ।

• ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କରୁ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ବିୟୋଗ କଲେ “ବିଚ୍ୟୁତି” ($y$) ମିଳେ ଅର୍ଥାତ୍ $y = x - A$ ।

• ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀରେ ମାଧ୍ଯମାନ (M) ସୂତ୍ର:

  $M = A + \frac{\Sigma fy}{\Sigma f}$ ।

ଖ) ସୋପାନ-ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ (Step-deviation Method):

• ଏହା ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀର ଏକ ଅତି ସରଳୀକୃତ ରୂପ ଅଟେ ।

• ଏଥିରେ ବିଚ୍ୟୁତିଗୁଡ଼ିକୁ ସେମାନଙ୍କର ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ବା ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର ($c$) ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରାଯାଏ ଅର୍ଥାତ୍ $y' = \frac{x - A}{c}$ ।

• ସୋପାନ-ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀରେ ମାଧ୍ଯମାନ (M) ସୂତ୍ର:

  $M = A + \frac{\Sigma fy'}{\Sigma f} \times c$ ।

୪. ମାଧ୍ଯମାନ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କେତେକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ତଥ୍ୟ (Properties of Mean)

ଯଦି $x_{1}, x_{2}, x_{3}........x_{n}$ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ $M$ ହୁଏ, ତେବେ:

• ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ ଠାରୁ ବିଚ୍ୟୁତିର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା ଶୂନ ହୁଏ, ଅର୍ଥାତ୍ $\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-M) = 0$ ।

• ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସହ ଏକ ସଂଖ୍ୟା $a$ ଯୋଗ କଲେ ନୂତନ ମାଧ୍ଯମାନ $M+a$ ହୁଏ ।

• ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କରୁ ଏକ ସଂଖ୍ୟା $a$ ବିୟୋଗ କଲେ ନୂତନ ମାଧ୍ଯମାନ $M-a$ ହୁଏ ।

• ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କୁ ଏକ ସଂଖ୍ୟା $a$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିଲେ ନୂତନ ମାଧ୍ଯମାନ $aM$ ହୁଏ (ଯେଉଁଠାରେ $a \neq 0$) ।

• ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କୁ ଏକ ସଂଖ୍ୟା $a$ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ନୂତନ ମାଧ୍ଯମାନ $\frac{M}{a}$ ହୁଏ (ଯେଉଁଠାରେ $a \neq 0$) ।

**

ଏଠାରେ କେତେକ ଅତି ସହଜ ଟ୍ରିକ୍ସ ଏବଂ ସର୍ଟକଟ୍ (Shortcuts) ଦିଆଗଲା। ଏହା ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନଙ୍କୁ ଦୀର୍ଘ ହିସାବରୁ ବଞ୍ଚାଇ ଶୀଘ୍ର ଉତ୍ତର ପାଇବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିବ:

**

ପରିସଂଖ୍ୟାନର କେତେକ ସହଜ ଟ୍ରିକ୍ସ (Quick Tricks & Memory Aids)

ଟ୍ରିକ୍ ୧: ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (A.P.) ସର୍ଟକଟ୍

ଯଦି କିଛି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି ବା A.P. ରେ ଥାଆନ୍ତି (ଅର୍ଥାତ୍ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ ସମାନ ଥାଏ), ତେବେ ଲମ୍ବା ସୂତ୍ର ପକାଇବାର ଆବଶ୍ୟକତା ନାହିଁ।

• ମାଧ୍ୟମାନ (Mean) = ମଧ୍ୟମା (Median) = ଠିକ୍ ମଝିରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା

• ଉଦାହରଣ: 5, 10, 15, 20, 25 ର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ?

  ସିଧାସଳଖ ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ ମଝି ସଂଖ୍ୟା 15।

• ଯଦି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ ହୋଇଥାଏ (ଯେପରିକି 2, 4, 6, 8), ତେବେ ମାଧ୍ୟମାନ ହେବ ମଝି ଦୁଇଟିର ହାରାହାରି (ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{4+6}{2} = 5$)।

ଟ୍ରିକ୍ ୨: ସଂଖ୍ୟା କ୍ରମ (Number Series) ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ସୂତ୍ର

ବାରମ୍ବାର ପଚରାଯାଉଥିବା ପ୍ରଥମ ‘n’ ସଂଖ୍ୟକ ପଦର ମାଧ୍ୟମାନ ପାଇଁ ଏହି ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ସିଧାସଳଖ ମନେ ରଖନ୍ତୁ:

• ପ୍ରଥମ $n$ ସଂଖ୍ୟକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ = $\frac{n+1}{2}$

• ପ୍ରଥମ $n$ ସଂଖ୍ୟକ ଅଯୁଗ୍ମ (Odd) ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ = $n$

  (ଉଦାହରଣ: ପ୍ରଥମ ୨୦ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ = ୨୦)

• ପ୍ରଥମ $n$ ସଂଖ୍ୟକ ଯୁଗ୍ମ (Even) ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ = $n+1$

  (ଉଦାହରଣ: ପ୍ରଥମ ୧୫ଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ = ୧୫+୧ = ୧୬)

ଟ୍ରିକ୍ ୩: “ଗୁଣିଲେ ଗୁଣିବେ, ହରିଲେ ହରିବେ” (Change of Origin & Scale)

ଯଦି ଗୋଟିଏ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ ଦିଆଯାଇଥାଏ, ଏବଂ ପ୍ରଶ୍ନ କହେ ଯେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସହ କିଛି ଯୋଗ/ବିୟୋଗ/ଗୁଣନ/ହରଣ କରାଗଲା, ତେବେ ନୂଆ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ କାଢ଼ିବା ଦରକାର ନାହିଁ।

• ସିଧା ଉପାୟ: ପୁରୁଣା ମାଧ୍ୟମାନ ସହିତ ସେହି ସମାନ ପ୍ରକ୍ରିୟା କରନ୍ତୁ।

• ଉଦାହରଣ: ୧୦ଟି ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ ୧୮। ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ୨ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିଲେ ନୂଆ ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ?

  ସିଧାସଳଖ ଉତ୍ତର: $୧୮ \times ୨ = ୩୬$।

ଟ୍ରିକ୍ ୪: ଆନୁଭବିକ ସମ୍ବନ୍ଧ (Empirical Formula) ମନେରଖିବାର ଉପାୟ

ଗରିଷ୍ଠକ, ମଧ୍ୟମା ଓ ମାଧ୍ୟମାନ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମ୍ପର୍କରୁ ଗୋଟିଏ ପ୍ରଶ୍ନ ନିଶ୍ଚିତ ଆସେ। ସୂତ୍ରଟି ହେଲା:

$Mode = 3 Median - 2 Mean$ (ଗରିଷ୍ଠକ = ୩ × ମଧ୍ୟମା - ୨ × ମାଧ୍ୟମାନ)

• ମନେରଖିବାର କୌଶଳ (3-2-1 Rule): ଇଂରାଜୀ ବନାନକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ। “Median” ହେଉଛି ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ଶବ୍ଦ (୬ଟି ଅକ୍ଷର)। ତେଣୁ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ଗୁଣକ ୩ (3) ତାହା ସହିତ ରହିବ। “Mean” ରେ ୪ଟି ଅକ୍ଷର ଅଛି, ତେଣୁ ତାହା ସହ ୨ (2) ଗୁଣା ହେବ। (୩ଟି Median ରୁ ୨ଟି Mean ଗଲେ ୧ଟି Mode ମିଳିବ)।

ଟ୍ରିକ୍ ୫: ମଧ୍ୟମା ବାଛିବା ପାଇଁ ହାତ ଆଙ୍ଗୁଠି କୌଶଳ (Median Finger Trick)

ମଧ୍ୟମା ବାହାର କରିବା ପାଇଁ ପ୍ରଥମେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଛୋଟରୁ ବଡ଼ କ୍ରମରେ ସଜାଇ ଦିଅନ୍ତୁ।

• ଅଯୁଗ୍ମ (Odd): ହାତର ୫ଟି ଆଙ୍ଗୁଠି ଭଳି, ଏପାଖରୁ ୨ଟି ସେପାଖରୁ ୨ଟି ଛାଡ଼ିଦେଲେ ମଝିରେ ଯେଉଁ ଗୋଟିଏ ରହିଲା (ମଝି ଆଙ୍ଗୁଠି), ତାହା ହିଁ ମଧ୍ୟମା।

• ଯୁଗ୍ମ (Even): ୪ଟି ଆଙ୍ଗୁଠି ଭଳି, ଏପାଖରୁ ୧ଟି ସେପାଖରୁ ୧ଟି ଛାଡ଼ିଲେ ମଝିରେ ଦୁଇଟି ଆଙ୍ଗୁଠି ରହିବ। ସେହି ଦୁଇଟିକୁ ମିଶାଇ ଅଧା କରିଦିଅନ୍ତୁ (ହାରାହାରି), ମଧ୍ୟମା ବାହାରିଯିବ।