1 . ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁଟି ଠିକ୍ ତା’ ପାଖରେ T ଓ ଯେଉଁଟି ଭୁଲ୍ ତା’ ପାଖରେ F ଲେଖ ।

(i) ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ ସେ ଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯବତ୍ତୀ ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା ସଙ୍ଗେ ସମାନ।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ (T)

ସମାଧାନ: ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା 3 ଏବଂ 5 ନେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ ହେବ $\frac{3+5}{2} = 4$, ଯାହାକି ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।

(ii) ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ଥିବା ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ପଦର ମାଧ୍ଯମାନ ସେମାନଙ୍କର ମଧ୍ଯମପଦ ସଙ୍ଗେ ସମାନ।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ (T)

ସମାଧାନ: ଯଦି ପଦଗୁଡ଼ିକ $a-d, a, a+d$ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ସମଷ୍ଟି ହେବ $3a$। ମାଧ୍ୟମାନ ବାହାର କରିବା ପାଇଁ $\frac{3a}{3} = a$, ଯାହାକି ଠିକ୍ ମଧ୍ୟମ ପଦ ଅଟେ।

(iii) ଗୋଟିଏ ତଥ୍ୟାବଳୀର ହାରାହାରି ନିର୍ଣ୍ଣୟକୁ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ କୁହାଯାଏ।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ (T)

ସମାଧାନ: ପରିସଂଖ୍ୟାନ ଭାଷାରେ ମାଧ୍ୟମାନ (Mean) ଏବଂ ହାରାହାରି (Average) ଏକା ଅର୍ଥ ପ୍ରକାଶ କରନ୍ତି।

(iv) ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ନେଇ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲେ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉତ୍ତର ମିଳିବ।

ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ (F)

ସମାଧାନ: ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ (A) ଯାହା ନେଲେ ମଧ୍ୟ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ ସର୍ବଦା ସମାନ ରହେ। ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ କେବଳ ହିସାବ ସହଜ କରିବା ପାଇଁ ଏକ କୌଶଳ।

(v) କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ 20 ହେଲେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 15 ର ବିଚ୍ୟୁତି 5।

ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ (F)

ସମାଧାନ: ବିଚ୍ୟୁତି ($y$) ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ $y = \text{ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ} - \text{ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ}$। ତେଣୁ ଏହା $15 - 20 = -5$ ହେବ, କିନ୍ତୁ +5 ନୁହେଁ।

(vi) ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ $\frac{n+1}{2}$।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ (T)

ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ $n$ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି $\frac{n(n+1)}{2}$ ଅଟେ, ତେଣୁ ମାଧ୍ୟମାନ ହେବ $\frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$।

(vii) ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ 2n+2।

ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ (F)

ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ $n$ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି $n(n+1)$ ହୋଇଥାଏ, ତେଣୁ ଏହାକୁ $n$ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ମାଧ୍ୟମାନ $n+1$ ଆସିବ।

(viii) ପ୍ରଥମ ଦଶଗୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ 10।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ (T)

ସମାଧାନ: ଏହା ଏକ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ନିୟମ ଯେ ପ୍ରଥମ $n$ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ ସର୍ବଦା $n$ ହିଁ ହୋଇଥାଏ। ଏଠାରେ $n=10$ ଥିବାରୁ ମାଧ୍ୟମାନ ମଧ୍ୟ 10 ହେବ।

(ix) 15 ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ 17। ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣି ସେମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ସ୍ଥିର କଲେ ମାଧ୍ଯମାନ 8.5 ହେବ।

ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ (F)

ସମାଧାନ: ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ 2 ଗୁଣିଲେ ନୂତନ ମାଧ୍ୟମାନ ମଧ୍ୟ 2 ଗୁଣ ହୋଇଯିବ, ଅର୍ଥାତ୍ $17 \times 2 = 34$ ହେବ।

(x) ପ୍ରଥମ 20ଟି ଯୁଗ୍ମ ଗଣନସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ, ପ୍ରଥମ 20 ଟି ଗଣନସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନର ଦୁଇଗୁଣ।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ (T)

ସମାଧାନ: 20ଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ ହେଉଛି $20 + 1 = 21$। 20ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ ହେଉଛି $\frac{20+1}{2} = 10.5$। ଏଠାରେ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ $10.5 \times 2 = 21$ ଅଟେ।

.2. ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ପ୍ରଦତ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତର ମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛ:

(i) 61, 62, 68, 56, 64, 72, 69, 51, 71, 67, 70, 55, 63 ର ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ଲାଗି ନିମ୍ନସ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଉପଯୁକ୍ତ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ହେବ?

(A) 55

(B) 60

© 70

(D) 72

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: (B) 60

ସମାଧାନ: ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ବାଛିବା ବେଳେ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକର ପାଖାପାଖି ମଝିରେ ଥିବା ଏକ ସୁବିଧାଜନକ ସଂଖ୍ୟା ଖୋଜାଯାଏ। ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ 51 ରୁ 72 ମଧ୍ୟରେ ଅଛନ୍ତି, ତେଣୁ ଏମାନଙ୍କ ମଝିରେ ଥିବା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା 60 କୁ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ଭାବେ ନେବା ସବୁଠାରୁ ଉପଯୁକ୍ତ ଅଟେ।

(ii) ପ୍ରଥମ 20 ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ?

(A) 10

(B) $10\frac{1}{2}$

(.C) $\frac{21}{20}$

(D) 210

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: (B) $10\frac{1}{2}$

ସମାଧାନ: ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ପ୍ରଥମ $n$ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ $\frac{n+1}{2}$। ତେଣୁ $n=20$ ହେଲେ, ମାଧ୍ୟମାନ $\frac{20+1}{2} = \frac{21}{2} = 10.5$ ବା $10\frac{1}{2}$ ହେବ।

(iii) ପ୍ରଥମ ‘n’ ସଂଖ୍ୟକ ସଂପ୍ରସାରିତ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା (Whole number) ର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ?

(A) $\frac{n-1}{2}$

(B) $\frac{n}{2}$

© $\frac{n+1}{2}$

(D) n

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: (A) $\frac{n-1}{2}$

ସମାଧାନ: ସଂପ୍ରସାରିତ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଶୂନ (0) ରୁ ଆରମ୍ଭ ହୁଏ (0, 1, 2… $n-1$)। ଏମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି $\frac{(n-1)n}{2}$। ଏହାର ମାଧ୍ୟମାନ ବାହାର କରିବା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟିକୁ $n$ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ଉତ୍ତର ମିଳିବ $\frac{n-1}{2}$।

(iv) ପ୍ରଥମ ‘n’ ସଂଖ୍ୟକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ?

(A) $(n-1)$

(B) n

© $n+1$

(D) $n+2$

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: © $n+1$

ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ $n$ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ସୂତ୍ର ହେଉଛି $n(n+1)$। ମାଧ୍ୟମାନ ପାଇବା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟିକୁ $n$ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ଉତ୍ତର ଆସିବ $n+1$।

(v) ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ?

(A) $(n-1)$

(B) n

(.C) $n+1$

(D) $n+2$

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: (B) n

ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ $n$ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମୋଟ ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା $n^{2}$ ହୋଇଥାଏ। ତେଣୁ ମାଧ୍ୟମାନ ବାହାର କରିବାକୁ ହେଲେ $n^{2}$ କୁ $n$ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରାଯାଏ, ଯାହାର ଫଳାଫଳ $n$ ଅଟେ।

(vi) ‘M’ ମାଧ୍ଯମାନ ବିଶିଷ୍ଟ 10 ଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ 2 ବଢ଼ାଇଲେ ନୂତନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 10 ଟିର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ହେବ?

(A) M

(B) 2M

(.C) $M^{2}$

(D) $M+2$

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: (D) $M+2$

ସମାଧାନ: ଏହା ଏକ ପ୍ରାମାଣିକ ନିୟମ ଯେ ଯଦି ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସହିତ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗ କରାଯାଏ, ତେବେ ପୁରୁଣା ମାଧ୍ୟମାନ ମଧ୍ୟ ସେହି ସମାନ ପରିମାଣରେ ବଢ଼ିଯାଏ।

(vii) ‘M’ ମାଧ୍ଯମାନ ବିଶିଷ୍ଟ n ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ 4 ଗୁଣ କରିଦେଲେ ନୂତନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ହେବ?

(A) $\frac{M}{4}$

(B) M

(.C) 4M

(D) $\frac{4}{M}$

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: (.C) 4M

ସମାଧାନ: ପରିସଂଖ୍ୟାନର ନିୟମ ଅନୁସାରେ ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାରେ ଗୁଣିଲେ, ମାଧ୍ୟମାନ ମଧ୍ୟ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ଗୁଣିତ ହୋଇଯାଏ।

(viii) ‘M’ ମାଧ୍ଯମାନ ବିଶିଷ୍ଟ n ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକରୁ x ବିୟୋଗ କଲେ ନୂତନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ହେବ?

(A) M

(B) $(M+x)$

(.C) Mx

(D) $(M-x)$

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: (D) $(M-x)$

ସମାଧାନ: ଯେହେତୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କରୁ $x$ କମାଇ ଦିଆଯାଉଛି, ତେଣୁ ନୂତନ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମାଧ୍ୟମାନ ମଧ୍ୟ ପୁରୁଣା ମାଧ୍ୟମାନରୁ $x$ କମିଯିବ।

(ix) ‘M’ ମାଧ୍ଯମାନ ବିଶିଷ୍ଟ n ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ନୂତନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ହେବ?

(A) M

(B) $\frac{M}{5}$

(.C) 5M

(D) $M-5$

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: (B) $\frac{M}{5}$

ସମାଧାନ: ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଭଳି, ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କୁ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରାଯାଏ, ତେବେ ନୂଆ ମାଧ୍ୟମାନ ମଧ୍ୟ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ ହୋଇଯିବ।

(x) ଯଦି a ସଂଖ୍ୟକ ବାଳକମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ବୟସ 12 ବର୍ଷ ଓ b ସଂଖ୍ୟକ ବାଳିକାଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ବୟସ 10 ବର୍ଷ ହୁଏ, ତେବେ ଉପରୋକ୍ତ ସମସ୍ତ ବାଳକ ବାଳିକାଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ବୟସ କେତେ ବର୍ଷ ହେବ?

(A) $\frac{10a+12b}{a+b}$

(B) $\frac{12a+10b}{a+b}$

(.C) $\frac{10a+12b}{10+12}$

(D) $\frac{12a+10b}{10+12}$

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: (B) $\frac{12a+10b}{a+b}$

ସମାଧାନ: ବାଳକମାନଙ୍କର ମୋଟ ବୟସ ହେବ $12a$ ଏବଂ ବାଳିକାମାନଙ୍କର ମୋଟ ବୟସ ହେବ $10b$। ଉଭୟଙ୍କ ମୋଟ ବୟସର ସମଷ୍ଟି ହେବ $12a + 10b$ ଏବଂ ସମୁଦାୟ ପିଲାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ହେବ $(a+b)$। ମିଳିତ ହାରାହାରି ଏହି ଦୁଇଟିର ଅନୁପାତ ସହ ସମାନ ହେବ।

(xi) 998.9, 999.1, 1000.3, 1000.6, 1000.1 ର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ?

(A) 998

(B) 999

(.C) 1000

(D) 1001

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: © 1000

ସମାଧାନ: ଏହି 5ଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ବାହାର କଲେ ସମୁଦାୟ 4999 ହେବ। ତେଣୁ ମାଧ୍ୟମାନ $\frac{4999}{5} = 999.8$, ଯାହାକି ଆପାତତଃ 1000 ର ଅତି ନିକଟତର ଏବଂ ଦତ୍ତ ବିକଳ୍ପ ମଧ୍ୟରୁ ଏହା ହିଁ ସର୍ବୋତ୍ତମ ଉତ୍ତର ଅଟେ।

(xii) 6, 8, 5, 7, x ଏବଂ 4 ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ 7 ହେଲେ x ର ମାନ କେତେ ହେବ?

(A) 10

(B) 11

(.C) 12

(D) 13

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: (.C) 12

ସମାଧାନ: ମୋଟ 6ଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ 7 ଅଟେ। ତେଣୁ ସମଷ୍ଟି $6 \times 7 = 42$ ହେବ। ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ $6 + 8 + 5 + 7 + x + 4 = 30 + x$। ଅତଏବ, $30 + x = 42$ ହେଲେ $x = 42 - 30 = 12$ ହେବ।

(xiii) $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ M ହେଲେ $\sum_{i=1}^{6}(x_{i}-M)$ ର ମାନ କେତେ ହେବ?

(A) 0

(B) 6

(.C) 36

(D) -6

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର:

(A) 0

ସମାଧାନ: ଏହା ଏକ ପ୍ରମାଣିତ ଗାଣିତିକ ତଥ୍ୟ ଯେ କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନରୁ ବାହାର କରାଯାଇଥିବା ସମସ୍ତ ବିଚ୍ୟୁତି (Deviations) ର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା ଶୂନ (0) ସହ ସମାନ ହୋଇଥାଏ।

(xiv) $x, x+2, x+4, x+6, x+8$ ର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ?

(A) $x+2$

(B) $x+4$

(.C) $x+6$

(D) x

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: (B) $x+4$

ସମାଧାନ: ଏହି 5ଟି ଯାକ ପଦ ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ଅଛନ୍ତି ଯାହାର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର 2 ଅଟେ। ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ମାଧ୍ୟମାନ ସର୍ବଦା ଠିକ୍ ମଝିରେ ଥିବା ପଦ ସହ ସମାନ ହୁଏ, ଯାହାକି ଏଠାରେ $x+4$ ଅଟେ।

(xv) 18 ର ସମସ୍ତ ଗୁଣନୀୟକ ମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ?

(A) 5

(B) 6

(.C) 6.5

(D) 7

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: (.C) 6.5

ସମାଧାନ: 18 ର ସମସ୍ତ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା 1, 2, 3, 6, 9 ଏବଂ 18। ଏମାନଙ୍କର ମୋଟ ସମଷ୍ଟି 39 ହେବ। ଏଠାରେ ମୋଟ ଗୁଣନୀୟକ ସଂଖ୍ୟା 6 ଥିବାରୁ, ମାଧ୍ୟମାନ $\frac{39}{6} = 6.5$ ହେବ।