ପ୍ରଶ୍ନ 9: ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ 2 ଥର ଟସ୍ କରାଗଲେ ନିମ୍ନଲିଖୁତ ଘଟଣା ଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥିର କରି ସେମାନଙ୍କ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।

(i) ଅତି କମରେ ଗୋଟିଏ H ;
(ii) ଫଳ ରେ କେବଳ T ରହିବା ;
(iii) ଫଳରେ ଅତି ବେଶିରେ ଗୋଟିଏ H ରହିବା ଓ
(iv) ଫଳରେ H ନ ରହିବା ।

ସମାଧାନ:

ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ କଲେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ ଏବଂ $|S| = 4$ ।

(i) ଅତି କମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ H: ଅନୁକୂଳ ଫଳାଫଳ
$E_1 = \{HH, HT, TH\}$
ଏବଂ $|E_1| = 3$ ।

ସମ୍ଭାବ୍ୟତା =$\frac{3}{4}$

(ii) ଫଳରେ କେବଳ T ରହିବା: ଅନୁକୂଳ ଫଳାଫଳ
$E_2 = \{TT\}$ ଏବଂ
$|E_2| = 1$

ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{1}{4}$

(iii) ଫଳରେ ଅତି ବେଶିରେ ଗୋଟିଏ H ରହିବା: (ଅର୍ଥାତ୍ 0 ଟି ବା 1 ଟି H) ଅନୁକୂଳ ଫଳାଫଳ $E_3 = \{HT, TH, TT\}$ ଏବଂ $|E_3| = 3$ ।

ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{3}{4}$

(iv) ଫଳରେ H ନ ରହିବା: ଏହାର ଅର୍ଥ କେବଳ T ରହିବା। ଅନୁକୂଳ ଫଳାଫଳ $E_4 = \{TT\}$ ଏବଂ $|E_4| = 1$ ।

ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{1}{4}$

ପ୍ରଶ୍ନ 10: ଗୋଟିଏ ମଦ୍ରାକୁ 3 ଥର ଟସ କରାଗଲା । ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସଟ ଲେଖ ଓ ନିମ୍ନଲିଖତ ଘଟଣା ମାନଙ୍କ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।

(i) ଫଳରେ କେବଳ T ରହିବା

(ii) ଫଳରେ ଅତି କମ୍‌ରେ ଦୁଇଟି H ଥିବା

(iii) ଫଳରେ ଅତି ବେଶିରେ ଦୁଇଟି T ରହିବା

(iv) ଫଳରେ କେବଳ H କିମ୍ବା କେବଳ T ଥିବା ଓ

(v) କୌଣସି ଫଳରେ H ନ ଥିବା

ସମାଧାନ:

3 ଥର ଟସ୍ କଲେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ ଏବଂ $|S| = 8$ ।

• (i) କେବଳ T ରହିବା: $E_1 = \{TTT\}$

  $\Rightarrow$ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{1}{8}$

• (ii) ଅତି କମ୍‌ରେ ଦୁଇଟି H ଥିବା: (ଅର୍ଥାତ୍ 2 ଟି କିମ୍ବା 3ଟି H)

  $E_2 = \{HHT, HTH, THH, HHH\}$

  $\Rightarrow$ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

• (iii) ଅତି ବେଶିରେ ଦୁଇଟି T ରହିବା: (ଅର୍ଥାତ୍ 0, 1, କିମ୍ବା 2 ଟି T) ଏଠାରେ କେବଳ $TTT$ କୁ ଛାଡି ବାକି ସବୁ ଆସିବ।

  $E_3 = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$

  $\Rightarrow$ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{7}{8}$

• (iv) କେବଳ H କିମ୍ବା କେବଳ T ଥିବା: $E_4 = \{HHH, TTT\}$

  $\Rightarrow$ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

• (v) କୌଣସି ଫଳରେ H ନ ଥିବା: (ଅର୍ଥାତ୍ କେବଳ T) $E_5 = \{TTT\}$

  $\Rightarrow$ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{1}{8}$

ପ୍ରଶ୍ନ 11: ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଦୁଇ ଥର ଗଡ଼ାଇ ଦିଆ ଯିବାରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଫଳ ଲବ୍ଧ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର ।

(i) ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ର ଯୋଗଫଳ = 6

(ii) ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ର ଯୋଗଫଳ = 4

(iii) ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକଟି ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା

(iv) ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ର ଯୋଗଫଳ $\ge 10$

(v) ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ର ଯୋଗଫଳ < 6 ଓ

(vi) ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟା ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ଓ ଦ୍ବିତୀୟଟି 6

ସମାଧାନ:

ଲୁଡୁକୁ ଦୁଇ ଥର ଗଡ଼ାଇଲେ ମୋଟ ଫଳାଫଳ $|S| = 36$ ।

• (i) ଯୋଗଫଳ = 6: ଅନୁକୂଳ ଫଳ $E = \{15, 24, 33, 42, 51\}$, ସଂଖ୍ୟା = 5

  ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{5}{36}$

• (ii) ଯୋଗଫଳ = 4: ଅନୁକୂଳ ଫଳ $E = \{13, 22, 31\}$,
  ସଂଖ୍ୟା = 3
  ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

• (iii) ଉଭୟ ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା: ଲୁଡୁରେ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେଲା 1 ଏବଂ 4

  ତେଣୁ ଯୋଡିଗୁଡ଼ିକ ହେବ $\{11, 14, 41, 44\}$, ସଂଖ୍ୟା = 4

  ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

• (iv) ଯୋଗଫଳ $\ge 10$: (ଅର୍ଥାତ୍ 10, 11, 12)

  ଅନୁକୂଳ ଫଳ = $\{46, 55, 64, 56, 65, 66\}$, ସଂଖ୍ୟା = 6

  ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

• **(v) ଯୋଗଫଳ < 6 (ଅର୍ଥାତ୍ ଯୋଗଫଳ 2, 3, 4, 5)

  ଅନୁକୂଳ ଫଳ = $\{11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 31, 32, 41\}$, ସଂଖ୍ୟା = 10

  ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

• (vi) ପ୍ରଥମଟି ଅଯୁଗ୍ମ ଓ ଦ୍ବିତୀୟଟି 6: (ପ୍ରଥମ ଅଯୁଗ୍ମ = 1, 3, 5)

  ଯୋଡିଗୁଡ଼ିକ = $\{16, 36, 56\}$, ସଂଖ୍ୟା = 3

  ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

ପ୍ରଶ୍ନ 12: ଏକ ପରୀକ୍ଷଣରେ ପରସ୍ପର ବର୍ହିଭୁକ୍ତ ଦୁଇଟି ଘଟଣା $E_1$ ଓ $E_2$ ଏପରିକି $P(E_1) = 2P(E_2)$ ଓ $P(E_1) + P(E_2) = 0.9$ । ତେବେ $E_1 \cup E_2$ ଘଟଣା ତଥା $E_1$ ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ ଅଛି: $P(E_1) + P(E_2) = 0.9$ ଏବଂ $P(E_1) = 2P(E_2)$

ମୂଲ୍ୟ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $2P(E_2) + P(E_2) = 0.9 \Rightarrow 3P(E_2) = 0.9 \Rightarrow P(E_2) = 0.3$

ତେଣୁ, $P(E_1) = 2 \times 0.3 = 0.6$ ।

ଯେହେତୁ ଘଟଣା ଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ($E_1 \cap E_2 = \phi$), ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2)$ ।

ତେଣୁ $P(E_1 \cup E_2) = 0.9$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ 13: ଯଦି $E_1$ ଓ $E_2$ ଏପରି ଦୁଇଟି ଘଟଣା ଯେଉଁଠାରେ $P(E_1) = \frac{5}{8}$, $P(E_2) = \frac{2}{8}$ ଓ $P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8}$ ତେବେ ନିମ୍ନଲିଖୂତ ଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥିର କର ।

(i) $P(E_1 \cup E_2)$

(ii) $P(E_1')$

(iii) $P(E_2')$

(iv) $P(E_1' \cup E_2')$

ସମାଧାନ:

• (i) $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$

  = $\frac{5}{8} + \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \mathbf{\frac{3}{4}}$

• (ii) $P(E_1’) = 1 - P(E_1)

  = 1 - $\frac{5}{8} = \mathbf{\frac{3}{8}}$

• (iii) $P(E_2’) = 1 - P(E_2)

  = 1 - $\frac{2}{8} = \frac{6}{8} = \mathbf{\frac{3}{4}}$

• (iv) $P(E_1' \cup E_2')$
  = $P((E_1 \cap E_2)') = 1 - P(E_1 \cap E_2)$

  $= 1 - \frac{1}{8} = \mathbf{\frac{7}{8}}$

ପ୍ରଶ୍ନ 14: ‘MATHEMATICS’ ଶବ୍ଦରୁ ଯଦୃଚ୍ଛା ଗୋଟିଏ ଅକ୍ଷର A କିମ୍ବା T ବାଛିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:

‘MATHEMATICS’ ଶବ୍ଦରେ ମୋଟ ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟା = 11 ।

ଏଥିରେ ‘A’ ଅଛି 2 ଥର ଏବଂ ‘T’ ଅଛି 2 ଥର।
ମୋଟ ଅନୁକୂଳ ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟା = 2 + 2 = 4 ।

ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{4}{11}$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ 15: ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ‘ଫଳ 5 କିମ୍ବା ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା’ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ:

ମୋଟ ଫଳାଫଳ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ଏବଂ $|S| = 6$ ।

ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡ଼ିକ ହେଲା $\{1, 3, 5\}$। ଏଥିରେ 5 ପୂର୍ବରୁ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଅଛି।

ତେଣୁ ‘5 କିମ୍ବା ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା’ ସେଟ୍ ହେବ $E = \{1, 3, 5\}$
ଏବଂ $|E| = 3$ ।

ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{3}{6} = \mathbf{\frac{1}{2}}$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ 16: ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇବାରୁ “ଫଳ ଅଯୁଗ୍ମ କିମ୍ବା ଫଳ $> 3$” ଘଟଣାଟିର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ:

ମୋଟ ଫଳାଫଳ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ଏବଂ $|S| = 6$ ।

ଘଟଣା $E_1$ (ଫଳ ଅଯୁଗ୍ମ) = $\{1, 3, 5\}$

ଘଟଣା $E_2$ (ଫଳ $> 3$) = $\{4, 5, 6\}$

"ଫଳ ଅଯୁଗ୍ମ କିମ୍ବା ଫଳ $> 3$" ଅର୍ଥାତ୍ $E_1 \cup E_2 = \{1, 3, 4, 5, 6\}$ ଯାହାର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା $|E| = 5$ ।

ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{5}{6}$ ।