ଏଠାରେ ଚତୁର୍ଥ ଅଧ୍ୟାୟ (ସମ୍ଭାବ୍ୟତା) ର ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବିଷୟବସ୍ତୁ ଉପରେ ଆଧାର କରି ୫୨ଟି ଅତିରିକ୍ତ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନ (ବିନା ଉତ୍ତରରେ) ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯାଇଛି। ସହଜରେ ଅଭ୍ୟାସ କରିବା ପାଇଁ ଏଗୁଡ଼ିକୁ ବିଭିନ୍ନ ବିଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି:

ବିଭାଗ ୧: ମୌଳିକ ଧାରଣା ଏବଂ ସୂତ୍ର (Basic Concepts & Formulas)

୧. ଆନୁଭବିକ (Empirical) ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଏବଂ ତତ୍ତ୍ଵାଧାରିକ (Theoretical) ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ପ୍ରଧାନ ପାର୍ଥକ୍ୟ ବୁଝାଅ।

୨. କୌଣସି ଏକ ପରୀକ୍ଷଣର ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ଘଟଣାର (Elementary events) ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା କେତେ ହୋଇଥାଏ?

୩. ଏକ ଅସମ୍ଭବ ଘଟଣାର (Impossible Event) ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ହୁଏ? ଗୋଟିଏ ଉଦାହରଣ ଦିଅ।

୪. ଏକ ନିଶ୍ଚିତ ଘଟଣାର (Sure Event) ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ? ଏହାକୁ ବୁଝାଇ ଲେଖ।

୫. ପରିପୂରକ ଘଟଣା (Complementary Event) କହିଲେ କଣ ବୁଝ? ଏହାର ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର ଲେଖ।

୬. ଯଦି $P(E)=0.28$ ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ପରିପୂରକ ଘଟଣା $P(\overline{E})$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ହେବ?

୭. ପରସ୍ପର ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ଘଟଣା (Mutually Exclusive Events) କାହାକୁ କୁହାଯାଏ?

୮. ଯୌଗିକ ଘଟଣା (Compound Event) ଏବଂ ସରଳ ଘଟଣା ମଧ୍ୟରେ ପାର୍ଥକ୍ୟ ଦର୍ଶାଅ।

୯. ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ (Sample Space) କହିଲେ କଣ ବୁଝ? ଗୋଟିଏ ଉଦାହରଣ ଦେଇ ବୁଝାଅ।

୧୦. ଦୁଇଟି ପରସ୍ପର ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ଘଟଣା A ଏବଂ B ପାଇଁ $P(A\cap B)$ ର ମାନ କେତେ ହେବ ଲେଖ।

ବିଭାଗ ୨: ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ (Coin Toss Experiments)

୧୧. ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ 200 ଥର ଟସ୍ କଲାବେଳେ 110 ଥର H ଆସିଲା, ତେବେ T ଆସିବାର ଆନୁଭବିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୧୨. ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କଲେ H ଆସିବାର ତତ୍ତ୍ଵାଧାରିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୧୩. ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକାସାଙ୍ଗରେ ଟସ୍ କଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ ଟି ଲେଖ।

୧୪. ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଟସ୍ କଲେ ଠିକ୍ ଗୋଟିଏ T ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ହେବ?

୧୫. ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ କଲେ ଅତିକମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ H ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୧୬. ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ କଲେ ଉଭୟ ଫଳାଫଳ T ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର।

୧୭. ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାର ଟସ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ ମଧ୍ୟ H ନ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୧୮. ତିନୋଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକାସାଙ୍ଗରେ ଟସ୍ କଲେ ମୋଟ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳାଫଳ (Elements in Sample Space) ସଂଖ୍ୟା କେତେ ହେବ?

୧୯. ତିନୋଟି ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ କଲେ ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳ ସମାନ (ତିନୋଟି ଯାକ H ବା ତିନୋଟି ଯାକ T) ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୨୦. ତିନୋଟି ମୁଦ୍ରାର ଟସ୍‌ରେ ଠିକ୍ ଦୁଇଟି T ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର।

୨୧. ତିନୋଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କଲେ ଅତିକମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ H ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର।

୨୨. ତିନୋଟି ମୁଦ୍ରାର ଟସ୍‌ରେ ଅତିବେଶୀରେ ଦୁଇଟି H ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ବିଭାଗ ୩: ଲୁଡୁ ଗୋଟି ପରୀକ୍ଷଣ (Dice Roll Experiments)

୨୩. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ମୋଟ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକ କଣ କଣ ହେବ ଲେଖ।

୨୪. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ ସଂଖ୍ୟା 4 ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୨୫. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟି ଗଡ଼ାଇଲେ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର।

୨୬. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ 3 ରୁ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ହେବ?

୨୭. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା (Prime Number) ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର।

୨୮. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିରେ 6 ରୁ ଅଧିକ ସଂଖ୍ୟା ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୨୯. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟି ଗଡ଼ାଇଲେ ଏକ ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା (Composite Number) ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର।

୩୦. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ 100 ଥର ଗଡ଼ାଇଲେ 3 ପଡ଼ିବାର ବାରମ୍ବାରତା 25 ହେଲେ, 3 ନ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୩୧. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଏକାସାଙ୍ଗରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ମୋଟ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା କେତେ ହେବ?

୩୨. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି ଠିକ୍ 7 ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର।

୩୩. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟିର ଫଳାଫଳର ସମଷ୍ଟି 10 ରୁ ଅଧିକ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୩୪. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟି ଗଡ଼ାଇଲେ ଉଭୟରେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା (Doublet ଯେପରିକି 11, 22…) ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର।

୩୫. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟିରେ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର।

୩୬. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟିରେ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୩୭. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟି ଗଡ଼ାଇଲେ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ତରଫଳ (Difference) 0 ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର।

୩୮. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟିର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବନିମ୍ନ କେତେ ହୋଇପାରିବ ଏବଂ ତାହା ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

ବିଭାଗ ୪: ବସ୍ତୁ (ବଲ୍, କାର୍ଡ) ଏବଂ ସାଧାରଣ ଘଟଣା (General Problems)

୩୯. ଗୋଟିଏ ବ୍ୟାଗରେ 5ଟି ନାଲି, 3ଟି କଳା ଏବଂ 2ଟି ସବୁଜ ବଲ୍ ଅଛି। ଯଦୃଚ୍ଛା ଗୋଟିଏ ବଲ୍ ବାହାର କଲେ ତାହା କଳା ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୪୦. ଉକ୍ତ ବ୍ୟାଗରୁ ବାହାର କରାଯାଇଥିବା ବଲ୍‌ଟି ନାଲି ନ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର।

୪୧. ଗୋଟିଏ ବାକ୍ସରେ 1 ରୁ 15 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖାଥିବା କାର୍ଡ ଅଛି। ଗୋଟିଏ କାର୍ଡ କାଢ଼ିଲେ ତାହା ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୪୨. ଉକ୍ତ ବାକ୍ସରୁ (1 ରୁ 15) ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ଏବଂ 3 ର ଗୁଣିତକ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର।

୪୩. ଏକ ଖେଳରେ ଜଣେ ଖେଳାଳିର ଜିଣିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା $\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{12}$ ହେଲେ, ତାହାର ହାରିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ହେବ?

୪୪. 100 ଟି ପେନ୍ ମଧ୍ୟରୁ 15 ଟି ଖରାପ ଅଛି। ଯଦୃଚ୍ଛା ଗୋଟିଏ ପେନ୍ ବାଛିଲେ ତାହା ଭଲ ହୋଇଥିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୪୫. ଗୋଟିଏ ବ୍ୟାଗରେ କେବଳ ଲେମ୍ବୁ ସ୍ଵାଦଯୁକ୍ତ କ୍ୟାଣ୍ଡି ଅଛି। ବିନା ଚାହିଁ ଗୋଟିଏ କାଢ଼ିଲେ ତାହା କମଳା ସ୍ଵାଦଯୁକ୍ତ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୪୬. ଉପରୋକ୍ତ ବ୍ୟାଗରୁ ଗୋଟିଏ କ୍ୟାଣ୍ଡି କାଢ଼ିଲେ ତାହା ଲେମ୍ବୁ ସ୍ଵାଦଯୁକ୍ତ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ହେବ?

ବିଭାଗ ୫: ଅକ୍ଷର ବାଛିବା ଏବଂ ସେଟ୍ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା (Letters & Set Probability)

୪୭. ‘INDEPENDENCE’ ଶବ୍ଦରୁ ଗୋଟିଏ ଅକ୍ଷର ଯଦୃଚ୍ଛା ବାଛିଲେ ତାହା ଏକ ‘E’ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର।

୪୮. ଇଂରାଜୀ ବର୍ଣ୍ଣମାଳାର (English Alphabet) 26 ଟି ଅକ୍ଷରରୁ ଯଦୃଚ୍ଛା ଗୋଟିଏ ଅକ୍ଷର ବାଛିଲେ ତାହା ଏକ ସ୍ଵରବର୍ଣ୍ଣ (Vowel) ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୪୯. ଇଂରାଜୀ ବର୍ଣ୍ଣମାଳାରୁ ବଛାଯାଇଥିବା ଅକ୍ଷରଟି ‘K’ ପରେ ଆସୁଥିବା ଏକ ଅକ୍ଷର ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

୫୦. ଦୁଇଟି ଘଟଣା $E^1$ ଓ $E^2$ ପାଇଁ ଯଦି $P(E^1)=0.5$, $P(E^2)=0.4$ ଏବଂ $P(E^1\cap E^2)=0.1$ ହୁଏ, ତେବେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରି $P(E^1\cup E^2)$ ର ମାନ କେତେ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

୫୧. ଦୁଇଟି ବହିର୍ଭୁକ୍ତ (Mutually Exclusive) ଘଟଣା ପାଇଁ ଯଦି $P(E^1)=0.2$ ଓ $P(E^2)=0.3$ ହୁଏ, ତେବେ $P(E^1\cup E^2)$ ନିରୂପଣ କର।

୫୨. ‘ODISHA’ ଶବ୍ଦରୁ ଯଦୃଚ୍ଛା ଗୋଟିଏ ଅକ୍ଷର ବାଛିଲେ ତାହା ଏକ ବ୍ୟଞ୍ଜନବର୍ଣ୍ଣ (Consonant) ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର।

ପୂର୍ବର ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନର କେବଳ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତର (Short Answers) ତଳେ ଦିଆଗଲା:

ବିଭାଗ ୧: ମୌଳିକ ଧାରଣା

୧. ଆନୁଭବିକ ହେଉଛି ପ୍ରକୃତ ପରୀକ୍ଷଣ ଉପରେ ଆଧାରିତ; ତତ୍ତ୍ଵାଧାରିକ ହେଉଛି ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳାଫଳ ଉପରେ ଆଧାରିତ।

୨. $1$

୩. $0$ (ଉଦାହରଣ: ଲୁଡୁରେ 7 ଆସିବା)

୪. $1$ (ଯାହା ଘଟିବା ସୁନିଶ୍ଚିତ)

୫. ଘଟଣାଟି ନ ଘଟିବା। ସୂତ୍ର: $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$

୬. $0.72$ (ଅର୍ଥାତ୍ $1 - 0.28$)

୭. ଯେଉଁ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକ ଏକାସାଙ୍ଗରେ ଘଟିପାରିବେ ନାହିଁ।

୮. ସରଳ ଘଟଣାରେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଉପାଦାନ ଥାଏ; ଯୌଗିକରେ ଏକାଧିକ ଥାଏ।

୯. ଏକ ପରୀକ୍ଷଣର ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳାଫଳର ସେଟ୍ (ଉଦାହରଣ: ଲୁଡୁରେ {1,2,3,4,5,6})

୧୦. $0$

ବିଭାଗ ୨: ମୁଦ୍ରା ଟସ୍

୧୧. $\frac{90}{200} = \frac{9}{20}$

୧୨. $\frac{1}{2}$

୧୩. $\{HH, HT, TH, TT\}$

୧୪. $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

୧୫. $\frac{3}{4}$

୧୬. $\frac{1}{4}$

୧୭. $\frac{1}{4}$ (କେବଳ TT)

୧୮. $8$

୧୯. $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ (HHH ଓ TTT)

୨୦. $\frac{3}{8}$

୨୧. $\frac{7}{8}$

୨୨. $\frac{7}{8}$

ବିଭାଗ ୩: ଲୁଡୁ ଗୋଟି

୨୩. $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

୨୪. $\frac{1}{6}$

୨୫. $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

୨୬. $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

୨୭. $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (2, 3, 5)

୨୮. $0$

୨୯. $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ (4, 6)

୩୦. ବାରମ୍ବାରତା 75; ସମ୍ଭାବ୍ୟତା $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

୩୧. $36$

୩୨. $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

୩୩. $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ (ଯୋଗଫଳ 11 ଓ 12)

୩୪. $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

୩୫. $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$

୩୬. $\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ (କେବଳ ଉଭୟ ଅଯୁଗ୍ମ ହେଲେ)

୩୭. $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ (ସମାନ ସଂଖ୍ୟା 6 ଟି)

୩୮. ସର୍ବନିମ୍ନ 2; ସମ୍ଭାବ୍ୟତା $\frac{1}{36}$

ବିଭାଗ ୪: ବସ୍ତୁ ଓ ସାଧାରଣ ଘଟଣା

୩୯. $\frac{3}{10}$

୪୦. $1 - \frac{5}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

୪୧. $\frac{7}{15}$

୪୨. $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ (3, 9, 15)

୪୩. $1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$

୪୪. $\frac{85}{100} = \frac{17}{20}$

୪୫. $0$

୪୬. $1$

ବିଭାଗ ୫: ଅକ୍ଷର ଏବଂ ସେଟ୍

୪୭. $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ (ମୋଟ 12, E ଅଛି 4ଟି)

୪୮. $\frac{5}{26}$

୪୯. $\frac{15}{26}$ (K ପରେ 15ଟି ଅକ୍ଷର ଅଛି)

୫୦. $0.5 + 0.4 - 0.1 = 0.8$

୫୧. $0.2 + 0.3 = 0.5$

୫୨. $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (ବ୍ୟଞ୍ଜନବର୍ଣ୍ଣ: D, S, H)