ଏଠାରେ ଚତୁର୍ଥ ଅଧ୍ୟାୟ (ସମ୍ଭାବ୍ୟତା) ର ବିଭିନ୍ନ ବିଷୟବସ୍ତୁ ଉପରେ ଆଧାର କରି ୪୫ ଟି ଅତିରିକ୍ତ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନ (ବିନା ଉତ୍ତରରେ) ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯାଇଛି। ଏଗୁଡ଼ିକ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର (ସଂଜ୍ଞାମୂଳକ, ଗାଣିତିକ, ପ୍ରୟୋଗାତ୍ମକ) ଅଟେ ଏବଂ ଏଥିରେ କୌଣସି ବହୁବିକଳ୍ପ (MCQ) ପ୍ରଶ୍ନ ନାହିଁ। MCQ ପାଇଁ Login Page କୁ ଦେଖନ୍ତୁ ।

ବିଭାଗ କ: ତତ୍ତ୍ଵାଧାରିକ ଏବଂ ସଂଜ୍ଞାମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନ (Theoretical & Conceptual)

୧. ଆନୁଭବିକ (Empirical) ଏବଂ ତତ୍ତ୍ଵାଧାରିକ (Theoretical) ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ମୁଖ୍ୟ ପାର୍ଥକ୍ୟ ବୁଝାଅ।

୨. ଏକ ନିଶ୍ଚିତ ଘଟଣା (Sure Event) ଏବଂ ଏକ ଅସମ୍ଭବ ଘଟଣା (Impossible Event) କହିଲେ କଣ ବୁଝ ? ପ୍ରତ୍ୟେକର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଉଦାହରଣ ଦିଅ।

୩. ମୌଳିକ ଘଟଣା (Elementary Event) ଏବଂ ଯୌଗିକ ଘଟଣା (Compound Event) କାହାକୁ କୁହାଯାଏ ?

୪. ପରସ୍ପର ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ଘଟଣା (Mutually Exclusive Events) କଣ ? ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ ଉଦାହରଣ ସହ ଏହାକୁ ଦର୍ଶାଅ।

୫. ପରିପୂରକ ଘଟଣା (Complementary Events) ର ସଂଜ୍ଞା ଲେଖ ଏବଂ ଏହାର ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର ଦର୍ଶାଅ।

ବିଭାଗ ଖ: ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରା ଆଧାରିତ (Single Coin Toss)

୬. ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ 100 ଥର ଟସ୍ କଲାବେଳେ ଯଦି 45 ଥର ‘H’ ଆସେ, ତେବେ ‘T’ ଆସିବାର ଆନୁଭବିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?

୭. ଜଣେ ପିଲା ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ 80 ଥର ଟସ୍ କରି 50 ଥର ଟେଲ୍ (T) ପାଇଲା। ହେଡ୍ (H) ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

୮. ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କରାଗଲା। ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ (Sample Space) $S$ କଣ ହେବ ଲେଖ ଏବଂ $|S|$ ର ମାନ ଦର୍ଶାଅ।

୯. ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ କ୍ରମାଗତ ଭାବେ ଅସଂଖ୍ୟ ଥର ଟସ୍ କଲେ H ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କାହିଁକି $\frac{1}{2}$ ହୁଏ ?

୧୦. ଥରେ ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ କଲେ $P(H) + P(T)$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ହେବ ତାହା ପ୍ରମାଣ ସହ ଦର୍ଶାଅ।

ବିଭାଗ ଗ: ଏକାଧିକ ମୁଦ୍ରା (Two or Three Coins Toss)

୧୧. ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକାସାଙ୍ଗରେ ଟସ୍ କଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥିବା ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍‌ଟି ଲେଖ।

୧୨. ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କଲେ, ଠିକ୍ ଗୋଟିଏ ‘H’ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?

୧୩. ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାର ଟସ୍‌ରେ ଦୁଇଟି ଯାକ ‘T’ (TT) ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

୧୪. ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ କଲେ, ଅତିବେଶୀରେ ଗୋଟିଏ ‘H’ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର।

୧୫. ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ଟସ୍‌ରେ ଆଦୌ ‘H’ ନ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର।

୧୬. ତିନୋଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକାସାଙ୍ଗରେ ଟସ୍ କଲେ ଲବ୍ଧ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ (S) ର ୮ ଗୋଟି ଉପାଦାନ ଲେଖ।

୧୭. ତିନୋଟି ମୁଦ୍ରାର ଟସ୍‌ରେ ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳ ସମାନ (ଅର୍ଥାତ୍ ତିନୋଟି H ବା ତିନୋଟି T) ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?

୧୮. ତିନୋଟି ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ କଲେ, ଠିକ୍ ଦୁଇଟି ‘H’ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର।

୧୯. ତିନୋଟି ମୁଦ୍ରାର ଟସ୍‌ରେ ଅତିକମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ ‘T’ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର।

୨୦. ତିନୋଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କଲେ, ଫଳରେ ଅତିବେଶୀରେ ଦୁଇଟି ‘T’ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ହେବ ?

ବିଭାଗ ଘ: ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟି ଆଧାରିତ (Single Dice Roll)

୨୧. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ, ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା (Prime Number) ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

୨୨. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟି ଗଡ଼ାଇଲେ, 3 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?

୨୩. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟି ଥରେ ଗଡ଼ାଗଲା। ଫଳଟି 2 ରୁ ବଡ଼ ଏବଂ 6 ରୁ ସାନ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର।

୨୪. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ 50 ଥର ଗଡ଼ାଇବାରୁ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା 20 ଥର ଆସିଲା। ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?

୨୫. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ “ଫଳ 1 କିମ୍ବା 6” ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର।

ବିଭାଗ ଙ: ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟି ଆଧାରିତ (Two Dice Roll)

୨୬. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଏକାସାଙ୍ଗରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ମୋଟ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା କେତେ ହେବ ?

୨୭. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ, ଉଭୟ ଗୋଟିରେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା (Doublet) ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର।

୨୮. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟିର ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ଠିକ୍ 8 ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?

୨୯. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଗଲା। ଫଳାଫଳର ସମଷ୍ଟି 5 ରୁ କମ୍ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

୩୦. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ, ଉଭୟ ଫଳାଫଳ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର।

୩୧. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଏକସଙ୍ଗେ ଗଡ଼ାଇଲେ, ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 12 ରୁ ଅଧିକ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ହେବ ?

୩୨. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ, ପ୍ରଥମ ଗୋଟିରେ 4 ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟ ଗୋଟିରେ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର।

୩୩. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଗଡ଼ାଗଲା। ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 12 ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

୩୪. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ, ଫଳାଫଳ ଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତରଫଳ 1 ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?

୩୫. ଦୁଇଟି ଲୁଡୁ ଗୋଟି ଗଡ଼ାଇଲେ ଲବ୍ଧ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର।

ବିଭାଗ ଚ: ବସ୍ତୁ (ବଲ୍/କାର୍ଡ) ଏବଂ ସାଧାରଣ ସମସ୍ୟା (General Problems)

୩୬. ଗୋଟିଏ ବ୍ୟାଗରେ 4 ଟି ନାଲି, 5 ଟି କଳା ଏବଂ 6 ଟି ଧଳା ବଲ୍ ଅଛି। ଯଦୃଚ୍ଛା ଗୋଟିଏ ବଲ୍ କାଢ଼ିଲେ ତାହା କଳା ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?

୩୭. ଉପରୋକ୍ତ ବ୍ୟାଗରୁ ଗୋଟିଏ ବଲ୍ କାଢ଼ିଲେ ତାହା ଧଳା ନ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର।

୩୮. ଗୋଟିଏ ବାକ୍ସରେ 1 ରୁ 20 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖାଥିବା 20 ଟି କାର୍ଡ ଅଛି। ଗୋଟିଏ କାର୍ଡ ଟାଣିଲେ ତାହା ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?

୩୯. ଉକ୍ତ ବାକ୍ସରୁ (1 ରୁ 20) ଟଣାଯାଇଥିବା କାର୍ଡଟି 4 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର।

୪୦. ‘EDUCATION’ ଶବ୍ଦରୁ ଯଦୃଚ୍ଛା ଗୋଟିଏ ଅକ୍ଷର ବାଛିଲେ, ତାହା ଏକ ସ୍ଵରବର୍ଣ୍ଣ (Vowel) ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର।

ବିଭାଗ ଛ: ସେଟ୍ ତତ୍ତ୍ଵ ଏବଂ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସୂତ୍ର ଆଧାରିତ (Set Theory & Formulas)

୪୧. ଯଦି P(E) = 0.35 ଏବଂ P(F) = 0.45 ହୁଏ ଏବଂ E, F ପରସ୍ପର ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ଘଟଣା ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ P(E $\cup$ F) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

୪୨. କୌଣସି ପରୀକ୍ଷଣରେ ଦୁଇଟି ଘଟଣା E ଓ F ପାଇଁ ଯଦି P(E) = 0.6, P(F) = 0.5 ଏବଂ P(E $\cap$ F) = 0.2 ହୁଏ, ତେବେ P(E $\cup$ F) ନିରୂପଣ କର।

୪୩. ଯଦି କୌଣସି ଘଟଣା E ପାଇଁ P(E) + P($\overline{E}$) = $x$ ହୁଏ, ତେବେ $x$ ର ମାନ କେତେ ହେବ ଏବଂ କାହିଁକି?

୪୪. ଗୋଟିଏ ପରୀକ୍ଷଣରେ $E_1$, $E_2$, ଓ $E_3$ ତିନୋଟି ପରସ୍ପର ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ଓ ସମ-ସମ୍ଭାବ୍ୟ (Equally likely) ଘଟଣା ଏବଂ $S = E_1 \cup E_2 \cup E_3$। ତେବେ $P(E_1)$ ର ମାନ କେତେ ହେବ ?

୪୫. ଦୁଇଟି ଘଟଣା A ଏବଂ B ପାଇଁ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ କେଉଁ ସର୍ତ୍ତରେ କେବଳ ସମ୍ଭବ ହୋଇଥାଏ ? ଏହାକୁ ଯୁକ୍ତି ସହ ବୁଝାଅ।