ଅନୁଶୀଳନୀ 3(b): ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ଓ ସିଗ୍‌ମା ($\Sigma$) ସୂତ୍ର

1. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

❓ 1. $\frac{1}{15 \times 16} = \dots - \frac{1}{16}$

❓ 2. $\frac{1}{n(n+1)} = \dots - \frac{1}{n+1}$

❓ 3. 5 ଏବଂ 9 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ (A.M.) କେତେ?
❓ 4. $x$ ଏବଂ 7 ର ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ 5 ହେଲେ $x$ ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
❓ 5. $(a+b)$ ଏବଂ $(a-b)$ ର ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକଟି କେତେ?
❓ 6. ଦୁଇଟି ରାଶିର A.M. 11 ଏବଂ ଗୋଟିଏ ରାଶି 7 ହେଲେ ଅନ୍ୟଟି କେତେ?

2. ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
❓ 7. $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \dots$ (20 ଟି ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ)
❓ 8. $\frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{6 \times 7} + \dots$ (16 ଟି ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ)

3. ସମାଧାନ କର ।
❓ 9. $7 \times 15 + 8 \times 20 + 9 \times 25 + \dots$ ର $t_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
❓ 10. $6\Sigma n^2 + 4\Sigma n^3$ ର ସରଳୀକୃତ ମାନ କେତେ?
❓ 11. $1 \times 2 + 2 \times 3 + \dots + n(n+1)$ ର $S_{20}$ କେତେ?
❓ 12. $1 \times 3 + 2 \times 4 + \dots$ ଶ୍ରେଣୀର $t_n$ କେତେ?
❓ 13. $1 \times 3 + 2 \times 4 + \dots$ ଶ୍ରେଣୀର $S_{10}$ କେତେ?

4. $n$ ସଂଖ୍ୟକ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 14. $1.1 + 2.3 + 3.5 + \dots$

❓ 15. $1.3 + 3.5 + 5.7 + \dots$

❓ 16. $3.8 + 6.11 + 9.14 + \dots$

❓ 17. $1 + (1+3) + (1+3+5) + \dots$

❓ 18. $1^2 + 4^2 + 7^2 + 10^2 + \dots$

❓ 19. $2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + \dots$

❓ 20. $1 + 5 + 12 + 22 + 35 + \dots$

❓ 21. $1^2 + (1^2 + 2^2) + (1^2 + 2^2 + 3^2) + \dots$

5. ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ (A.M.) ସ୍ଥାପନ ।
❓ 22. 15 ଏବଂ 27 ମଧ୍ୟରେ ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର ।
❓ 23. 15 ଏବଂ 27 ମଧ୍ୟରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର ।
❓ 24. 12 ଏବଂ 36 ମଧ୍ୟରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର ।
❓ 25. 12 ଏବଂ 36 ମଧ୍ୟରେ ତିନୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର ।
❓ 26. 6 ଏବଂ 46 ମଧ୍ୟରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର ।
❓ 27. 6 ଏବଂ 46 ମଧ୍ୟରେ ଚାରୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର ।
❓ 28. 5 ଏବଂ 65 ମଧ୍ୟରେ ତିନୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର ।
❓ 29. 5 ଏବଂ 65 ମଧ୍ୟରେ ପାଞ୍ଚଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର ।
❓ 30. 11 ଏବଂ 71 ମଧ୍ୟରେ ପାଞ୍ଚଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର ।

ଅତିରିକ୍ତ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନ (Additional Practice Questions)

❓ 31. 20 ଓ 80 ମଧ୍ୟରେ $n$ ଟି A.M. ଅଛି, ଯଦି $M_1 : M_n = 1:3$ ହୁଏ, $n$ କେତେ?
❓ 32. A.P. ର 4ଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ 2 ଏବଂ ପ୍ରାନ୍ତ ରାଶିର ଗୁଣଫଳ ମଧ୍ୟକ ଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳର 10 ଗୁଣ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟା କେତେ?
❓ 33. ପ୍ରଥମ $n$ ସଂଖ୍ୟକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି $\Sigma n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ବୋଲି ପ୍ରମାଣ କର ।
❓ 34. ଗୋଟିଏ A.P. ର $S_n = 3n^2 + 4n$ ହେଲେ, ଏହାର 15-ତମ ପଦ ($t_{15}$) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
❓ 35. ଯଦି $a^2, b^2, c^2$ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ A.P. ରେ ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ A.P. ରେ ରହିବେ ।
❓ 36. 1 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି କେତେ?
❓ 37. ଯଦି ଗୋଟିଏ A.P. ର $t_m = n$ ଏବଂ $t_n = m$ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର $t_{m+n} = 0$ ।
❓ 38. ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର $n$ ସଂଖ୍ୟକ ପଦର ସମଷ୍ଟି $S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ ବୋଲି ପ୍ରମାଣ କର ।
❓ 39. $1.2.3+2.3.4+3.4.5+\dots$ ଶ୍ରେଣୀର $n$ ସଂଖ୍ୟକ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
❓ 40. ଯଦି ଗୋଟିଏ A.P. ର $S_m = n$ ଏବଂ $S_n = m$ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର $S_{m+n} = -(m+n)$ ।
❓ 41. 7 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
❓ 42. 200 ରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଏବଂ 3 ଦ୍ୱାରା ଅବିଭାଜ୍ୟ ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ କେତେ?
❓ 43. $1^3+2^3+3^3+\dots+n^3 = \{\frac{n(n+1)}{2}\}^2$ ବୋଲି ପ୍ରମାଣ କର ।
❓ 44. ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ଥିଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ସେମାନଙ୍କର ଅନୁପାତ $3:4:5$ ହେବ ।
❓ 45. $1+6+11+16+\dots+x = 148$ ହେଲେ $x$ ର ମାନ କେତେ?
❓ 46. ଯଦି $S_n$ ଏକ A.P. ର ସମଷ୍ଟି ହୁଏ, ପ୍ରମାଣ କର $S_{12} = 3(S_8 - S_4)$ ।
❓ 47. 27+24+21+… ର କେତୋଟି ପଦ ଯୋଗକଲେ 132 ହେବ?
❓ 48. 13 ଏବଂ 43 ମଧ୍ୟରେ 4 ଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର ।
❓ 49. ଯଦି $a, b, c$ A.P. ରେ ଥାଆନ୍ତି, ପ୍ରମାଣ କର $(a-c)^2 = 4(b^2 - ac)$ ।
❓ 50. 24 କୁ 3 ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କର ଯେଉଁଠାରେ ସେମାନେ A.P. ରେ ରହିବେ ଏବଂ ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟର ଗୁଣଫଳ 48 ହେବ ।

❓ 51. ଗୋଟିଏ ଲଗ୍ (logarithm) ଶ୍ରେଣୀ $\log a, \log(ab), \log(ab^2), \dots$ କି ପ୍ରକାର ପ୍ରଗତି?
❓ 52. $S_1, S_2, S_3$ ହେଲେ $S_3$ ଏବଂ $(S_2 - S_1)$ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ସ୍ଥାପନ କର ।
❓ 53. ତିନୋଟି ରାଶିର ଯୋଗଫଳ ଶୂନ ଏବଂ ବର୍ଗମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 50 ହେଲେ ପଦଗୁଡ଼ିକ କେତେ?
❓ 54. $S_{10} = -150$ ଏବଂ ପରବର୍ତ୍ତୀ 10 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି $-550$ ହେଲେ ପ୍ରଗତିଟି କେତେ?
❓ 55. 3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କିନ୍ତୁ 5 ଦ୍ଵାରା ନୁହେଁ?
❓ 56. ବଗିଚାରେ ପ୍ରଥମ ଧାଡ଼ିରେ 51 ଟି, ଦ୍ୱିତୀୟରେ 48 ଟି ଫୁଲ ଗଛ ଥିଲେ ଶେଷ ଧାଡ଼ି 3 ହେଲେ ମୋଟ କେତୋଟି ଧାଡ଼ି?
❓ 57. ତୃତୀୟ ଦିନ ତାପମାତ୍ରା $25^\circ C$ ଏବଂ ସପ୍ତମ ଦିନ $33^\circ C$ ହେଲେ 15-ତମ ଦିନ ତାପମାତ୍ରା କେତେ?
❓ 58. ଯଦି $S_p = q$ ଏବଂ $S_q = p$ ହୁଏ, ତେବେ $S_{p+q}$ କେତେ?
❓ 59. 5-ମ ପଦ 19 ଏବଂ 8-ମ ପଦର ତିନିଗୁଣ 12-ତମ ପଦଠାରୁ 2 ଅଧିକ ହେଲେ A.P. ଟି ଲେଖ ।
❓ 60. 4 ଏବଂ 34 ମଧ୍ୟରେ $M_1:M_n = 1:4$ ହେଲେ କେତୋଟି ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପିତ?
❓ 61. ପ୍ରଥମ 4 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 56 ଏବଂ ଶେଷ 4 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 112 ହେଲେ ମୋଟ ପଦ କେତେ?
❓ 62. $\frac{a^n + b^n}{a^{n-1} + b^{n-1}}$ ଏକ A.M. ହେଲେ $n$ ର ମାନ କେତେ?
❓ 63. 100 ରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଯୁଗ୍ମ ଏବଂ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳର ଅନ୍ତର କେତେ? ❓ 64. A.P. ର 8-ମ ପଦ 31 ଏବଂ 15-ତମ ପଦ 11-ତମ ପଦଠାରୁ 16 ଅଧିକ ହେଲେ ପ୍ରଗତିଟି ଲେଖ ।
❓ 65. $t_1+t_5+t_{10}+t_{15}+t_{20}+t_{24}=225$ ହେଲେ 24 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ?
❓ 66. ଗୋଟିଏ ବହୁଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକ $120^\circ$ ରୁ ଆରମ୍ଭ ହୋଇ $5^\circ$ ଅନ୍ତରରେ ବଢ଼ିଲେ ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା କେତେ?
❓ 67. ସଞ୍ଚୟ 5 ଟଙ୍କାରୁ ଆରମ୍ଭ ହୋଇ ପ୍ରତି ସପ୍ତାହରେ 1.75 ଟଙ୍କା ବଢ଼ିଲେ 20.75 ଟଙ୍କା କେଉଁ ସପ୍ତାହରେ ହେବ?
❓ 68. 1 ରୁ 200 ମଧ୍ୟରେ 3 ଏବଂ 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା କେତୋଟି?
❓ 69. 11-ପଦ ବିଶିଷ୍ଟ A.P. ର ମଧ୍ୟ ପଦ 30 ହେଲେ ସମଷ୍ଟି କେତେ?
❓ 70. ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର 5 ହେଲେ $t_{18} - t_{13}$ କେତେ?
❓ 71. $S_n = 3n^2 + 5n$ ହେଲେ $t_{27}$ କେତେ?
❓ 72. 1, 2, 3, 4, … ଅନୁକ୍ରମର $t_8$ କେତେ?
❓ 73. 2, 4, 6, 8, … ଅନୁକ୍ରମର $t_7$ କେତେ?
❓ 74. -5, -3, -1, 1, … ଅନୁକ୍ରମର $t_{11}$ କେତେ?
❓ 75. 3, 6, 9, … ଅନୁକ୍ରମର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d$ କେତେ?
❓ 76. -4, -2, 0, 2, … ଅନୁକ୍ରମର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d$ କେତେ?
❓ 77. 10.2, 10.4, 10.6, 10.8, … ଅନୁକ୍ରମର $t_5$ କେତେ?
❓ 78. 2.5, 2.9, 3.3, 3.7, … ଅନୁକ୍ରମର $d$ କେତେ?
❓ 79. 3, $x$, 9 A.P. ରେ ଥିଲେ $x$ କେତେ?
❓ 80. 1.01, 1.51, 2.01, 2.51, … ଅନୁକ୍ରମର $d$ କେତେ?