Question 1. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

(a)

ପ୍ରଶ୍ନ $\frac{1}{15 \times 16} = \dots - \frac{1}{16}$

ଉତ୍ତର:

ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ ହୁଏ ।

ପ୍ରଦତ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନରେ $n = 15$ ଅଟେ ।

ତେଣୁ ଏହା $\frac{1}{15} - \frac{1}{16}$ ହେବ ।

$\frac{1}{15}$ ✅

(b)

ପ୍ରଶ୍ନ $\frac{1}{12 \times 11} = \frac{1}{11} - \dots$

ଉତ୍ତର:

ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, ଏହାକୁ ସଜାଇ ଲେଖିଲେ: $\frac{1}{11 \times 12} = \frac{1}{11} - \frac{1}{12}$

$\frac{1}{12}$ ✅

©

ପ୍ରଶ୍ନ $\frac{1}{n(n+1)} = \dots - \frac{1}{n+1}$

ଉତ୍ତର:

ସିଧାସଳଖ ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ ହୁଏ ।

$\frac{1}{n}$ ✅

(d)

ପ୍ରଶ୍ନ $\frac{1}{(n+1)n} = \frac{1}{n} - \dots$

ଉତ୍ତର:

ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ ହୋଇଥାଏ ।

$\frac{1}{n+1}$ ✅

(e)

ପ୍ରଶ୍ନ 5 ଓ 9 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକଟି $\dots$

ଉତ୍ତର:
ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($A.M.$) $= \frac{a+b}{2}$

$\Rightarrow A.M. = \frac{5+9}{2}$

$\Rightarrow A.M. = \frac{14}{2}$

$\Rightarrow A.M. = 7$

7 ✅

(f)

ପ୍ରଶ୍ନ $x$ ଓ 7 ମଧ୍ୟସ୍ଥ ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକଟି 5 ହେଲେ $x = \dots$

ଉତ୍ତର:

ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ, ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ $= \frac{a+b}{2}$

$\Rightarrow 5 = \frac{x+7}{2}$

$\Rightarrow 10 = x + 7$

$\Rightarrow x = 10 - 7$

$\Rightarrow x = 3$

3 ✅

(g)

ପ୍ରଶ୍ନ $(a+b)$ ଓ $(a-b)$ ର ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକଟି $\dots$

ଉତ୍ତର:

$\Rightarrow A.M. = \frac{(a+b) + (a-b)}{2}$

$\Rightarrow A.M. = \frac{2a}{2}$

$\Rightarrow A.M. = a$

$a$ ✅

(h)

ପ୍ରଶ୍ନ ଦୁଇଟି ରାଶିର A.M. 11, ଯଦି ଗୋଟିଏ ରାଶି 7 ହୁଏ, ତେବେ ଅନ୍ୟଟି $\dots$

ଉତ୍ତର:

ମନେକର ଅନ୍ୟ ରାଶିଟି $y$ ଅଟେ ।

ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ, $\frac{7+y}{2} = 11$

$\Rightarrow 7 + y = 22$

$\Rightarrow y = 22 - 7$

$\Rightarrow y = 15$

15 ✅

Question 2. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଅନୁକ୍ରମଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(a)

ପ୍ରଶ୍ନ $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4}$ ର 20 ଟି ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ

ଉତ୍ତର:

ଏଠାରେ ପଦ ସଂଖ୍ୟା $n = 20$ ଅଟେ ।

ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, ଏହିପରି ଶ୍ରେଣୀର ଯୋଗଫଳ $S_n = \frac{n}{n+1}$

$S_{20} = \frac{20}{20+1}$

$\Rightarrow S_{20} = \frac{20}{21}$

$\frac{20}{21}$ ✅

(b)

ପ୍ରଶ୍ନ $\frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{6 \times 7} + \frac{1}{7 \times 8} \dots$ ର 16 ଟି ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ

ଉତ୍ତର:

ଏହା ଏକ ଅନ୍ତର ଶ୍ରେଣୀ ଅଟେ ।

ଏଠାରେ ପ୍ରଥମ ପଦ ଆରମ୍ଭ ହେଉଛି 5 ରୁ । ତେଣୁ 16-ତମ ପଦର ହର ହେବ: $(5+16-1)(5+16) = 20 \times 21$

ଶେଷ ପଦଟି ହେଉଛି $= \frac{1}{20 \times 21}$

ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ସମଷ୍ଟି ($S_{16}$):

$S_{16} = \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{20} - \frac{1}{21}\right)$

ମଝି ପଦଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର କଟିଯିବ:

$\Rightarrow S_{16} = \frac{1}{5} - \frac{1}{21}$

$\Rightarrow S_{16} = \frac{21 - 5}{105}$

$\Rightarrow S_{16} = \frac{16}{105}$

$\frac{16}{105}$ ✅

Question 3. ସମାଧାନ କର ।

(a)

ପ୍ରଶ୍ନ $7 \times 15 + 8 \times 20 + 9 \times 25 + \dots$ ର $t_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଉତ୍ତର:

ଏଠାରେ $t_n$ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମର ଗୁଣଫଳ ଅଟେ ।

ପ୍ରଥମ ଗୁଣକ ଶ୍ରେଣୀ ($7, 8, 9, \dots$) ପାଇଁ:

$a=7, d=1$

$t_{n_1} = 7 + (n-1)1 = n + 6$

$\Rightarrow$ ଦ୍ଵିତୀୟ ଗୁଣକ ଶ୍ରେଣୀ ($15, 20, 25, \dots$) ପାଇଁ:

$a=15, d=5$

$t_{n_2} = 15 + (n-1)5 = 5n + 10$

ମୂଳ ଶ୍ରେଣୀର $n$-ତମ ପଦ: $t_n = t_{n_1} \times t_{n_2}$

$t_n = (n+6)(5n+10)$

$\Rightarrow t_n = 5n^2 + 10n + 30n + 60$

$\Rightarrow t_n = 5n^2 + 40n + 60$

$5n^2 + 40n + 60$ ✅

(b)

ପ୍ରଶ୍ନ $6\Sigma n^2 + 4\Sigma n^3$ ର ସରଳୀକୃତ ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଉତ୍ତର:

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ: $\Sigma n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ଏବଂ $\Sigma n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

ଏହି ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରଶ୍ନରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$\Rightarrow 6\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right] + 4\left[\frac{n^2(n+1)^2}{4}\right]$

$\Rightarrow = n(n+1)(2n+1) + n^2(n+1)^2$

$\Rightarrow = n(n+1) \left[ (2n+1) + n(n+1) \right]$ (କମନ୍ ନେବା ଦ୍ଵାରା)

$\Rightarrow = n(n+1) \left[ 2n + 1 + n^2 + n \right]$

$\Rightarrow = n(n+1)(n^2 + 3n + 1)$

$n(n+1)(n^2 + 3n + 1)$ ✅

©

ପ୍ରଶ୍ନ $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 \dots + n(n+1)$ ର $S_{20}$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଉତ୍ତର:

ଏହି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଶ୍ରେଣୀର ଯୋଗଫଳ ପାଇଁ ସାଧାରଣ ସୂତ୍ର ହେଉଛି:
$S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

$S_{20}$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ $n=20$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$\Rightarrow S_{20} = \frac{20 \times (20+1) \times (20+2)}{3}$

$\Rightarrow S_{20} = \frac{20 \times 21 \times 22}{3}$

$\Rightarrow S_{20} = 20 \times 7 \times 22$

$\Rightarrow S_{20} = 140 \times 22$

$\Rightarrow S_{20} = 3080$

3080 ✅

(d)

ପ୍ରଶ୍ନ $1 \times 3 + 2 \times 4 + 3 \times 5 \dots$ ର $t_n, S_n$ ଏବଂ $S_{10}$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ଗୁଣକଗୁଡ଼ିକ $1, 2, 3, \dots$ ହେତୁ ଏହା $n$ ଅଟେ ।

ଦ୍ଵିତୀୟ ଗୁଣକଗୁଡ଼ିକ $3, 4, 5, \dots$ ହେତୁ ଏହା $(n+2)$ ଅଟେ ।

$\Rightarrow t_n = n(n+2)$

$\Rightarrow t_n = n^2 + 2n$

$\Rightarrow S_n = \Sigma t_n = \Sigma (n^2 + 2n)$

$\Rightarrow S_n = \Sigma n^2 + 2\Sigma n$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{2n(n+1)}{2}$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)}{6} \left[ (2n+1) + 6 \right]$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$

$\Rightarrow$ ବର୍ତ୍ତମାନ $S_{10}$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ସୂତ୍ରରେ $n=10$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$\Rightarrow S_{10} = \frac{10 \times 11 \times 27}{6}$

$\Rightarrow S_{10} = 5 \times 11 \times 9$

$\Rightarrow S_{10} = 495$

$t_n = n^2 + 2n$, $S_n = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$, $S_{10} = 495$ ✅

Question 4. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକର $n$ ସଂଖ୍ୟକ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(a) 1.1 + 2.3 + 3.5 +4.7 + …….
(b) 1.3 +3.5 + 5.7 + 7.9 + …….
© 3.8 +6.11 + 9.14 + …….
(d) 1+ (1 + 3) + (1 + 3 + 5) +
(e) 1² + 4² + 7² + 10² + …….
(f) 2² + 4² +6² + 8² + …….
(g) 1 + 5 + 12 +22 + 35+…….
(h) 1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + (1² + 2² + 3² + 4²) + ……….

(a)

ପ୍ରଶ୍ନଟି: $1.1 + 2.3 + 3.5 + 4.7 + \dots$

ସମାଧାନ:

ଶ୍ରେଣୀର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ପ୍ରଥମ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା $1, 2, 3, 4, \dots$ ଯାହା ଏକ A.P. ଅଟେ ଏବଂ ଏହାର $n$-ତମ ପଦ ହେଉଛି $n$ ।

ଶ୍ରେଣୀର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ଦ୍ଵିତୀୟ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା $1, 3, 5, 7, \dots$ ଯାହା ଏକ A.P. ଅଟେ ଏବଂ ଏହାର $n$-ତମ ପଦ ହେଉଛି $2n-1$ ।

ତେଣୁ ଦତ୍ତ ଶ୍ରେଣୀର $n$-ତମ ପଦ ($t_n$):

$t_n = n(2n-1) = 2n^2 - n$

ସମଷ୍ଟି $S_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

$S_n = \Sigma t_n = \Sigma (2n^2 - n) = 2\Sigma n^2 - \Sigma n$

$\Rightarrow S_n = 2\left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - \frac{n(n+1)}{2}$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}$

$\Rightarrow S_n = n(n+1) \left[ \frac{2n+1}{3} - \frac{1}{2} \right]$

$\Rightarrow S_n = n(n+1) \left[ \frac{2(2n+1) - 3}{6} \right]$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)}{6} [4n + 2 - 3]$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

ଉତ୍ତର: $\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$ ✅

(b)

ପ୍ରଶ୍ନଟି: $1.3 + 3.5 + 5.7 + 7.9 + \dots$

ସମାଧାନ:

ପ୍ରଥମ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ: $1, 3, 5, 7, \dots$ ଯାହାର $n$-ତମ ପଦ ହେଉଛି $2n-1$ ।

ଦ୍ଵିତୀୟ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ: $3, 5, 7, 9, \dots$ ଯାହାର $n$-ତମ ପଦ ହେଉଛି $2n+1$ ।

ତେଣୁ ଦତ୍ତ ଶ୍ରେଣୀର $t_n$:

$t_n = (2n-1)(2n+1) = 4n^2 - 1$

ସମଷ୍ଟି $S_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

$S_n = \Sigma t_n = \Sigma (4n^2 - 1) = 4\Sigma n^2 - \Sigma 1$

$\Rightarrow S_n = 4 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - n$

$\Rightarrow S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - n$

$\Rightarrow S_n = \frac{2n(2n^2+3n+1) - 3n}{3}$

$\Rightarrow S_n = \frac{4n^3+6n^2+2n - 3n}{3}$

$\Rightarrow S_n = \frac{4n^3+6n^2-n}{3}$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$

ଉତ୍ତର: $\frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$ ✅

©

ପ୍ରଶ୍ନଟି: $3.8 + 6.11 + 9.14 + \dots$

ସମାଧାନ:

ପ୍ରଥମ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ: $3, 6, 9, \dots$ ଯାହାର $n$-ତମ ପଦ ହେଉଛି $3n$ ।

ଦ୍ଵିତୀୟ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ: $8, 11, 14, \dots$ ଯାହାର $n$-ତମ ପଦ ହେଉଛି $3n+5$ ।

ତେଣୁ ଦତ୍ତ ଶ୍ରେଣୀର $t_n$:

$t_n = 3n(3n+5) = 9n^2 + 15n$

ସମଷ୍ଟି $S_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

$S_n = \Sigma t_n = 9\Sigma n^2 + 15\Sigma n$

$\Rightarrow S_n = 9\left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 15\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$

$\Rightarrow S_n = \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{15n(n+1)}{2}$

$\Rightarrow S_n = \frac{3n(n+1)}{2} [ (2n+1) + 5 ]$

$\Rightarrow S_n = \frac{3n(n+1)}{2} [ 2n + 6 ]$

$\Rightarrow S_n = \frac{3n(n+1)}{2} \times 2(n+3)$

$\Rightarrow S_n = 3n(n+1)(n+3)$

ଉତ୍ତର: $3n(n+1)(n+3)$ ✅

(d)

ପ୍ରଶ୍ନଟି: $1 + (1+3) + (1+3+5) + \dots$

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ ଶ୍ରେଣୀର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ହେଉଛି ପ୍ରଥମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ।

ଅର୍ଥାତ୍ $n$-ତମ ପଦ $t_n = 1+3+5+\dots$ ($n$ ଟି ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ)

ଆମେ ଜାଣୁ, ପ୍ରଥମ $n$ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ $n^2$ ଅଟେ ।

ତେଣୁ, ଦତ୍ତ ଶ୍ରେଣୀର $t_n = n^2$

ସମଷ୍ଟି $S_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

$S_n = \Sigma t_n = \Sigma n^2$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

ଉତ୍ତର: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ✅

(e)

ପ୍ରଶ୍ନଟି: $1^2 + 4^2 + 7^2 + 10^2 + \dots$

ସମାଧାନ:

ଏହି ଶ୍ରେଣୀର ପଦଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି $1, 4, 7, 10, \dots$ ର ବର୍ଗ । ଏହା ଏକ A.P. ଯାହାର ପ୍ରଥମ ପଦ $a=1$ ଓ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=3$ ।

A.P. ର $n$-ତମ ପଦ $= 1 + (n-1)3 = 3n-2$

ତେଣୁ ଦତ୍ତ ଶ୍ରେଣୀର $t_n = (3n-2)^2$

$\Rightarrow t_n = 9n^2 - 12n + 4$

ସମଷ୍ଟି $S_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

$S_n = \Sigma t_n = 9\Sigma n^2 - 12\Sigma n + 4\Sigma 1$

$\Rightarrow S_n = 9\left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 12\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] + 4n$

$\Rightarrow S_n = \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2} - 6n(n+1) + 4n$

$\Rightarrow S_n = \frac{n}{2} \left[ 3(n+1)(2n+1) - 12(n+1) + 8 \right]$

$\Rightarrow S_n = \frac{n}{2} \left[ 3(2n^2+3n+1) - 12n - 12 + 8 \right]$

$\Rightarrow S_n = \frac{n}{2} [ 6n^2 + 9n + 3 - 12n - 4 ]$

$\Rightarrow S_n = \frac{n}{2} [ 6n^2 - 3n - 1 ]$

ଉତ୍ତର: $\frac{n(6n^2 - 3n - 1)}{2}$ ✅

(f)

ପ୍ରଶ୍ନଟି: $2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + \dots$

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଅଟେ ।

$n$-ତମ ପଦ $t_n = (2n)^2 = 4n^2$

ସମଷ୍ଟି $S_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

$S_n = \Sigma t_n = \Sigma 4n^2 = 4\Sigma n^2$

$\Rightarrow S_n = 4 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right]$

$\Rightarrow S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$

ଉତ୍ତର: $\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$ ✅

(g)

ପ୍ରଶ୍ନଟି: $1 + 5 + 12 + 22 + 35 + \dots$

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଶ୍ରେଣୀର ସମଷ୍ଟି $S_n = 1 + 5 + 12 + 22 + \dots + t_{n-1} + t_n$

ପୁନଶ୍ଚ, ଗୋଟିଏ ସ୍ଥାନ ଘୁଞ୍ଚାଇ ଲେଖିଲେ:

$S_n = 1 + 5 + 12 + \dots + t_{n-2} + t_{n-1} + t_n$

ଉପରୋକ୍ତ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣକୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

$0 = 1 + 4 + 7 + 10 + \dots + (t_n - t_{n-1}) - t_n$

$\Rightarrow t_n = 1 + 4 + 7 + 10 + \dots$ ($n$ ଟି ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ)

ଏହା ଏକ A.P. ଯାହାର $a=1$ ଓ $d=3$ ।

$t_n = \frac{n}{2} [2(1) + (n-1)3]$

$\Rightarrow t_n = \frac{n}{2} [3n - 1]$

$\Rightarrow t_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$

ସମଷ୍ଟି $S_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

$S_n = \Sigma t_n = \frac{3}{2}\Sigma n^2 - \frac{1}{2}\Sigma n$

$\Rightarrow S_n = \frac{3}{2}\left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - \frac{1}{2}\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{4} - \frac{n(n+1)}{4}$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)}{4} [ (2n+1) - 1 ]$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)}{4} [ 2n ]$

$\Rightarrow S_n = \frac{n^2(n+1)}{2}$

ଉତ୍ତର: $\frac{n^2(n+1)}{2}$ ✅

(h)

ପ୍ରଶ୍ନଟି: $1^2 + (1^2 + 2^2) + (1^2 + 2^2 + 3^2) + (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) + \dots$

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ ଶ୍ରେଣୀର $n$-ତମ ପଦ $t_n$ ହେଉଛି ପ୍ରଥମ $n$ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି ।

$t_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2$

$\Rightarrow t_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\Rightarrow t_n = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}$

$\Rightarrow t_n = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n$

ସମଷ୍ଟି $S_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

$S_n = \Sigma t_n = \frac{1}{3}\Sigma n^3 + \frac{1}{2}\Sigma n^2 + \frac{1}{6}\Sigma n$

$\Rightarrow S_n = \frac{1}{3}\left[ \frac{n^2(n+1)^2}{4} \right] + \frac{1}{2}\left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + \frac{1}{6}\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$

$\Rightarrow S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{12} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{12} + \frac{n(n+1)}{12}$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)}{12} [ n(n+1) + (2n+1) + 1 ]$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)}{12} [ n^2 + n + 2n + 2 ]$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)}{12} [ n^2 + 3n + 2 ]$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)}{12} [ (n+1)(n+2) ]$

$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$

ଉତ୍ତର: $\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$ ✅

Question 5. 15 ଓ 27 ମଧ୍ୟରେ (i) ଗୋଟିଏ ଓ (ii) ଦୁଇଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର। 📐

(i) ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1$):

$a = 15, b = 27$

$\Rightarrow M_1 = \frac{a + b}{2}$

$\Rightarrow M_1 = \frac{15 + 27}{2}$

$\Rightarrow M_1 = \frac{42}{2}$

$\Rightarrow M_1 = 21$

ଉତ୍ତର: 21 ✅

(ii) ଦୁଇଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1, M_2$):

$a = 15, b = 27, n = 2$

$\Rightarrow d = \frac{b - a}{n + 1}$

$\Rightarrow d = \frac{27 - 15}{2 + 1} = \frac{12}{3} = 4$

$\Rightarrow M_1 = a + d = 15 + 4 = 19$

$\Rightarrow M_2 = a + 2d = 15 + 2(4) = 15 + 8 = 23$

ଉତ୍ତର: 19, 23 ✅

Question 6. 12 ଓ 36 ମଧ୍ୟରେ (i) ଦୁଇଗୋଟି ଓ (ii) ତିନିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର। 🔢

(i) ଦୁଇଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1, M_2$):

$a = 12, b = 36, n = 2$

$\Rightarrow d = \frac{36 - 12}{2 + 1} = \frac{24}{3} = 8$

$\Rightarrow M_1 = 12 + 8 = 20$

$\Rightarrow M_2 = 12 + 2(8) = 12 + 16 = 28$

ଉତ୍ତର: 20, 28 ✅

(ii) ତିନିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1, M_2, M_3$):

a = 12, b = 36, n = 3$

$\Rightarrow d = \frac{36 - 12}{3 + 1} = \frac{24}{4} = 6$

$\Rightarrow M_1 = 12 + 6 = 18$

$\Rightarrow M_2 = 12 + 2(6) = 24$

$\Rightarrow M_3 = 12 + 3(6) = 30$

ଉତ୍ତର: 18, 24, 30 ✅

Question 7. 6 ଓ 46 ମଧ୍ୟରେ (i) ଦୁଇଗୋଟି ও (ii) ଚାରିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର। 📏

(i) ଦୁଇଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1, M_2$):

$a = 6, b = 46, n = 2$

$\Rightarrow d = \frac{46 - 6}{2 + 1} = \frac{40}{3}$

$\Rightarrow M_1 = 6 + \frac{40}{3} = \frac{18 + 40}{3} = \frac{58}{3} = 19.33$

$\Rightarrow M_2 = 6 + 2\left(\frac{40}{3}\right) = 6 + \frac{80}{3} = \frac{18 + 80}{3} = \frac{98}{3} = 32.66$

ଉତ୍ତର: 19.33, 32.66 ✅

(ii) ଚାରିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1, M_2, M_3, M_4$):

a = 6, b = 46, n = 4

$\Rightarrow d = \frac{46 - 6}{4 + 1} = \frac{40}{5} = 8$

$\Rightarrow M_1 = 6 + 8 = 14$

$\Rightarrow M_2 = 6 + 16 = 22$

$\Rightarrow M_3 = 6 + 24 = 30$

$\Rightarrow M_4 = 6 + 32 = 38$

ଉତ୍ତର: 14, 22, 30, 38 ✅

Question 8. 5 ଓ 65 ମଧ୍ୟରେ (i) ତିନିଗୋଟି ও (ii) ପାଞ୍ଚଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର। 📐

(i) ତିନିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1, M_2, M_3$):

a = 5, b = 65, n = 3$

$d = \frac{65 - 5}{3 + 1} = \frac{60}{4} = 15$

$\Rightarrow M_1 = 5 + 15 = 20$

$\Rightarrow M_2 = 5 + 30 = 35$

$\Rightarrow M_3 = 5 + 45 = 50$

ଉତ୍ତର: 20, 35, 50 ✅

(ii) ପାଞ୍ଚଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1, M_2, M_3, M_4, M_5$):

a = 5, b = 65, n = 5$

$\Rightarrow d = \frac{65 - 5}{5 + 1} = \frac{60}{6} = 10$

$\Rightarrow M_1 = 5 + 10 = 15$

$\Rightarrow M_2 = 5 + 20 = 25$

$\Rightarrow M_3 = 5 + 30 = 35$

$\Rightarrow M_4 = 5 + 40 = 45$

$\Rightarrow M_5 = 5 + 50 = 55$

ଉତ୍ତର: 15, 25, 35, 45, 55 ✅

Question 9. 11 ଓ 71 ମଧ୍ୟରେ ପାଞ୍ଚଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର। 🖊️

ସମାଧାନ:

a = 11, b = 71, n = 5$

$d = \frac{71 - 11}{5 + 1} = \frac{60}{6} = 10$

$M_1 = 11 + 10 = 21$

$M_2 = 11 + 20 = 31$

$\Rightarrow M_3 = 11 + 30 = 41$

$\Rightarrow M_4 = 11 + 40 = 51$

$\Rightarrow M_5 = 11 + 50 = 61$

ଉତ୍ତର: 21, 31, 41, 51, 61 ✅

Question 10. 20 ଓ 80 ମଧ୍ୟରେ $n$ ସଂଖ୍ୟକ A.M. ଅଛି । ଯଦି ପ୍ରଥମ ମଧ୍ୟକ : ଶେଷ ମଧ୍ୟକ = 1:3 ହୁଏ ତେବେ, $n$ ର ମାନ ସ୍ଥିର କର । ⚖️

ସମାଧାନ:

a = 20, b = 80$

$d = \frac{80 - 20}{n + 1} = \frac{60}{n + 1}$

$M_1 = a + d = 20 + \frac{60}{n+1} = \frac{20n + 80}{n+1}$

$M_n = a + nd = 20 + \frac{60n}{n+1} = \frac{80n + 20}{n+1}$

$\Rightarrow \frac{M_1}{M_n} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{20n + 80}{80n + 20} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow 3(20n + 80) = 80n + 20$

$\Rightarrow 60n + 240 = 80n + 20$

$\Rightarrow 20n = 220$

n = 11$

ଉତ୍ତର: 11 ✅

Question 11. A.P. ରେ ଥିବା ଚାରିଗୋଟି ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହାର ଯୋଗଫଳ 2 ଏବଂ ଆଦ୍ୟ ଓ ପ୍ରାନ୍ତ ରାଶିଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ ମଧ୍ୟକ ଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳର 10 ଗୁଣ ସହ ସମାନ ହେବ । 📝

ସମାଧାନ:

ମନେକର A.P. ର ସଂଖ୍ୟା ଚାରୋଟି ହେଲା: $(a - 3d), (a - d), (a + d), (a + 3d)$

ଯୋଗଫଳ $= 2$

$\Rightarrow (a - 3d) + (a - d) + (a + d) + (a + 3d) = 2$

$\Rightarrow 4a = 2 \Rightarrow a = 0.5$

$\Rightarrow$ ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ: $(a - 3d)(a + 3d) = 10 \times (a - d)(a + d)$

$\Rightarrow a^2 - 9d^2 = 10(a^2 - d^2)$

$\Rightarrow a^2 - 9d^2 = 10a^2 - 10d^2$

$\Rightarrow d^2 = 9a^2$

$\Rightarrow d^2 = 9(0.5)^2 = 2.25$

$\Rightarrow d = 1.5$ (ଧନାତ୍ମକ ମାନ ନେଲେ)

$\Rightarrow$ ସଂଖ୍ୟା ଚାରୋଟି ($a = 0.5, d = 1.5$):

$\Rightarrow (0.5 - 4.5), (0.5 - 1.5), (0.5 + 1.5), (0.5 + 4.5)$

$\Rightarrow -4, -1, 2, 5$

ଉତ୍ତର: -4, -1, 2, 5 ✅