What are the important questions for Class 10 ବୀଜଗଣିତ Chapter: ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex-3(a)?

This page provides all the important textbook questions and detailed answers for Class 10 ବୀଜଗଣିତ chapter ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex-3(a) based on the latest Odisha Board syllabus.

Are the solutions for ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex-3(a) available for free?

Yes, all chapter-wise Q&A, notes, and study materials for ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex-3(a) are available completely free to read and learn on WithTeachers.

Class 10 ବୀଜଗଣିତ

ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex-3(a)

ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex-3(a) – Book Q A Class 10 ବୀଜଗଣିତ

Study Material Book Q&A Additional Questions

WithTeachers.in

📝 Question 1

ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତର ମଧ୍ଯରୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛ ।

❓ (i) 1, 2, 3, 4, … ଅନୁକ୍ରମରେ $t_{8}=$

(a) 6
(b) 7
© 8
(d) 9
✅ ଉତ୍ତର: © 8
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_{1}=1$ , $t_{2}=2$ , $t_{3}=3$ , ତେଣୁ $t_{8}=8$ ।

❓ (ii) 2, 4, 6, 8, … ଅନୁକ୍ରମରେ $t_{7}=$

(a) 12
(b) 14
© 16
(d) 18
✅ ଉତ୍ତର: (b) 14
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_{1}=2\times1$ , $t_{2}=2\times2$ , $t_{3}=2\times3$ ,
ତେଣୁ $t_{7}=2\times7=14$ ।

❓ (iii) -5, -3, -1, 1, … ରେ $t_{11}=$

(a) 13
(b) 15
© 17
(d) 19
✅ ଉତ୍ତର: (b) 15
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_{11}=-5+(11-1)2=-5+20=15$ ।

❓ (iv) 3, 6, 9, … ରେ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=$

(a) 3
(b) 4
© 5
(d) 6
✅ ଉତ୍ତର: (a) 3
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $6-3=9-6=3$ ।

❓ (v) -4, -2, 0, 2, … A.P. ରେ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=$

(a)-2
(b) -3
© 2
(d) 3
✅ ଉତ୍ତର: © 2
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $-2-(-4)=0-(-2)=2$ ।

❓ (vi) 10.2, 10.4, 10.6, 10.8, … ରେ $t_{5}=$

(a) 11.0
(b) 11.2
© 11.4
(d) 11.6
✅ ଉତ୍ତର: (a) 11.0
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_{5}=10.2+(5-1)\times0.2=10.2+0.8=11.0$ ।

❓ (vii) 2.5, 2.9, 3.3, 3.7, … A.P. ରେ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=$

(a) 1.5
(b) 1.4
© 0.5
(d) 0.4
✅ ଉତ୍ତର: (d) 0.4
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $2.9-2.5=3.3-2.9=0.4$ ।

❓ (viii) 3, x, 9, … A.P. ରେ $x=$

(a) 4
(b) 5
© 6
(d) 7
✅ ଉତ୍ତର: © 6
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $x=\frac{3+9}{2}=\frac{12}{2}=6$ ।

❓ (ix) 1.01, 1.51, 2.01, 2.51,… A.P. ରେ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=$

(a) 1
(b) 0.5
© 1.5
(d) 1.05
✅ ଉତ୍ତର: (b) 0.5
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $1.51-1.01=2.01-1.51=0.50$ ।

❓ (x) 5, 0, -5, 10, … A.P. ରେ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=$

(a)-5
(b) 5
©-10
(d) 10
✅ ଉତ୍ତର: (a)-5
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $0-5=-5-0=-5$ ।

📝 Question 2

ନିମ୍ନଲିଖୂତ ଅନୁକ୍ରମ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ A.P, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କର:

❓ (i) 1, 4, 7, 10, 15, 16, 19, 22
✅ ଉତ୍ତର: A.P. ନୁହେଁ ।
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ $4-1\ne16-15$ , ଏଠାରେ ଯେକୌଣସି ପଦରୁ ତା’ର ପୂର୍ବ ପଦକୁ ବିୟୋଗ କଲେ ବିୟୋଗଫଳ ସମାନ ରହୁନାହିଁ।

❓ (ii) 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50
✅ ଉତ୍ତର: A.P. ଅଟେ ।
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ ଏଠାରେ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $(d)=7$ ଅଟେ।

❓ (iii) 1, 6, 11, 15, 22, 28, 34, 40
✅ ଉତ୍ତର: A.P. ନୁହେଁ ।
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ $6-1\ne15-11$ , ଏଠାରେ $d$ ସମାନ ନୁହେଁ।

❓ (iv) 1, 4, 7, 9, 11, 14, 17, 20
✅ ଉତ୍ତର: A.P. ନୁହେଁ ।
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ $4-1\ne11-9$ ଏଠାରେ $d$ ସମାନ ନୁହେଁ।

❓ (v) -5, -3, -1, 0, 2, 4, 6, 8
✅ ଉତ୍ତର: A.P. ନୁହେଁ ।
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ $-3-(-5)=2$ କିନ୍ତୁ $0-(-1)=1$ , ଏଠାରେ $d$ ସମାନ ନୁହେଁ।

❓ (vi) a, $a+d$ , $a+2d$ , $a+3d$ , $a+4d$ , $a+5d$ , $a+6d$ , $a+7d$
✅ ଉତ୍ତର: A.P. ଅଟେ ।
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଅନୁକ୍ରମର $t_{1}=a$ ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର = $d$ ।

❓ (vii) 0.6, 0.8, 1.0, 1.5, 1.7, 1.8, 1.9, 2.0
✅ ଉତ୍ତର: A.P. ନୁହେଁ ।
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ $d$ ସବୁ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମାନ ନୁହେଁ।

❓ (viii) -7,-4,-1, 2, 5, 8, 11, 14
✅ ଉତ୍ତର: A.P. ଅଟେ ।
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ $d=-4-(-7)=-1-(-4)=2-(-1)=3$ ।

📝 Question 3

ପ୍ରଶ୍ନ 2ରେ ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକ A.P. ସେମାନଙ୍କ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର (d) ନିରୂପଣ କର:

❓ (ii) 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50
✅ ଉତ୍ତର: ଏହି ଅନୁକ୍ରମର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=8-1=15-8=7$ ।

❓ (vi) a, $a+d$ , $a+2d$ , $a+3d$ , $a+4d$ , $a+5d$ , $a+6d$ , $a+7d$
✅ ଉତ୍ତର: ଏହି ଅନୁକ୍ରମର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=a+4d-(a+3d)=d$ ।

❓ (viii) -7,-4,-1, 2, 5, 8, 11, 14
✅ ଉତ୍ତର: ଅନୁକ୍ରମଟିର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=-4-(-7)=3$ ।

📝 Question 4

ପ୍ରଥମ ପଦ $a = 5$ ନେଇ A.P. ର ପ୍ରଥମ ଚାରିଗୋଟି ପଦ ଲେଖ ଯେପରିକି ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର:

❓ (i) $d = 5$

❓ (ii) $d = 4$

❓ (iii) $d = 2$

❓ (iv) $d = -2$

❓ (v) $d = -3$ ହେବ ।

❓ (i) $d=5$
✅ ଉତ୍ତର: 5, 10, 15, 20
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_{1}=5$ , $t_{2}=5+5=10$ , $t_{3}=10+5=15$ , $t_{4}=15+5=20$ ।

❓ (ii) $d=4$
✅ ଉତ୍ତର: 5, 9, 13, 17
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_{1}=5$ , $t_{2}=5+4=9$ , $t_{3}=9+4=13$ , $t_{4}=13+4=17$ ।

❓ (iii) $d=2$
✅ ଉତ୍ତର: 5, 7, 9, 11
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_{1}=5$ , $t_{2}=5+2=7$ , $t_{3}=7+2=9$ , $t_{4}=9+2=11$ ।

❓ (iv) $d=-2$
✅ ଉତ୍ତର: 5, 3, 1, -1
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_{1}=5$ , $t_{2}=5+(-2)=3$ , $t_{3}=3+(-2)=1$ , $t_{4}=1+(-2)=-1$ ।

❓ (v) $d=-3$
✅ ଉତ୍ତର: 5, 2, -1, -4
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_{1}=5$ , $t_{2}=5+(-3)=2$ , $t_{3}=2+(-3)=-1$ , $t_{4}=-1+(-3)=-4$ ।

📝 Question 5

ଏକ A.P. ର n ତମ ପଦ $t_{n}$ ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ହୋଇଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ $t_{5}$ , $t_{8}$ ଓ $t_{10}$ କେତେ ନିରୂପଣ କର ।

❓ (i) $t_{n}=\frac{n+1}{2}$

✅ ଉତ୍ତର:

💡 $t_{5}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$
💡 $t_{8}=\frac{8+1}{2}=\frac{9}{2}=4.5$
💡 $t_{10}=\frac{10+1}{2}=\frac{11}{2}=5.5$

❓ (ii) $t_{n}=-10+2n$

✅ ଉତ୍ତର:

💡 $t_{5}=-10+2(5)=-10+10=0$
💡 $t_{8}=-10+2(8)=-10+16=6$
💡 $t_{10}=-10+2(10)=-10+20=10$

❓ (iii) $t_{n}=10n+5$

✅ ଉତ୍ତର:

💡 $t_{5}=10(5)+5=50+5=55$
💡 $t_{8}=10(8)+5=80+5=85$
💡 $t_{10}=10(10)+5=100+5=105$

❓ (iv) $t_{n}=4n-6$

✅ ଉତ୍ତର:

💡 $t_{5}=4(5)-6=20-6=14$
💡 $t_{8}=4(8)-6=32-6=26$
💡 $t_{10}=4(10)-6=40-6=34$

WithTeachers.in

📝 Question 6

ନିମ୍ନଲିଖୂତ A.P. ଗଠନ କର (କେବଳ ଦ୍ଵିତୀୟ, ତୃତୀୟ ଓ ଚତୁର୍ଥ ପଦ ତ୍ରୟ ଆବଶ୍ୟକ) ଯେଉଁଠାରେ :

❓ (i) ପ୍ରଥମ ପଦ $a=4$ , ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=3$

✅ ଉତ୍ତର: 7, 10, 13

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: * $t_{2}=a+d=4+3=7$

$t_{3}=a+2d=4+2\times3=10$
$t_{4}=a+3d=4+3\times3=13$

❓ (ii) ପ୍ରଥମ ପଦ $a=-8$ , ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=-2$

✅ ଉତ୍ତର: -10, -12, -14

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: * $t_{2}=a+d=-8+(-2)=-10$

$t_{3}=a+2d=-8+2\times(-2)=-12$
$t_{4}=a+3d=-8+3(-2)=-14$

❓ (iii) ପ୍ରଥମ ପଦ $a=7$ , ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=-4$

✅ ଉତ୍ତର: 3, -1, -5

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: * $t_{2}=a+d=7+(-4)=3$

$t_{3}=a+2d=7+2(-4)=-1$
$t_{4}=a+3d=7+3(-4)=-5$

❓ (iv) ପ୍ରଥମ ପଦ $a=10$ , ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=5$

✅ ଉତ୍ତର: 15, 20, 25

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: * $t_{2}=a+d=10+5=15$

$t_{3}=a+2d=10+2\times5=20$
$t_{4}=a+3d=10+3\times5=25$

❓ (v) ପ୍ରଥମ ପଦ $a=\frac{1}{2}$ , ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=\frac{3}{2}$

✅ ଉତ୍ତର: 2, $\frac{7}{2}$ , 5

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: * $t_{2}=a+d=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{4}{2}=2$

$t_{3}=a+2d=\frac{1}{2}+2\times\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$
$t_{4}=a+3d=\frac{1}{2}+3\times\frac{3}{2}=\frac{10}{2}=5$

❓ (vi) ପ୍ରଥମ ପଦ $a=\frac{1}{2}$ , ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=-1$

✅ ଉତ୍ତର: $-\frac{1}{2}$ , $-\frac{3}{2}$ , $-\frac{5}{2}$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: * $t_{2}=a+d=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$

$t_{3}=a+2d=\frac{1}{2}+2(-1)=-\frac{3}{2}$
$t_{4}=a+3d=\frac{1}{2}+3(-1)=-\frac{5}{2}$

📝 Question 7

ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଭୁଲ୍ ବା ଠିକ୍ ଲେଖ ।

❓ (a) 1, 2, 3, 4 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି ସୃଷ୍ଟି କରନ୍ତି ।
✅ ଉତ୍ତର: ଠିକ୍
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ ଏହି ଅନୁକ୍ରମର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $(d)=1$ ।

❓ (b) 1, 1, 1, -1, -1, ଅନୁକ୍ରମଟି ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି ଅଟେ ।
✅ ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ ଏହି ଅନୁକ୍ରମର $d$ ସମାନ ନୁହେଁ ।

❓ © 2, 1, - 1, - 2 ସଂଖ୍ୟା ଚାରିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ବିଦ୍ୟମାନ ।
✅ ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ $1-2=-1, -1-1=-2$ ଏଠାରେ $d$ ଅସମାନ ।

❓ (d) ଯେଉଁ ଅନୁକ୍ରମର $t_{n}=n-1$ , ତାହା ଏକ A.P. ଅଟେ ।
✅ ଉତ୍ତର: ଠିକ୍
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ ଅନୁକ୍ରମର ସାଧାରଣ ପଦ $t_{n}=n-1$ ।

❓ (e) ଯେଉଁ ଅନୁକ୍ରମର $S_{n}=\frac{n(n-1)}{2}$ ତାହା A.P. ଅଟେ ।
✅ ଉତ୍ତର: ଠିକ୍

❓ (f) ଯଦି କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ ତ୍ରୟର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 : 4 ହୁଏ, ତେବେ କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣ ଗୋଟିଏ A.P. ଗଠନ କରିବେ ।
✅ ଉତ୍ତର: ଠିକ୍
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ କୋଣତ୍ରୟ 40°, 60°, 80° ଏହା A.P. ଅଟେ ।

❓ (g) ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଗୋଟିଏ A.P.ରେ ରହିପାରିବେ ।
✅ ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ 3, 4, 5 ଏବଂ 6, 8, 10 ଇତ୍ୟାଦି ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ; କିନ୍ତୁ ଯେକୌଣସି ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ପାଇଁ ଏହା ଠିକ୍ ନୁହେଁ ।

❓ (h) ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନେ A.P. ଗଠନ କରନ୍ତି ନାହିଁ ।
✅ ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ 3, 5, 7, 9 ଆଦି A.P. ଗଠନ କରନ୍ତି ।

❓ (i) 5 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଏକ A.P. ଅଟନ୍ତି ।
✅ ଉତ୍ତର: ଠିକ୍
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ 5, 10, 15, 20 ଆଦି A.P. ଅଟନ୍ତି ।

❓ (j) 5, x, 9 ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ରହିଲେ $x=6$ ।
✅ ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍
💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କାରଣ ଏଠାରେ ମଧ୍ୟକ $x=\frac{9+5}{2}=\frac{14}{2}=7$ ହେବ ।

WithTeachers.in

- Question 8
- Question 9

Question 8

ପ୍ରଶ୍ନ (a): $1+2+3+.....$ ରେ $S_{30}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ $a=1$ , $d=3-2=1$ , ଏବଂ $n=30$ ।

$S_{n}=\frac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

$\Rightarrow S_{30}=\frac{30}{2}\{2(1)+(30-1)1\}$

$\Rightarrow S_{30}=15(2+29)$

$\Rightarrow S_{30}=15\times31$

$\Rightarrow S_{30}=465$

ପ୍ରଶ୍ନ (b): $1+3+5+........$ ରେ $S_{10}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ $a=1$ , $d=3-1=2$ , ଏବଂ $n=10$ ।

$\Rightarrow S_{10}=\frac{10}{2}\{2(1)+(10-1)2\}$

$\Rightarrow S_{10}=5(2+18)$

$\Rightarrow S_{10}=5\times20$

$\Rightarrow S_{10}=100$

ପ୍ରଶ୍ନ ©: $2+4+6+.......$ ରେ $S_{15}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ $a=2$ , $d=4-2=2$ , ଏବଂ $n=15$ ।

$\Rightarrow S_{15}=\frac{15}{2}\{2(2)+(15-1)2\}$

$\Rightarrow S_{15}=\frac{15}{2}(4+28)$

$\Rightarrow S_{15}=15\times16$

$\Rightarrow S_{15}=240$

ପ୍ରଶ୍ନ (d): $1-2+3-4+.....$ ରେ $S_{30}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଦୁଇଟି ପଦକୁ ଗୋଟିଏ ପଦରେ ପରିଣତ କଲେ ଏହା ନିମ୍ନଲିଖିତ ଅନୁକ୍ରମ ହେବ:

$\Rightarrow (1-2)+(3-4)+(5-6)+.........+(29-30)$

$\Rightarrow (-1)+(-1)+(-1)+..........$ (ମୋଟ 15 ଟି ପଦ)

$\Rightarrow -1\times15$

$\Rightarrow -15$

ପ୍ରଶ୍ନ (e): $1-2+3-4+.........$ ରେ $S_{41}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ପଦସଂଖ୍ୟା 41 ହୋଇଥିବାରୁ, ଅନୁକ୍ରମଟିକୁ ନିମ୍ନମତେ ସଜାଇହେବ:

$\Rightarrow (1-2)+(3-4)+........+(39-40)+41$

$\Rightarrow S_{20}+41$

$\Rightarrow -20+41$

$\Rightarrow 21$

ପ୍ରଶ୍ନ (f): $1+1+2+2+3+3.........$ ରେ $S_{17}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଏହାକୁ ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମରେ ଅଲଗା କଲେ:

$\Rightarrow (1+2+3+......+9)+(1+2+3+......+8)$

$\Rightarrow \frac{9\times10}{2}+\frac{8\times9}{2}$

$\Rightarrow 45+36$

$\Rightarrow 81$

ପ୍ରଶ୍ନ (g): $1+2+3+2+3+4+3+4+5.....$ ରେ $S_{39}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ତିନୋଟି ପଦକୁ ଗୋଟିଏ ପଦରେ ପରିଣତ କଲେ, 39 ଟି ପଦ ମୋଟ $\frac{39}{3}=13$ ଟି ପଦ ହେବ:

$\Rightarrow (1+2+3)+(2+3+4)+(3+4+5)+.........$ (13ଟି ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ)

$\Rightarrow 6+9+12+........$ ରେ $S_{13}$

$\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2}\{2(6)+(13-1)3\}$

$\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2}\{12+36\}$

$\Rightarrow S_{13} = 13\times24$

$\Rightarrow S_{13} = 312$

ପ୍ରଶ୍ନ (h): $-7-10-13-........$ ରେ $S_{21}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ $a=-7$ , $d=-10-(-7)=-3$ , ଏବଂ $n=21$ ।

$\Rightarrow S_{21}=\frac{21}{2}\{2(-7)+(21-1)(-3)\}$

$\Rightarrow S_{21} = \frac{21}{2}\{-14-60\}$

$\Rightarrow S_{21} = 21\times(-37)$

$\Rightarrow S_{21} = -777$

ପ୍ରଶ୍ନ (i): $10+6+2+........$ ରେ $S_{15}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ $a=10$ , $d=6-10=-4$ , ଏବଂ $n=15$ ।

$\Rightarrow S_{15}=\frac{15}{2}\{2(10)+(15-1)(-4)\}$

$\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2}\{20+(-56)\}$

$\Rightarrow S_{15} = 15\times(-18)$

$\Rightarrow S_{15} = -270$

ପ୍ରଶ୍ନ (j): $20+9-2+........$ ରେ $S_{25}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ $a=20$ , $d=9-20=-11$ , ଏବଂ $n=25$ ।

$\Rightarrow S_{25}=\frac{25}{2}\{2(20)+(25-1)(-11)\}$

$\Rightarrow S_{25} = \frac{25}{2}\{40-264\}$

$\Rightarrow S_{25} = 25\times(-112)$

$\Rightarrow S_{25} = -2800$

ପ୍ରଶ୍ନ (k): $n+(n-1)+(n-2)+.........$ ରେ $S_{n}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ $a=n$ , $d=(n-1)-n=-1$ , ଏବଂ $n=n$ ।

$\Rightarrow S_{n}=\frac{n}{2}\{2n+(n-1)(-1)\}$

$\Rightarrow S_{n} = \frac{n}{2}(2n-n+1)$

$\Rightarrow S_{n} = \frac{n(n+1)}{2}$

ପ୍ରଶ୍ନ (l): $5+4\frac{1}{3}+3\frac{2}{3}+.........$ ରେ $S_{20}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ $a=5$ , $d=4\frac{1}{3}-5=\frac{13}{3}-5=-\frac{2}{3}$ , ଏବଂ $n=20$ ।

$\Rightarrow S_{20}=\frac{20}{2}\{2(5)+(20-1)(-\frac{2}{3})\}$

$\Rightarrow S_{20} = 10(10-\frac{38}{3})$

$\Rightarrow S_{20} = 10(-\frac{8}{3})$

$\Rightarrow S_{20} = -\frac{80}{3}$

$\Rightarrow S_{20} = -26\frac{2}{3}$

Question 9

ପ୍ରଶ୍ନ (a): ଯଦି $a=3$ , $d=4$ , $n=10$ , ତେବେ $S_{n}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow S_{10}=\frac{10}{2}\{2\times3+(10-1)4\}$

$\Rightarrow S_{10}=5\{6+36\}$

$\Rightarrow S_{10}=5\times42$

$\Rightarrow S_{10}=210$

ପ୍ରଶ୍ନ (b): ଯଦି $a=-5$ , $d=-3$ , ତେବେ $S_{17}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow S_{17}=\frac{17}{2}\{2(-5)+(17-1)(-3)\}$

$\Rightarrow S_{17}=\frac{17}{2}\{-10-48\}$

$\Rightarrow S_{17}=\frac{17}{2}\times(-58)$

$\Rightarrow S_{17}=17\times(-29)$

$\Rightarrow S_{17}=-493$

ପ୍ରଶ୍ନ ©: ଯଦି $t_{n}=2n-1$ , ତେବେ ପ୍ରଥମ 5ଟି ପଦ ଲେଖ ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow t_{1}=2(1)-1=1$

$\Rightarrow t_{2}=2(2)-1=3$

$\Rightarrow t_{3}=2(3)-1=5$

$\Rightarrow t_{4}=2(4)-1=7$

$\Rightarrow t_{5}=2(5)-1=9$

ଅତଏବ, ପ୍ରଥମ 5ଟି ପଦ ହେଉଛି: 1, 3, 5, 7, 9 ।

ପ୍ରଶ୍ନ (d): ଯଦି $t_{n}=3n+2$ , ତେବେ $S_{61}$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ, $t_{1}=3(1)+2=5$ ଏବଂ $t_{2}=3(2)+2=8$ ।

ତେଣୁ $a=5$ ଏବଂ $d=8-5=3$ , ଯେଉଁଠାରେ $n=61$ ।

$\Rightarrow S_{61}=\frac{61}{2}\{2\times5+(61-1)3\}$

$\Rightarrow S_{61}=\frac{61}{2}\{10+180\}$

$\Rightarrow S_{61}=61\times95$

$\Rightarrow S_{61}=5795$

ପ୍ରଶ୍ନ (e): ଯଦି $t_{n}=3n-5$ , ତେବେ $S_{50}$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ, $t_{1}=3(1)-5=-2$ ଏବଂ $t_{2}=3(2)-5=1$ ।

ତେଣୁ $a=-2$ ଏବଂ $d=1-(-2)=3$ , ଯେଉଁଠାରେ $n=50$ ।

$\Rightarrow S_{50}=\frac{50}{2}\{2(-2)+(50-1)3\}$

$\Rightarrow S_{50}=25(-4+147)$

$\Rightarrow S_{50}=25\times143$

$\Rightarrow S_{50}=3575$

ପ୍ରଶ୍ନ (f): ଯଦି $t_{n}=2-3n$ , ତେବେ $S_{n}$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ, $t_{1}=2-3(1)=-1$ ଏବଂ $t_{2}=2-3(2)=-4$ ।

ତେଣୁ $a=-1$ ଏବଂ $d=-4-(-1)=-3$ ।

$\Rightarrow S_{n}=\frac{n}{2}\{2(-1)+(n-1)(-3)\}$

$\Rightarrow S_{n}=\frac{n}{2}(-2-3n+3)$

$\Rightarrow S_{n}=\frac{n}{2}(1-3n)$

ପ୍ରଶ୍ନ (g): ଯଦି $S_{n}=n^{2}$ , ତେବେ $t_{15}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ସାଧାରଣ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, $t_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ ।

$\Rightarrow t_{15}=S_{15}-S_{14}$

$\Rightarrow t_{15}=15^{2}-14^{2}$

$\Rightarrow t_{15}=225-196$

$\Rightarrow t_{15}=29$

ପ୍ରଶ୍ନ (h): ଏକ A.P. ରେ $a=3$ , $d=4$ , $S_{n}=903$ , ତେବେ $n$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow \frac{n}{2}\{2(3)+(n-1)4\}=903$

$\Rightarrow \frac{n}{2}\{6+4n-4\}=903$

$\Rightarrow n(2n+1)=903$

$\Rightarrow 2n^{2}+n-903=0$

$\Rightarrow (n-21)(2n+43)=0$

ଯେହେତୁ ପଦ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ,

$\Rightarrow n=21$

ପ୍ରଶ୍ନ (i): ଏକ A.P. ରେ $d=2$ , $S_{15}=285$ , ତେବେ $a$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow \frac{15}{2}\{2a+(15-1)2\}=285$

$\Rightarrow \frac{15}{2}\{2a+28\}=285$

$\Rightarrow 15(a+14)=285$

$\Rightarrow a+14=19$

$\Rightarrow a=19-14$

$\Rightarrow a=5$

ପ୍ରଶ୍ନ (j): ଏକ A.P. ରେ $t_{15}=30$ , $t_{20}=50$ , ତେବେ $S_{17}$ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow a+14d=30$ … (ସମୀକରଣ-୧)

$\Rightarrow a+19d=50$ … (ସମୀକରଣ-୨)

ଦୁଇଟି ସମୀକରଣରୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

$\Rightarrow (a+14d) - (a+19d) = 30 - 50$

$\Rightarrow -5d=-20$

$\Rightarrow d=4$

$d$ ର ମୂଲ୍ୟ (ସମୀକରଣ-୧) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$\Rightarrow a+14(4)=30$

$\Rightarrow a+56=30$

$\Rightarrow a=-26$

ବର୍ତ୍ତମାନ $S_{17}$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା:

$\Rightarrow S_{17}=\frac{17}{2}\{2(-26)+(17-1)4\}$

$\Rightarrow S_{17}=\frac{17}{2}\{-52+64\}$

$\Rightarrow S_{17}=\frac{17}{2}(12)$

$\Rightarrow S_{17}=17\times6$

$\Rightarrow S_{17}=102$

WithTeachers.in

Question 10

ପ୍ରଶ୍ନ (i): ‘ଓଲଟାଇ ମିଶାଇବା କୌଶଳରେ’ ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(a) 1 ଠାରୁ 105 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।

ସମାଧାନ:

1 ଠାରୁ 105 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା = 105 ।

ମନେକର ଯୋଗଫଳ = $S$ ।

$\Rightarrow S = 1+2+3+........+103+104+105$

$\Rightarrow S = 105+104+103+........+3+2+1$ (ଓଲଟାଇ ଲେଖିବା ଦ୍ଵାରା)

ଦୁଇଟିକୁ ମିଶାଇଲେ:

$\Rightarrow 2S = 106+106+106+........+106+106$ (ମୋଟ 105 ଥର)

$\Rightarrow 2S = 105\times106$

$\Rightarrow S = \frac{105\times106}{2} = 105\times53$

$\Rightarrow S = 5565$

ଅତଏବ, 1 ଠାରୁ 105 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ହେଉଛି 5565 ।

ପ୍ରଶ୍ନ (i): ‘ଓଲଟାଇ ମିଶାଇବା କୌଶଳରେ’ ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(b) 25 ଠାରୁ 93 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।

ସମାଧାନ:

25 ଠାରୁ 93 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା $= 93-24=69$ ।

ମନେକର ଯୋଗଫଳ = $S$ ।

$\Rightarrow S = 25+26+27+........+91+92+93$

$\Rightarrow S = 93+92+91+........+27+26+25$ (ଓଲଟାଇ ଲେଖିବା ଦ୍ଵାରା)

ଦୁଇଟିକୁ ମିଶାଇଲେ:

$\Rightarrow 2S = 118+118+118+........+118+118$ (ମୋଟ 69 ଥର)

$\Rightarrow 2S = 69\times118$

$\Rightarrow S = \frac{69\times118}{2} = 69\times59$

$\Rightarrow S = 4071$

ଅତଏବ, 25 ଠାରୁ 93 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ହେଉଛି 4071 ।

ପ୍ରଶ୍ନ (i): ‘ଓଲଟାଇ ମିଶାଇବା କୌଶଳରେ’ ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
© 111 ଠାରୁ 222 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।

ସମାଧାନ:

111 ଠାରୁ 222 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା $= 222-110=112$ ।

ମନେକର ଯୋଗଫଳ = $S$ ।

$\Rightarrow S = 111+112+113+........+220+221+222$

$\Rightarrow S = 222+221+220+........+113+112+111$ (ଓଲଟାଇ ଲେଖିବା ଦ୍ଵାରା)

ଦୁଇଟିକୁ ମିଶାଇଲେ:

$\Rightarrow 2S = 333+333+333+........+333+333$ (ମୋଟ 112 ଥର)

$\Rightarrow 2S = 112\times333$

$\Rightarrow S = \frac{112\times333}{2} = 56\times333$

$\Rightarrow S = 18648$

ଅତଏବ, 111 ଠାରୁ 222 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ହେଉଛି 18648 ।

ପ୍ରଶ୍ନ (ii): $1, 2, 3, ........$ ଅନୁକ୍ରମର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(a) $S_{20}$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ପ୍ରଥମ $n$ ସଂଖ୍ୟକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ପାଇଁ ସୂତ୍ର $S_{n} = \frac{n(n+1)}{2}$ ।

$\Rightarrow S_{20} = \frac{20\times21}{2} = 10\times21 = 210$

ପ୍ରଶ୍ନ (ii): $1, 2, 3, ........$ ଅନୁକ୍ରମର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(b) $S_{50}$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow S_{50} = \frac{50\times51}{2} = 25\times51 = 1275$

ପ୍ରଶ୍ନ (iii): 32 ଠାରୁ 85 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ $S = 32+33+34+........+85$ ।

ଏହା ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (A.P.) ଯାହାର ପ୍ରଥମ ପଦ $a = 32$ , ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = 1$ , ଏବଂ ପଦ ସଂଖ୍ୟା $n = 85-31=54$ ।

$\Rightarrow S_{n} = \frac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$

$\Rightarrow S_{54} = \frac{54}{2}\{2\times32+(54-1)\times1\}$

$\Rightarrow S_{54} = 27\{64+53\} = 27\times117$

$\Rightarrow S_{54} = 3159$

ପ୍ରଶ୍ନ (iv): 100 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $2, 4, 6, 8, ........ , 98$ ।

$\Rightarrow S = 2(1+2+3+4+........+49)$

ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମଷ୍ଟିକୁ ସୂତ୍ରରେ ପକାଇଲେ:

$\Rightarrow S = 2\times\frac{49\times(49+1)}{2} = 49\times50$

$\Rightarrow S = 2450$

ଅତଏବ, 100 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ହେଉଛି 2450 ।

ପ୍ରଶ୍ନ (v): 150 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $1, 3, 5, 7, ........ , 149$ ।

ଏଠାରେ $a = 1, d = 2$ , ଏବଂ ଶେଷ ପଦ $t_{n} = 149$ ।

ପଦ ସଂଖ୍ୟା ( $n$ ) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା:

$\Rightarrow 1+(n-1)2 = 149 \Rightarrow (n-1)2 = 148 \Rightarrow n-1 = 74 \Rightarrow n = 75$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମଷ୍ଟି ( $S_{75}$ ) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା:

$\Rightarrow S_{75} = \frac{75}{2}\{2\times1+(75-1)2\} = \frac{75}{2}\{2+148\} = \frac{75\times150}{2} = 75\times75$

$\Rightarrow S_{75} = 5625$

ଅତଏବ, 150 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ହେଉଛି 5625 ।

17. ଗୋଟିଏ A.P. ର 4th ପଦ 18 ଏବଂ 15th ପଦ ଓ 9th ପଦର ଅନ୍ତର 30 ହେଲେ, A.P. ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

📐 Step 1: ମନେକର ପ୍ରଥମ ପଦ $a$ ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d$ । Step 2: ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, $t_{15} - t_9 = 30$ $\Rightarrow (a + 14d) - (a + 8d) = 30$ $\Rightarrow 6d = 30 \Rightarrow d = 5$ । Step 3: ଦତ୍ତ ଅଛି $t_4 = 18$ $\Rightarrow a + 3d = 18 \Rightarrow a + 3(5) = 18 \Rightarrow a + 15 = 18 \Rightarrow a = 3$ । ଉତ୍ତର: A.P. ଟି ହେଉଛି 3, 8, 13, 18, ... । ✅

18. 10 ଏବଂ 250 ମଧ୍ୟରେ 4 ର କେତୋଟି ଗୁଣିତକ ଅଛି?

🔢 Step 1: 10 ପରେ 4 ର ପ୍ରଥମ ଗୁଣିତକ $a = 12$ । Step 2: 250 ପୂର୍ବରୁ 4 ର ଶେଷ ଗୁଣିତକ $l = 248$ । Step 3: ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = 4$ । Step 4: $t_n = a + (n-1)d$ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $248 = 12 + (n-1)4 \Rightarrow 236 = 4(n-1) \Rightarrow n-1 = 59 \Rightarrow n = 60$ । ଉତ୍ତର: 60 ଟି ଗୁଣିତକ ଅଛି । ✅

19. କେଉଁ n ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଦୁଇଟି A.P. 63, 65, 67, ... ଏବଂ 3, 10, 17, ... ର n-ତମ ପଦ ସମାନ ହେବ?

📏 Step 1: ପ୍ରଥମ A.P. ପାଇଁ $a=63, d=2$ । $t_n = 63 + (n-1)2 = 61 + 2n$ । Step 2: ଦ୍ୱିତୀୟ A.P. ପାଇଁ $a=3, d=7$ । $t_n = 3 + (n-1)7 = 7n - 4$ । Step 3: ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ $61 + 2n = 7n - 4 \Rightarrow 65 = 5n \Rightarrow n = 13$ । ଉତ୍ତର: 13-ତମ ପଦ ସମାନ ହେବ । ✅

20. ଗୋଟିଏ A.P. ର 3rd ପଦ 16 ଏବଂ 7th ପଦଟି 5th ପଦ ଅପେକ୍ଷା 12 ଅଧିକ ହେଲେ A.P. ଟି ଲେଖ ।

🖊️ Step 1: $t_7 - t_5 = 12 \Rightarrow (a+6d) - (a+4d) = 12 \Rightarrow 2d = 12 \Rightarrow d = 6$ । Step 2: $t_3 = 16 \Rightarrow a + 2d = 16 \Rightarrow a + 12 = 16 \Rightarrow a = 4$ । ଉତ୍ତର: A.P. ଟି ହେଉଛି 4, 10, 16, 22, ... । ✅

21. 3, 8, 13, ..., 253 A.P. ର ଶେଷ ପଦରୁ 20-ତମ ପଦ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

📐 Step 1: ଶେଷ ପଦରୁ n-ତମ ପଦ ସୂତ୍ର: $l - (n-1)d$ । Step 2: ଏଠାରେ $l = 253, d = 5, n = 20$ । Step 3: $253 - (20-1)5 = 253 - 19 \times 5 = 253 - 95 = 158$ । ଉତ୍ତର: 158 । ✅

22. ଗୋଟିଏ A.P. ର 4th ଏବଂ 8th ପଦର ସମଷ୍ଟି 24 ଏବଂ 6th ଓ 10th ପଦର ସମଷ୍ଟି 44 ହେଲେ ପ୍ରଥମ ତିନୋଟି ପଦ ଲେଖ ।

📝 Step 1: $t_4 + t_8 = 24 \Rightarrow (a+3d) + (a+7d) = 24 \Rightarrow 2a + 10d = 24 \Rightarrow a + 5d = 12$ (ସମୀକରଣ 1) । Step 2: $t_6 + t_{10} = 44 \Rightarrow 2a + 14d = 44 \Rightarrow a + 7d = 22$ (ସମୀକରଣ 2) । Step 3: ସମୀକରଣ 2 ରୁ 1 କୁ ବିୟୋଗ କଲେ, $2d = 10 \Rightarrow d = 5$ । Step 4: $a + 5(5) = 12 \Rightarrow a = 12 - 25 = -13$ । ଉତ୍ତର: -13, -8, -3 । ✅

23. 0 ଏବଂ 50 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

🔢 Step 1: ଅନୁକ୍ରମଟି ହେଲା 1, 3, 5, ..., 49 । ଏଠାରେ $a=1, d=2, l=49$ । Step 2: $49 = 1 + (n-1)2 \Rightarrow 48 = 2(n-1) \Rightarrow n = 25$ । Step 3: $S_{25} = n^2 = 25^2 = 625$ । ଉତ୍ତର: 625 । ✅

24. ଗୋଟିଏ A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦ 5, ଶେଷ ପଦ 45 ଏବଂ ସମଷ୍ଟି 400 ହେଲେ ପଦ ସଂଖ୍ୟା (n) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

📏 Step 1: $S_n = \frac{n}{2}(a+l)$ । Step 2: $400 = \frac{n}{2}(5+45) \Rightarrow 400 = \frac{n}{2}(50) \Rightarrow 400 = 25n \Rightarrow n = 16$ । ଉତ୍ତର: 16 । ✅

25. 7 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ପ୍ରଥମ 40 ଟି ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି କେତେ?

💡 Step 1: $a=7, d=7, n=40$ । Step 2: $S_{40} = \frac{40}{2}[2(7) + (40-1)7] = 20[14 + 39 \times 7] = 20[14 + 273] = 20 \times 287 = 5740$ । ଉତ୍ତର: 5740 । ✅

26. 8 ର ପ୍ରଥମ 15 ଟି ଗୁଣିତକର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

🔢 Step 1: $a=8, d=8, n=15$ । Step 2: $S_{15} = \frac{15}{2}[2(8) + (15-1)8] = \frac{15}{2}[16 + 14 \times 8] = \frac{15}{2}[16 + 112] = \frac{15}{2} \times 128 = 15 \times 64 = 960$ । ଉତ୍ତର: 960 । ✅

27. ଯଦି ଗୋଟିଏ A.P. ର $S_n = 4n - n^2$ ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର 10-ତମ ପଦ କେତେ?

🖊️ Step 1: $t_n = S_n - S_{n-1}$ । Step 2: $t_{10} = S_{10} - S_9$ । Step 3: $S_{10} = 4(10) - 10^2 = 40 - 100 = -60$ । Step 4: $S_9 = 4(9) - 9^2 = 36 - 81 = -45$ । Step 5: $t_{10} = -60 - (-45) = -15$ । ଉତ୍ତର: -15 । ✅

28. ଗୋଟିଏ A.P. ର 3rd ପଦ 5 ଏବଂ 7th ପଦ 9 ହେଲେ, ପ୍ରଥମ 17 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ?

📐 Step 1: $a+2d=5$ ଏବଂ $a+6d=9$ । ବିୟୋଗ କଲେ $4d=4 \Rightarrow d=1$ ଏବଂ $a=3$ । Step 2: $S_{17} = \frac{17}{2}[2(3) + (17-1)1] = \frac{17}{2}[6 + 16] = \frac{17}{2} \times 22 = 17 \times 11 = 187$ । ଉତ୍ତର: 187 । ✅

WithTeachers.in

Question 11

ପ୍ରଶ୍ନ: ଯେଉଁ ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମର ପ୍ରଥମ ପଦ 17 ଓ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର -2 ତାହାର କେତୋଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 72 ହେବ ? ଏହାର ଦୁଇଟି ଉତ୍ତର ମିଳିବାର କାରଣ ଲେଖ ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ଏକ ଅନୁକ୍ରମର ପ୍ରଥମ ପଦ $a=17$

$\Rightarrow$ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=-2$

$\Rightarrow$ ମନେକର $n$ ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 72 ହେବ

$\Rightarrow S_{n}=72$

$\Rightarrow \frac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}=72$

$\Rightarrow \frac{n}{2}\{2\times17+(n-1)(-2)\}=72$

$\Rightarrow \frac{n}{2}\{34-2n+2\}=72$

$\Rightarrow \frac{n}{2}\{36-2n\}=72$

$\Rightarrow \frac{n}{2}\times2(18-n)=72$

$\Rightarrow 18n-n^{2}=72$

$\Rightarrow n^{2}-18n+72=0$

$\Rightarrow n^{2}-12n-6n+72=0$

$\Rightarrow n(n-12)-6(n-12)=0$

$\Rightarrow (n-6)(n-12)=0$

$\Rightarrow n-6=0$ କିମ୍ବା $n-12=0$

$\Rightarrow n=6$ କିମ୍ବା $n=12$

ଦୁଇଟି ଉତ୍ତର ମିଳିବାର କାରଣ:

$\Rightarrow t_{7} = a+(7-1)d = 17+6(-2) = 17-12=5$

$\Rightarrow t_{8} = a+(8-1)d = 17+7(-2) = 17-14=3$

$\Rightarrow t_{9} = a+(9-1)d = 17+8(-2) = 17-16=1$

$\Rightarrow t_{10} = a+(10-1)d = 17+9(-2) = 17-18=-1$

$\Rightarrow t_{11} = a+(11-1)d = 17+10(-2) = 17-20=-3$

$\Rightarrow t_{12} = a+(12-1)d = 17+11(-2) = 17-22=-5$

$\Rightarrow t_{7}+t_{8}+t_{9}+t_{10}+t_{11}+t_{12} = (5+3+1)-(1+3+5) = 0$

ସପ୍ତମ ପଦରୁ ଦ୍ଵାଦଶ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ 0 ହୋଇଥିବାରୁ, ପ୍ରଥମ 6 ପଦର ସମଷ୍ଟି ଏବଂ ପ୍ରଥମ 12 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି ସମାନ। ତେଣୁ ଏଠାରେ ଦୁଇଟି ଉତ୍ତର ମିଳିଲା ।

Question 12(i)

ପ୍ରଶ୍ନ: ଏକ ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମରେ ଅବସ୍ଥିତ ତିନୋଟି ରାଶିର ଯୋଗଫଳ 18 ଏବଂ ଗୁଣଫଳ 192 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ମନେକର ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମରେ ଥିବା ପଦତ୍ରୟ ହେଉଛି $a-d$ , $a$ , ଏବଂ $a+d$

$\Rightarrow$ ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ ପଦତ୍ରୟର ଯୋଗଫଳ = 18

$\Rightarrow (a-d)+a+(a+d)=18$

$\Rightarrow 3a=18$

$\Rightarrow a=6$

$\Rightarrow$ ପଦତ୍ରୟର ଗୁଣଫଳ = 192

$\Rightarrow (a-d)\times a \times (a+d)=192$

$\Rightarrow a(a^{2}-d^{2})=192$

$\Rightarrow 6(6^{2}-d^{2})=192$

$\Rightarrow 36-d^{2}=\frac{192}{6}$

$\Rightarrow 36-d^{2}=32$

$\Rightarrow d^{2}=36-32=4$

$\Rightarrow d=\pm2$

$\Rightarrow$ ଯଦି $a=6$ ଓ $d=2$ ହୁଏ, ତେବେ ପଦତ୍ରୟ ହେବ: $6-2=4$ , $6$ , ଏବଂ $6+2=8$ (ଅର୍ଥାତ୍ 4, 6, 8)

ଯଦି $a=6$ ଓ $d=-2$ ହୁଏ, ତେବେ ପଦତ୍ରୟ ହେବ: 8, 6, 4

Question 12(ii)

ପ୍ରଶ୍ନ: ଏକ ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମରେ ଅବସ୍ଥିତ ଛଅଟି ପଦ ମଧ୍ଯରୁ ପ୍ରାନ୍ତ ପଦଦ୍ବୟର ଯୋଗଫଳ 16 ଏବଂ ମଧ୍ଯ ପଦଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 63 ହେଲେ, ପଦଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ମନେକର ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମରେ ଥିବା ଛଅଟି ପଦ ହେଉଛି $a-5d$ , $a-3d$ , $a-d$ , $a+d$ , $a+3d$ , $a+5d$

$\Rightarrow$ ପ୍ରାନ୍ତ ପଦଦ୍ଵୟର ଯୋଗଫଳ = 16

$\Rightarrow (a-5d)+(a+5d)=16$

$\Rightarrow 2a=16$

$\Rightarrow a=8$

$\Rightarrow$ ମଧ୍ୟ ପଦଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ = 63

$\Rightarrow (a-d)(a+d)=63$

$\Rightarrow a^{2}-d^{2}=63$

$\Rightarrow 8^{2}-d^{2}=63$

$\Rightarrow 64-d^{2}=63$

$\Rightarrow d^{2}=64-63=1$

$\Rightarrow d=\pm1$

$\Rightarrow$ ଯଦି $a=8$ ଓ $d=1$ ହୁଏ, ତେବେ ପଦଗୁଡ଼ିକ ହେବ: 3, 5, 7, 9, 11, 13

$\Rightarrow$ ଯଦି $a=8$ ଓ $d=-1$ ହୁଏ, ତେବେ ପଦଗୁଡ଼ିକ ହେବ: 13, 11, 9, 7, 5, 3

Question 13

ପ୍ରଶ୍ନ: ଏକ ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମରେ ଅବସ୍ଥିତ ତିନୋଟି ପଦର ଯୋଗଫଳ 21 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ବର୍ଗର ଯୋଗଫଳ 155; ପଦଗୁଡ଼ିକ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ମନେକର ତିନୋଟି ପଦ ହେଉଛି $a-d$ , $a$ , $a+d$

$\Rightarrow$ ପଦତ୍ରୟର ଯୋଗଫଳ = 21

$\Rightarrow (a-d)+a+(a+d)=21$

$\Rightarrow 3a=21$

$\Rightarrow a=7$

$\Rightarrow$ ପଦମାନଙ୍କର ବର୍ଗର ଯୋଗଫଳ = 155

$\Rightarrow (a-d)^{2}+a^{2}+(a+d)^{2}=155$

$\Rightarrow a^{2}+2(a^{2}+d^{2})=155$

$\Rightarrow 7^{2}+2(7^{2}+d^{2})=155$

$\Rightarrow 49+2(49+d^{2})=155$

$\Rightarrow 2(49+d^{2})=155-49$

$\Rightarrow 2(49+d^{2})=106$

$\Rightarrow 49+d^{2}=53$

$\Rightarrow d^{2}=53-49=4$

$\Rightarrow d=\pm2$

$\Rightarrow$ ଯଦି $a=7$ ଓ $d=2$ ହୁଏ, ପଦତ୍ରୟ ହେବ: 5, 7, 9

$\Rightarrow$ ଯଦି $a=7$ ଓ $d=-2$ ହୁଏ, ପଦତ୍ରୟ ହେବ: 9, 7, 5

Question 14

ପ୍ରଶ୍ନ: ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏକ ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମରେ ଥିଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ସେମାନଙ୍କର ଅନୁପାତ 3:4:5 ହେବ ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ମନେକର ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $a-d$ , $a$ , $a+d$

$\Rightarrow$ ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ (ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ କର୍ଣ୍ଣ ଅଟେ):

$\Rightarrow (a-d)^{2}+a^{2}=(a+d)^{2}$

$\Rightarrow a^{2} = (a+d)^{2}-(a-d)^{2}$

$\Rightarrow a^{2} = 4ad$ (ବୀଜଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ)

$\Rightarrow a=4d$

$\Rightarrow$ ବର୍ତ୍ତମାନ ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେବ:

$\Rightarrow a-d = 4d-d = 3d$

$\Rightarrow a = 4d$

$\Rightarrow a+d = 4d+d = 5d$

$\Rightarrow$ ସେମାନଙ୍କର ଅନୁପାତ $= 3d : 4d : 5d = 3:4:5$ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15

ପ୍ରଶ୍ନ: 100 ରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଏବଂ 5 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ 100 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର 5 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 5, 10, 15, …, 95

$\Rightarrow$ ମନେକର ଏହି ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ $S$

$\Rightarrow S = 5+10+15+........+95$

$\Rightarrow$ ଏଠାରେ ପ୍ରଥମ ପଦ $a=5$

$\Rightarrow$ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=5$

$\Rightarrow$ ପଦ ସଂଖ୍ୟା $n=\frac{95}{5}=19$

$\Rightarrow S_{n}=\frac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$

$\Rightarrow S_{19}=\frac{19}{2}\{2\times5+(19-1)5\}$

$\Rightarrow S_{19}=\frac{19}{2}(10+90)$

$\Rightarrow S_{19}=\frac{19}{2}\times100$

$\Rightarrow S_{19}=19\times50$

$\Rightarrow S_{19}=950$

$\Rightarrow$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଯୋଗଫଳ = 950

Question 16

ପ୍ରଶ୍ନ: 200 ରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଓ 3 ଦ୍ବାରା ଅବିଭାଜ୍ୟ ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ମନେକର 1 ଠାରୁ 199 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ $S_{1}$

$\Rightarrow S_{1} = 1+2+3+........+199$

$\Rightarrow S_{1} = \frac{199\times200}{2} = 19900$

$\Rightarrow$ ବର୍ତ୍ତମାନ 200 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ $S_{2}$ ସ୍ଥିର କରିବା

$\Rightarrow S_{2} = 3+6+9+........+198$

$\Rightarrow$ ଏଠାରେ $a=3$ , $d=3$ , ଏବଂ ପଦ ସଂଖ୍ୟା $n=\frac{198}{3}=66$

$\Rightarrow S_{2} = \frac{66}{2}\{2\times3+(66-1)3\}$

$\Rightarrow S_{2} = 33\{6+195\}$

$\Rightarrow S_{2} = 33\times201 = 6633$

$\Rightarrow$ 3 ଦ୍ବାରା ଅବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ $S = S_{1}-S_{2}$

$\Rightarrow S = 19900-6633$

$\Rightarrow S = 13267$

Question 17

ପ୍ରଶ୍ନ: 15 କୁ ଏପରି 3 ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କର ଯେପରିକି ସେମାନେ ଏକ ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମରେ ରହିବେ ଓ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 120 ହେବ ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ମନେକର ସେହି 3 ଟି ଭାଗ ହେଉଛି $a-d$ , $a$ , $a+d$

$\Rightarrow$ ଏମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ = 15

$\Rightarrow (a-d)+a+(a+d)=15$

$\Rightarrow 3a=15$

$\Rightarrow a=5$

$\Rightarrow$ ଏମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ = 120

$\Rightarrow (a-d)\times a \times (a+d)=120$

$\Rightarrow a(a^{2}-d^{2})=120$

$\Rightarrow 5(5^{2}-d^{2})=120$

$\Rightarrow 25-d^{2}=\frac{120}{5}$

$\Rightarrow 25-d^{2}=24$

$\Rightarrow d^{2}=25-24=1$

$\Rightarrow d=\pm1$

$\Rightarrow$ ଯଦି $a=5$ ଓ $d=1$ ହୁଏ, ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେବ: 4, 5, 6

$\Rightarrow$ ଯଦି $a=5$ ଓ $d=-1$ ହୁଏ, ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେବ: 6, 5, 4

Question 18

ପ୍ରଶ୍ନ: A.P. ରେ ଥିବା ତିନୋଟି ପଦର ଯୋଗଫଳ 15 ଏବଂ ପ୍ରାନ୍ତ ପଦଦ୍ବୟର ବର୍ଗର ଯୋଗଫଳ 58 ହେଲେ ପଦତ୍ରୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ମନେକର A.P. ରେ ଥିବା ପଦ ତିନୋଟି $a-d$ , $a$ , $a+d$

$\Rightarrow$ ଯୋଗଫଳ = 15

$\Rightarrow (a-d)+a+(a+d)=15$

$\Rightarrow 3a=15$

$\Rightarrow a=5$

$\Rightarrow$ ପ୍ରାନ୍ତ ପଦଦ୍ବୟର ବର୍ଗର ଯୋଗଫଳ = 58

$\Rightarrow (a-d)^{2}+(a+d)^{2}=58$

$\Rightarrow 2(a^{2}+d^{2})=58$

$\Rightarrow a^{2}+d^{2}=\frac{58}{2}$

$\Rightarrow 5^{2}+d^{2}=29$

$\Rightarrow 25+d^{2}=29$

$\Rightarrow d^{2}=29-25=4$

$\Rightarrow d=\pm2$

$\Rightarrow$ ଯଦି $a=5$ ଓ $d=2$ ହୁଏ, ତେବେ ପଦତ୍ରୟ: 3, 5, 7

$\Rightarrow$ ଯଦି $a=5$ ଓ $d=-2$ ହୁଏ, ତେବେ ପଦତ୍ରୟ: 7, 5, 3

Question 19

ପ୍ରଶ୍ନ: A.P. ରେ ଥିବା ଚାରୋଟି ପଦ ମଧ୍ଯରୁ ପ୍ରାନ୍ତ ପଦ ଦ୍ବୟର ଯୋଗଫଳ 8 ଏବଂ ମଧ୍ୟ ପଦ ଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ 15 ହେଲେ ପଦଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ମନେକର A.P. ରେ ଥିବା ଚାରୋଟି ପଦ $a-3d$ , $a-d$ , $a+d$ , $a+3d$

$\Rightarrow$ ପ୍ରାନ୍ତ ପଦ ଦ୍ବୟର ଯୋଗଫଳ = 8

$\Rightarrow (a-3d)+(a+3d)=8$

$\Rightarrow 2a=8$

$\Rightarrow a=4$

$\Rightarrow$ ମଧ୍ୟ ପଦ ଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ = 15

$\Rightarrow (a-d)(a+d)=15$

$\Rightarrow a^{2}-d^{2}=15$

$\Rightarrow 4^{2}-d^{2}=15$

$\Rightarrow 16-d^{2}=15$

$\Rightarrow d^{2}=16-15=1$

$\Rightarrow d=\pm1$

$\Rightarrow$ ଯଦି $a=4$ ଓ $d=1$ ହୁଏ, ପଦଗୁଡ଼ିକ ହେବ: 1, 3, 5, 7

$\Rightarrow$ ଯଦି $a=4$ ଓ $d=-1$ ହୁଏ, ପଦଗୁଡ଼ିକ ହେବ: 7, 5, 3, 1

Question 20

ପ୍ରଶ୍ନ: A.P. ରେ ଥିବା ତିନୋଟି ରାଶିମାଳାର n ସଂଖ୍ୟକ ପଦମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି $S_{1}, S_{2}$ ଏବଂ $S_{3}$ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ରାଶିମାଳାର ପ୍ରଥମ ପଦ 1 ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ଯଥାକ୍ରମେ 1, 2, 3 ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, $S_{1}+S_{3}=2S_{2}$ ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ରାଶିମାଳାର ପ୍ରଥମ ପଦ $a=1$

$\Rightarrow$ ପ୍ରଥମ ରାଶିମାଳାର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=1$

$\Rightarrow S_{1}=\frac{n}{2}\{2(1)+(n-1)1\}=\frac{n(n+1)}{2}$

$\Rightarrow$ ଦ୍ବିତୀୟ ରାଶିମାଳାର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=2$

$\Rightarrow S_{2}=\frac{n}{2}\{2(1)+(n-1)2\}=n^{2}$

$\Rightarrow$ ତୃତୀୟ ରାଶିମାଳାର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d=3$

$\Rightarrow S_{3}=\frac{n}{2}\{2(1)+(n-1)3\}=\frac{n(3n-1)}{2}$

$\Rightarrow$ ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵ (L.H.S) $= S_{1}+S_{3}$

$\Rightarrow L.H.S = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(3n-1)}{2}$

$\Rightarrow L.H.S = \frac{n}{2}\{n+1+3n-1\}$

$\Rightarrow L.H.S = \frac{n}{2}(4n)$

$\Rightarrow L.H.S = 2n^{2}$

$\Rightarrow$ ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ଵ (R.H.S) $= 2S_{2} = 2(n^{2}) = 2n^{2}$

$\Rightarrow L.H.S = R.H.S$ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 21

ପ୍ରଶ୍ନ: ଏକ A.P. ର p-ତମ, q-ତମ ଏବଂ r-ତମ ପଦଗୁଡ଼ିକର ମାନ ଯଥାକ୍ରମେ a, b, c ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0$ ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ମନେକର A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦ $= x$ , ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $= d$

$\Rightarrow t_{p} = x+(p-1)d = a$ … (i)

$\Rightarrow t_{q} = x+(q-1)d = b$ … (ii)

$\Rightarrow t_{r} = x+(r-1)d = c$ … (iii)

$\Rightarrow$ ସମୀକରଣ (i) ରୁ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

$\Rightarrow x+(p-1)d - \{x+(q-1)d\} = a-b$

$\Rightarrow d(p-1-q+1) = a-b$

$\Rightarrow d(p-q) = a-b$

$\Rightarrow d = \frac{a-b}{p-q}$ … (iv)

$\Rightarrow$ ସେହିପରି ସମୀକରଣ (ii) ରୁ (iii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

$\Rightarrow d = \frac{b-c}{q-r}$ … (v)

$\Rightarrow$ ସମୀକରଣ (iv) ଓ (v) ରୁ ପାଇବା:

$\Rightarrow \frac{a-b}{p-q} = \frac{b-c}{q-r}$

$\Rightarrow (a-b)(q-r) = (b-c)(p-q)$

$\Rightarrow a(q-r)-b(q-r) = b(p-q)-c(p-q)$

$\Rightarrow a(q-r)-b(q-r)-b(p-q)+c(p-q) = 0$

$\Rightarrow a(q-r)-b(q-r+p-q)+c(p-q) = 0$

$\Rightarrow a(q-r)-b(p-r)+c(p-q) = 0$

$\Rightarrow a(q-r)+b(r-p)+c(p-q) = 0$ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 22

ପ୍ରଶ୍ନ: ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା a, b, c ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ରହିଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ତ୍ରୟ ମଧ୍ଯ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ରହିବେ । (i) $\frac{1}{bc}, \frac{1}{ca}, \frac{1}{ab}$ ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ପ୍ରଦତ୍ତ ଅଛି $a, b, c$ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ଅବସ୍ଥିତ

$\Rightarrow$ A.P. ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକୁ ଏକ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା $abc$ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ନୂତନ ପଦ ମଧ୍ୟ A.P. ରେ ରହିବ

$\Rightarrow \frac{a}{abc}, \frac{b}{abc}, \frac{c}{abc}$ ମଧ୍ୟ A.P. ରେ ରହିବେ

$\Rightarrow \frac{1}{bc}, \frac{1}{ca}, \frac{1}{ab}$ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ରହିବେ (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) $b+c, c+a, a+b$ ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ $a, b, c$ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ଅବସ୍ଥିତ

$\Rightarrow$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରୁ $(a+b+c)$ ବିୟୋଗ କଲେ: $a-(a+b+c), b-(a+b+c), c-(a+b+c)$ A.P. ରେ ରହିବେ

$\Rightarrow -(b+c), -(c+a), -(a+b)$ A.P. ରେ ରହିବେ

$\Rightarrow$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକୁ -1 ଦ୍ବାରା ଗୁଣିଲେ: $b+c, c+a, a+b$ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ରହିବେ (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) $b+c-a, c+a-b, a+b-c$ ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ $a, b, c$ A.P. ରେ ଅବସ୍ଥିତ

$\Rightarrow$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ 2 ଗୁଣନ କଲେ: $2a, 2b, 2c$ ମଧୁ A.P. ରେ ରହିବେ

$\Rightarrow$ ପ୍ରତ୍ୟେକରୁ $(a+b+c)$ ବିୟୋଗ କଲେ: $2a-(a+b+c), 2b-(a+b+c), 2c-(a+b+c)$ A.P ରେ ରହିବ

$\Rightarrow a-b-c, b-c-a, c-a-b$ A.P ରେ ରହିବ

$\Rightarrow$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ -1 ଗୁଣିଲେ: $b+c-a, c+a-b, a+b-c$ A.P. ରେ ରହିବେ (ପ୍ରମାଣିତ)

(iv) $\frac{1}{a}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}), \frac{1}{b}(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}), \frac{1}{c}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$ ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ $a, b, c$ A.P. ରେ ଅବସ୍ଥିତ

$\Rightarrow$ ପୂର୍ବ ପ୍ରମାଣ ଅନୁଯାୟୀ $b+c, c+a, a+b$ ମଧ୍ୟ A.P. ରେ ଅବସ୍ଥିତ

$\Rightarrow$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକୁ $abc$ ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ ଲବ୍ଧ ଅନୁକ୍ରମ A.P. ରେ ରହିବ

$\Rightarrow \frac{b+c}{abc}, \frac{c+a}{abc}, \frac{a+b}{abc}$ A.P. ରେ ରହିବେ

$\Rightarrow \frac{1}{a}(\frac{b+c}{bc}), \frac{1}{b}(\frac{c+a}{ac}), \frac{1}{c}(\frac{a+b}{ab})$ A.P. ରେ ରହିବେ

$\Rightarrow \frac{1}{a}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}), \frac{1}{b}(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}), \frac{1}{c}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$ A.P. ରେ ରହିବେ (ପ୍ରମାଣିତ)

(v) $a^{2}(b+c), b^{2}(c+a), c^{2}(a+b)$ ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ $a, b, c$ A.P. ରେ ଅବସ୍ଥିତ

$\Rightarrow$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ $(ab+bc+ca)$ ଗୁଣନ କଲେ ଗୁଣଫଳ A.P. ରେ ରହିବ

$\Rightarrow a(ab+bc+ca), b(ab+bc+ca), c(ab+bc+ca)$ A.P. ରେ ରହିବେ

$\Rightarrow a^{2}b+abc+ca^{2}, ab^{2}+b^{2}c+abc, abc+bc^{2}+c^{2}a$ A.P. ରେ ରହିବେ

$\Rightarrow$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରୁ $abc$ ବିୟୋଗ କଲେ ଲବ୍ଧ ଅନୁକ୍ରମ A.P. ରେ ରହିବ

$\Rightarrow a^{2}b+ca^{2}, ab^{2}+b^{2}c, bc^{2}+c^{2}a$ A.P. ରେ ରହିବେ

$\Rightarrow a^{2}(b+c), b^{2}(c+a), c^{2}(a+b)$ A.P. ରେ ରହିବେ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 23

(i) $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ A.P. ରେ ରହିଲେ ଏବଂ $a+b+c \neq 0$ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $\frac{b+c}{a}, \frac{c+a}{b}, \frac{a+b}{c}$ ମଧ୍ଯ A.P. ରେ ରହିବେ । ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ଦତ୍ତ ଅଛି $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ A.P. ରେ ଅବସ୍ଥିତ

$\Rightarrow$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ $(a+b+c)$ ଗୁଣନ କଲେ ନୂତନ ପଦ A.P. ରେ ରହିବ

$\Rightarrow \frac{a+b+c}{a}, \frac{a+b+c}{b}, \frac{a+b+c}{c}$ A.P. ରେ ରହିବେ

$\Rightarrow \frac{a}{a}+\frac{b+c}{a}, \frac{b}{b}+\frac{c+a}{b}, \frac{c}{c}+\frac{a+b}{c}$ A.P. ରେ ରହିବେ

$\Rightarrow 1+\frac{b+c}{a}, 1+\frac{c+a}{b}, 1+\frac{a+b}{c}$ A.P. ରେ ରହିବେ

$\Rightarrow$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରୁ 1 ବିୟୋଗ କଲେ: $\frac{b+c}{a}, \frac{c+a}{b}, \frac{a+b}{c}$ ମଧ୍ୟ A.P. ରେ ରହିବେ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 24

ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି କୌଣସି A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦ a ଏବଂ ଶେଷ ପଦ l ହୁଏ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଅନୁକ୍ରମର ପ୍ରଥମରୁ r-ତମ ପଦ ଏବଂ ଶେଷରୁ r-ତମ ପଦର ସମଷ୍ଟି, ପ୍ରଥମ ଓ ଶେଷ ପଦର ସମଷ୍ଟି ସହିତ ସମାନ ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ A.P. ର ପ୍ରଥମପଦ $= a$ , ଏବଂ ଶେଷ ପଦ $= l$

$\Rightarrow$ ମନେକର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $= d$

$\Rightarrow$ ପ୍ରଥମରୁ $r$ -ତମ ପଦ $= a+(r-1)d$

$\Rightarrow$ ଶେଷରୁ $r$ -ତମ ପଦ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ଶେଷ ପଦକୁ ପ୍ରଥମ ପଦ ନେଲେ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $-d$ ହେବ

$\Rightarrow$ ତେଣୁ ଶେଷରୁ $r$ -ତମ ପଦ $= l+(r-1)(-d) = l-(r-1)d$

$\Rightarrow$ ପ୍ରଥମରୁ $r$ -ତମ ପଦ ଓ ଶେଷରୁ $r$ -ତମ ପଦର ସମଷ୍ଟି $= \{a+(r-1)d\} + \{l-(r-1)d\}$

$\Rightarrow$ ସମଷ୍ଟି $= a+(r-1)d+l-(r-1)d$

$\Rightarrow$ ସମଷ୍ଟି $= a+l$

$\Rightarrow$ ଏହା ପ୍ରଥମ ଓ ଶେଷ ପଦର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ ଅଟେ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 25

ପ୍ରଶ୍ନ: ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର ପ୍ରଥମ p ସଂଖ୍ୟକ ପଦର ସମଷ୍ଟି r, ପ୍ରଥମ q ସଂଖ୍ୟକ ପଦର ସମଷ୍ଟି s ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର d ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, $\frac{r}{p}-\frac{s}{q} = (p-q)\frac{d}{2}$ ହେବ ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ମନେକର ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର ପ୍ରଥମ ପଦ $= a$

$\Rightarrow$ ପ୍ରଥମ $p$ -ସଂଖ୍ୟକ ପଦର ସମଷ୍ଟି $S_{p} = r$

$\Rightarrow \frac{p}{2}\{2a+(p-1)d\} = r$

$\Rightarrow 2a+(p-1)d = \frac{2r}{p}$ … (i)

$\Rightarrow$ ପ୍ରଥମ $q$ -ସଂଖ୍ୟକ ପଦର ସମଷ୍ଟି $S_{q} = s$

$\Rightarrow \frac{q}{2}\{2a+(q-1)d\} = s$

$\Rightarrow 2a+(q-1)d = \frac{2s}{q}$ … (ii)

$\Rightarrow$ ସମୀକରଣ (i) ରୁ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

$\Rightarrow \{2a+(p-1)d\} - \{2a+(q-1)d\} = \frac{2r}{p}-\frac{2s}{q}$

$\Rightarrow d(p-1-q+1) = 2(\frac{r}{p}-\frac{s}{q})$

$\Rightarrow d(p-q) = 2(\frac{r}{p}-\frac{s}{q})$

$\Rightarrow \frac{r}{p}-\frac{s}{q} = \frac{d}{2}(p-q)$ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 26

ପ୍ରଶ୍ନ: ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ଶ୍ରେଣୀର ପ୍ରଥମ p, q, r ସଂଖ୍ୟକ ପଦର ସମଷ୍ଟି a, b, c ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, $\frac{a}{p}(q-r)+\frac{b}{q}(r-p)+\frac{c}{r}(p-q)=0$ ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ମନେକର ସମାନ୍ତର ଶ୍ରେଣୀର ପ୍ରଥମ ପଦ $= x$ ଓ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $= d$

$\Rightarrow S_{p} = a \Rightarrow \frac{p}{2}\{2x+(p-1)d\} = a \Rightarrow 2x+(p-1)d = \frac{2a}{p}$ … (i)

$\Rightarrow S_{q} = b \Rightarrow \frac{q}{2}\{2x+(q-1)d\} = b \Rightarrow 2x+(q-1)d = \frac{2b}{q}$ … (ii)

$\Rightarrow S_{r} = c \Rightarrow \frac{r}{2}\{2x+(r-1)d\} = c \Rightarrow 2x+(r-1)d = \frac{2c}{r}$ … (iii)

$\Rightarrow$ ସମୀକରଣ (i) ରୁ (ii) ବିୟୋଗ କଲେ:

$\Rightarrow d(p-q) = \frac{2a}{p}-\frac{2b}{q}$

$\Rightarrow d = \frac{2(\frac{a}{p}-\frac{b}{q})}{p-q}$ … (iv)

$\Rightarrow$ ସେହିପରି ସମୀକରଣ (ii) ରୁ (iii) ବିୟୋଗ କଲେ:

$\Rightarrow d = \frac{2(\frac{b}{q}-\frac{c}{r})}{q-r}$ … (v)

$\Rightarrow$ ସମୀକରଣ (iv) ଓ (v) ରୁ:

$\Rightarrow \frac{2(\frac{a}{p}-\frac{b}{q})}{p-q} = \frac{2(\frac{b}{q}-\frac{c}{r})}{q-r}$

$\Rightarrow \frac{\frac{a}{p}-\frac{b}{q}}{p-q} = \frac{\frac{b}{q}-\frac{c}{r}}{q-r}$

$\Rightarrow (\frac{a}{p}-\frac{b}{q})(q-r) = (\frac{b}{q}-\frac{c}{r})(p-q)$

$\Rightarrow \frac{a}{p}(q-r)-\frac{b}{q}(q-r) = \frac{b}{q}(p-q)-\frac{c}{r}(p-q)$

$\Rightarrow \frac{a}{p}(q-r)-\frac{b}{q}(q-r)-\frac{b}{q}(p-q)+\frac{c}{r}(p-q) = 0$

$\Rightarrow \frac{a}{p}(q-r)-\frac{b}{q}(q-r+p-q)+\frac{c}{r}(p-q) = 0$

$\Rightarrow \frac{a}{p}(q-r)-\frac{b}{q}(p-r)+\frac{c}{r}(p-q) = 0$

$\Rightarrow \frac{a}{p}(q-r)+\frac{b}{q}(r-p)+\frac{c}{r}(p-q) = 0$ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 27

ପ୍ରଶ୍ନ: କୌଣସି A.P. ର $t_{p}=q$ , $t_{q}=p$ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $t_{m}=p+q-m$ ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ମନେକର A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦ $= a$ ଓ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $= d$

$\Rightarrow t_{p} = q \Rightarrow a+(p-1)d = q$ … (i)

$\Rightarrow t_{q} = p \Rightarrow a+(q-1)d = p$ … (ii)

$\Rightarrow$ ସମୀକରଣ (i) ରୁ (ii) ବିୟୋଗ କଲେ:

$\Rightarrow \{a+(p-1)d\} - \{a+(q-1)d\} = q-p$

$\Rightarrow d(p-1-q+1) = q-p$

$\Rightarrow d(p-q) = -(p-q)$

$\Rightarrow d = -1$

$\Rightarrow$ $d$ ର ମାନ (i) ରେ ବସାଇଲେ:

$\Rightarrow a+(p-1)(-1) = q$

$\Rightarrow a-p+1 = q$

$\Rightarrow a = p+q-1$

$\Rightarrow$ ବର୍ତ୍ତମାନ $m$ -ତମ ପଦ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା:

$\Rightarrow t_{m} = a+(m-1)d$

$\Rightarrow t_{m} = (p+q-1)+(m-1)(-1)$

$\Rightarrow t_{m} = p+q-1-m+1$

$\Rightarrow t_{m} = p+q-m$ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 28

ପ୍ରଶ୍ନ: କୌଣସି A.P. ର $S_{m}=n$ , $S_{n}=m$ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $S_{m+n}=-(m+n)$ ହେବ ।

ସମାଧାନ:

$\Rightarrow$ ମନେକର A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦ $= a$ , ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $= d$

$\Rightarrow S_{m} = n$

$\Rightarrow \frac{m}{2}\{2a+(m-1)d\} = n$

$\Rightarrow am+(m^{2}-m)\frac{d}{2} = n$ … (i)

$\Rightarrow S_{n} = m$

$\Rightarrow \frac{n}{2}\{2a+(n-1)d\} = m$

$\Rightarrow an+(n^{2}-n)\frac{d}{2} = m$ … (ii)

$\Rightarrow$ ସମୀକରଣ (i) ରୁ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

$\Rightarrow a(m-n)+\frac{d}{2}(m^{2}-m-n^{2}+n) = n-m$

$\Rightarrow a(m-n)+\frac{d}{2}\{(m^{2}-n^{2})-(m-n)\} = -(m-n)$

$\Rightarrow a(m-n)+\frac{d}{2}\{(m+n)(m-n)-(m-n)\} = -(m-n)$

$\Rightarrow a(m-n)+\frac{d}{2}(m-n)(m+n-1) = -(m-n)$

$\Rightarrow$ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ $(m-n)$ ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କଲେ:

$\Rightarrow a+\frac{d}{2}(m+n-1) = -1$

$\Rightarrow \frac{2a+(m+n-1)d}{2} = -1$

$\Rightarrow 2a+(m+n-1)d = -2$ … (iii)

$\Rightarrow$ ବର୍ତ୍ତମାନ $m+n$ ପଦର ସମଷ୍ଟି ସ୍ଥିର କରିବା:

$\Rightarrow S_{m+n} = \frac{m+n}{2}\{2a+(m+n-1)d\}$

$\Rightarrow$ ସମୀକରଣ (iii) ର ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$\Rightarrow S_{m+n} = \frac{m+n}{2}(-2)$

$\Rightarrow S_{m+n} = -(m+n)$ (ପ୍ରମାଣିତ)

Previous Chapter ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex-2(b) Next Chapter ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex-3(b)

WithTeachers

ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex-3(a) – Book Q A Class 10 ବୀଜଗଣିତ

📝 Question 1

📝 Question 2

📝 Question 3

📝 Question 4

📝 Question 5

📝 Question 6

📝 Question 7

Question 8

Question 9

Question 10

ପ୍ରଶ୍ନ (i): ‘ଓଲଟାଇ ମିଶାଇବା କୌଶଳରେ’ ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ପ୍ରଶ୍ନ (ii): 1,2,3,........1, 2, 3, ........1,2,3,........ ଅନୁକ୍ରମର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ପ୍ରଶ୍ନ (iii): 32 ଠାରୁ 85 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ପ୍ରଶ୍ନ (iv): 100 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ପ୍ରଶ୍ନ (v): 150 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ପ୍ରଶ୍ନ (ii): $1, 2, 3, ........$ ଅନୁକ୍ରମର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।