ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 1: $n$-ତମ ପଦ ($t_n$), ପ୍ରଥମ ପଦ ($a$) ଓ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ($d$) ନିର୍ଣ୍ଣୟ

❓ 1. ଗୋଟିଏ A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦ 7 ଓ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର 3 ହେଲେ, ଏହାର 15-ତମ ପଦ କେତେ ?

❓ 2. $-2, -5, -8, ...$ ଅନୁକ୍ରମର 21-ତମ ପଦ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 3. କେଉଁ A.P. ର 11-ତମ ପଦ 38 ଏବଂ 16-ତମ ପଦ 73 ଅଟେ, ତାହାର 31-ତମ ପଦ କେତେ ?

❓ 4. ଗୋଟିଏ A.P. ର 3-ୟ ଏବଂ 9-ମ ପଦ ଯଥାକ୍ରମେ 4 ଏବଂ $-8$ ହେଲେ, ଏହାର କେଉଁ ପଦଟି ଶୂନ (0) ହେବ ?

❓ 5. ଦତ୍ତ ଅନୁକ୍ରମ $3, 8, 13, 18, ...$ ର କେଉଁ ପଦଟି 78 ଅଟେ ?

❓ 6. ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ?

❓ 7. 10 ଏବଂ 250 ମଧ୍ୟରେ 4 ର କେତୋଟି ଗୁଣିତକ ଅଛି ?

❓ 8. କୌଣସି A.P. ର $n$-ତମ ପଦ $5n-2$ ହେଲେ, ଏହାର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର କେତେ ?

❓ 9. ଯଦି କୌଣସି A.P. ର 7-ମ ପଦର 7 ଗୁଣ, ତାହାର 11-ମ ପଦର 11 ଗୁଣ ସହ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ 18-ତମ ପଦ କେତେ ହେବ ?

❓ 10. ଗୋଟିଏ A.P. ରେ ମୋଟ 50 ଟି ପଦ ଅଛି, ଯାହାର 3-ୟ ପଦ 12 ଏବଂ ଶେଷ ପଦ 106 । ଏହାର 29-ତମ ପଦ କେତେ ?

ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 2: $n$-ସଂଖ୍ୟକ ପଦର ସମଷ୍ଟି ($S_n$) ନିର୍ଣ୍ଣୟ

❓ 11. $2, 7, 12, ...$ ଅନୁକ୍ରମର ପ୍ରଥମ 10 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 12. $-37, -33, -29, ...$ ଅନୁକ୍ରମର ପ୍ରଥମ 12 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ ?

❓ 13. $34 + 32 + 30 + ... + 10$ ର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 14. $-5 + (-8) + (-11) + ... + (-230)$ ର ଯୋଗଫଳ କେତେ ହେବ ?

❓ 15. ଗୋଟିଏ A.P. ରେ $a = 5$, $d = 3$, $t_n = 50$ ହେଲେ, $n$ ଏବଂ $S_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 16. କୌଣସି A.P. ର ପ୍ରଥମ 14 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 1050 ଏବଂ ପ୍ରଥମ ପଦ 10 ହେଲେ, 20-ତମ ପଦ କେତେ ?

❓ 17. $9, 17, 25, ...$ A.P. ର କେତୋଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 636 ହେବ ?

❓ 18. ଗୋଟିଏ A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦ 5, ଶେଷ ପଦ 45 ଏବଂ ସମଷ୍ଟି 400 ହେଲେ, ପଦ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 19. କୌଣସି A.P. ର ପ୍ରଥମ 22 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହାର $d = 7$ ଏବଂ 22-ତମ ପଦ 149 ।

❓ 20. ଯଦି କୌଣସି A.P. ର ପ୍ରଥମ $n$ ପଦର ସମଷ୍ଟି $4n - n^2$ ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର 10-ମ ପଦ କେତେ ?

ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 3: ସର୍ତ୍ତମୂଳକ ଏବଂ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ନିର୍ଣ୍ଣୟ

❓ 21. ଯଦି $2x, x+10, 3x+2$ ଗୋଟିଏ A.P. ରେ ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ $x$ ର ମାନ କେତେ ?

❓ 22. $k$ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $k+9, 2k-1$ ଏବଂ $2k+7$ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ରହିବେ ?

❓ 23. ଗୋଟିଏ A.P. ରେ ଥିବା ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ 24 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 440 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 24. A.P. ରେ ଥିବା ତିନୋଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 21 ଏବଂ ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟ ପଦର ଗୁଣଫଳ ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦଠାରୁ 6 ଅଧିକ ହେଲେ, ପଦଗୁଡ଼ିକ କେତେ ?

❓ 25. ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରୋଟି କୋଣ A.P. ରେ ଅଛନ୍ତି । ଯଦି ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $10^\circ$ ହୁଏ, ତେବେ କୋଣଗୁଡ଼ିକ କେତେ ?

❓ 26. 207 କୁ ଏପରି ତିନି ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କର ଯାହା A.P. ରେ ରହିବ ଏବଂ ଦୁଇଟି କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଭାଗର ଗୁଣଫଳ 4623 ହେବ ।

❓ 27. 32 କୁ ଏପରି ଚାରି ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କର ଯାହା A.P. ରେ ଥିବ ଏବଂ ପ୍ରାନ୍ତ ପଦଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳ ତଥା ମଧ୍ୟ ପଦଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳର ଅନୁପାତ $7:15$ ହେବ ।

❓ 28. ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁତ୍ରୟ A.P. ରେ ଅଛନ୍ତି । ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 24 ବର୍ଗ ଏକକ ହେଲେ, ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

❓ 29. ଯଦି $a, b, c$ A.P. ରେ ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ $4a, 4b, 4c$ କେଉଁ ପ୍ରଗତିରେ ରହିବେ ଏବଂ ଏହାର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର କ’ଣ ହେବ ?

❓ 30. ଯଦି $\frac{1}{x+y}, \frac{1}{y+z}, \frac{1}{z+x}$ A.P. ରେ ରହନ୍ତି, ତେବେ $x^2, y^2, z^2$ ମଧ୍ୟରେ କି ସମ୍ପର୍କ ଅଛି ?

ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 4: ଅନୁପାତ ଏବଂ ମିଶ୍ରିତ ସୂତ୍ରର ପ୍ରୟୋଗ

❓ 31. ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ A.P. ର ପ୍ରଥମ $n$ ପଦର ସମଷ୍ଟିର ଅନୁପାତ $(7n+1) : (4n+27)$ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର 9-ମ ପଦର ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 32. ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର $n$-ତମ ପଦର ଅନୁପାତ $(2n+3) : (6n+5)$ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରଥମ 13 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟିର ଅନୁପାତ କେତେ ?

❓ 33. କୌଣସି A.P. ର ପ୍ରଥମ $p$ ପଦର ସମଷ୍ଟି $q$ ଏବଂ ପ୍ରଥମ $q$ ପଦର ସମଷ୍ଟି $p$ ହେଲେ, ପ୍ରଥମ $(p+q)$ ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ ?

❓ 34. ଗୋଟିଏ A.P. ରେ $S_n = 3n^2 + 5n$ ଏବଂ ଏହାର $k$-ତମ ପଦ 164 ହେଲେ, $k$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 35. ଯଦି ଏକ A.P. ର $m$-ତମ ପଦ $\frac{1}{n}$ ଏବଂ $n$-ତମ ପଦ $\frac{1}{m}$ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $(mn)$-ତମ ପଦ 1 ହେବ ।

❓ 36. କୌଣସି A.P. ରେ $t_p = a, t_q = b, t_r = c$ ହେଲେ $a(q-r) + b(r-p) + c(p-q)$ ର ମାନ କେତେ ?

❓ 37. କୌଣସି A.P. ର ପ୍ରଥମ 7 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 49 ଏବଂ ପ୍ରଥମ 17 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 289 ହେଲେ, ପ୍ରଥମ $n$ ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ ହେବ ?

❓ 38. A.P. ରେ ଥିବା 5 ଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି 25 ଓ ସେମାନଙ୍କ ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 135 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ କେତେ ?

❓ 39. ଗୋଟିଏ A.P. ର 4-ର୍ଥ ପଦ 11 । ଏହାର 5-ମ ଏବଂ 7-ମ ପଦର ସମଷ୍ଟି 34 ହେଲେ, ଏହାର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର କେତେ ?

❓ 40. କୌଣସି A.P. ର ପଦ ସଂଖ୍ୟା ଅଯୁଗ୍ମ । ଏହାର ଠିକ୍ ମଧ୍ୟ ପଦଟି $m$ ହେଲେ, ସମସ୍ତ $2n+1$ ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ ହେବ ?

ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 5: ବିଭାଜ୍ୟତା ଏବଂ ପ୍ରାୟୋଗିକ ଗଣିତ

❓ 41. 100 ରୁ 500 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମସ୍ତ 8 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ କେତେ ?

❓ 42. ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ 7 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କଲେ ଭାଗଶେଷ 3 ରହିବ ? ସେମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 43. 1 ଏବଂ 100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 2 କିମ୍ବା 5 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହଁନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି କେତେ ?

❓ 44. କେଉଁ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର $n$-ତମ ପଦ $9-5n$ ଅଟେ, ତାହାର ପ୍ରଥମ 15 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ ହେବ ?

❓ 45. ଗୋଟିଏ ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ଅଛନ୍ତି । ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ କୋଣଟି $120^\circ$ ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $5^\circ$ ହେଲେ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 46. ଗୋଟିଏ କାର୍ଯ୍ୟକୁ ସମାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ ଶ୍ରମିକମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରତିଦିନ 4 ଜଣ ଲେଖାଏଁ କମିଯାଏ । ଯଦି କାର୍ଯ୍ୟଟି 15 ଦିନ ବଦଳରେ 17 ଦିନରେ ଶେଷ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରଥମ ଦିନ କେତେଜଣ ଶ୍ରମିକ ଥିଲେ ?

❓ 47. ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ପ୍ରଥମ ସପ୍ତାହରେ 5 ଟଙ୍କା ସଞ୍ଚୟ କଲେ ଏବଂ ତା’ପରେ ପ୍ରତି ସପ୍ତାହରେ ସଞ୍ଚୟ 1.75 ଟଙ୍କା ବୃଦ୍ଧି କଲେ । ଯଦି $n$-ତମ ସପ୍ତାହରେ ତାଙ୍କର ସଞ୍ଚୟ 20.75 ଟଙ୍କା ହୁଏ, ତେବେ $n$ ର ମାନ କେତେ ?

❓ 48. 1 ରୁ 200 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା 3 ଏବଂ 4 ଉଭୟ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ସମଷ୍ଟି କେତେ ?

❓ 49. ଏକ 11-ପଦ ବିଶିଷ୍ଟ A.P. ର ମଧ୍ୟ ପଦ 30 ହେଲେ, ଏହାର ସମସ୍ତ ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ?

❓ 50. ଯଦି ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର 5, ତେବେ $t_{18} - t_{13}$ ର ମାନ କେତେ ?

ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 6: A.P. ର ବିଶେଷ ନିୟମ ଓ ଗୁଣଧର୍ମ

❓ 51. ଯଦି $a, b, c$ A.P. ରେ ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $(a-c)^2 = 4(b^2 - ac)$ ।

❓ 52. ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି $8, 14, 20, 26, ...$ ର କେଉଁ ପଦ ତାହାର 41-ତମ ପଦ ଠାରୁ 72 ଅଧିକ ହେବ ?

❓ 53. ଯଦି $S_n = 3n^2 - 4n$ ହୁଏ, ତେବେ ଏହା ଏକ A.P. କି ନୁହେଁ ପରୀକ୍ଷା କର ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ଲେଖ ।

❓ 54. $-11, -8, -5, ... , 49$ ଅନୁକ୍ରମର ଶେଷରୁ 4-ର୍ଥ ପଦଟି କେତେ ?

❓ 55. ଗୋଟିଏ ଅନୁକ୍ରମର $t_n = n^2 + 1$ । ଏହା ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି ଗଠନ କରେ କି ? କାରଣ ଦର୍ଶାଅ ।

❓ 56. ଯଦି କୌଣସି A.P. ରେ $p$-ତମ ପଦ $q$ ଏବଂ $q$-ତମ ପଦ $p$ ହୁଏ, ତେବେ ତାହାର $(p+q)$-ତମ ପଦଟି କେତେ ହେବ ?

❓ 57. ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ଥିବା 3 ଟି କ୍ରମିକ ପଦର ସମଷ୍ଟି 33 ଏବଂ ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟର ଗୁଣଫଳ 117 ହେଲେ ପଦଗୁଡ଼ିକ କେତେ ?

❓ 58. ଗୋଟିଏ ପ୍ରେକ୍ଷାଳୟରେ ପ୍ରଥମ ଧାଡ଼ିରେ 20 ଟି ସିଟ୍ ଅଛି, ଦ୍ୱିତୀୟ ଧାଡ଼ିରେ 22 ଟି, ତୃତୀୟ ଧାଡ଼ିରେ 24 ଟି ଇତ୍ୟାଦି । ମୋଟ 30 ଟି ଧାଡ଼ି ଥିଲେ ସେଥିରେ ମୋଟ କେତୋଟି ସିଟ୍ ଅଛି ?

❓ 59. ଯଦି A.P. ର 8-ମ ପଦ 31 ଏବଂ 15-ତମ ପଦ 11-ତମ ପଦଠାରୁ 16 ଅଧିକ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରଗତିଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 60. ଏକ A.P. ରେ $t_1 + t_5 + t_{10} + t_{15} + t_{20} + t_{24} = 225$ ହେଲେ, ଏହାର ପ୍ରଥମ 24 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ ?

ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 7: ଉଚ୍ଚତର ଏବଂ ଜଟିଳ ପ୍ରୟୋଗ (Advanced Applications)

❓ 61. ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକ A.P. ରେ ଅଛନ୍ତି ଏବଂ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ କୋଣଟି ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ କୋଣର ଦ୍ୱିଗୁଣ । ତେବେ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ କେତେ ?

❓ 62. 100 ଟି ପଦ ଥିବା ଦୁଇଟି A.P. ର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ସମାନ । ଯଦି ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରଥମ ପଦର ଅନ୍ତର 100 ହୁଏ, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର 100-ତମ ପଦର ଅନ୍ତର କେତେ ହେବ ?

❓ 63. ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା 13 ଏବଂ 43 ମଧ୍ୟରେ 4 ଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ (A.M.) ସ୍ଥାପନ କର ।

❓ 64. ଯଦି $a, b, c$ A.P. ରେ ଥାଆନ୍ତି ତେବେ $(a-b)^2 + (b-c)^2$ ର ମୂଲ୍ୟ $d$ (ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର) ମାଧ୍ୟମରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 65. 24 କୁ ଏପରି 3 ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କର ଯେପରିକି ସେମାନେ A.P. ରେ ରହିବେ ଏବଂ ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟର ଗୁଣଫଳ 48 ହେବ ।

❓ 66. ଯଦି ତିନୋଟି ପଦ $\frac{a-b}{a+b}, \frac{a}{a+b}, \frac{a+b}{a+b}$ ଏକ ଅନୁକ୍ରମରେ ଅଛନ୍ତି, ତେବେ ଏହା ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି କି ? ଯଦି ହଁ, ଏହାର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର କେତେ ?

❓ 67. ଗୋଟିଏ ଲଗ୍ (logarithm) ଶ୍ରେଣୀ: $\log a, \log(ab), \log(ab^2), ...$ ଏହା କି ପ୍ରକାର ପ୍ରଗତି ଅଟେ ଏବଂ ଏହାର $n$-ତମ ପଦ କେତେ ?

❓ 68. ଏକ A.P. ର ପ୍ରଥମ $n, 2n$ ଏବଂ $3n$ ପଦଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ଯଥାକ୍ରମେ $S_1, S_2$ ଏବଂ $S_3$ ହେଲେ, $S_3$ ଏବଂ $(S_2 - S_1)$ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ସ୍ଥାପନ କର ।

❓ 69. A.P. ରେ ଥିବା ତିନୋଟି ରାଶିର ଯୋଗଫଳ ଶୂନ ଏବଂ ବର୍ଗମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 50 ହେଲେ ପଦଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 70. ଯଦି ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର $S_{10} = -150$ ଏବଂ ପରବର୍ତ୍ତୀ 10 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି $-550$ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରଗତିଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 8: ବାସ୍ତବ ଜୀବନର ଉଦାହରଣ ଏବଂ ବିବିଧ ସମସ୍ୟା

❓ 71. 3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କିନ୍ତୁ 5 ଦ୍ଵାରା ନୁହେଁ ?

❓ 72. ଗୋଟିଏ ବଗିଚାରେ ପ୍ରଥମ ଧାଡ଼ିରେ 51 ଟି ଫୁଲ ଗଛ ଅଛି, ଦ୍ୱିତୀୟ ଧାଡ଼ିରେ 48, ତୃତୀୟ ଧାଡ଼ିରେ 45… ଏବଂ ଶେଷ ଧାଡ଼ିରେ 3 ଟି ଗଛ ଅଛି । ତେବେ ବଗିଚାରେ ମୋଟ କେତୋଟି ଧାଡ଼ି ଅଛି ?

❓ 73. ଗୋଟିଏ ମାସର ତୃତୀୟ ଦିନ ତାପମାତ୍ରା $25^\circ \text{C}$ ଏବଂ ସପ୍ତମ ଦିନ $33^\circ \text{C}$ । ଯଦି ତାପମାତ୍ରା ଦୈନିକ A.P. ରେ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଥାଏ, ତେବେ 15-ତମ ଦିନ ତାପମାତ୍ରା କେତେ ହେବ ?

❓ 74. ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ $S_p = q$ ଏବଂ $S_q = p$ ହେଲେ, $S_{p+q}$ ର ସମଷ୍ଟି କେତେ ହେବ ?

❓ 75. ଯଦି କୌଣସି A.P. ର 5-ମ ପଦ 19 ଏବଂ 8-ମ ପଦର ତିନିଗୁଣ 12-ତମ ପଦଠାରୁ 2 ଅଧିକ, ତେବେ ସେହି A.P. ଟି ଲେଖ ।

❓ 76. 4 ଏବଂ 34 ମଧ୍ୟରେ ଏପରି କେତୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ (A.M.) ରଖାଯାଇପାରିବ ଯେପରିକି ପ୍ରଥମ ମଧ୍ୟକ ଏବଂ ଶେଷ ମଧ୍ୟକର ଅନୁପାତ 1:4 ହେବ ?

❓ 77. ଗୋଟିଏ A.P. ର ପ୍ରଥମ 4 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 56 ଏବଂ ଶେଷ 4 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 112 । ଯଦି ଏହାର ପ୍ରଥମ ପଦ 11 ହୁଏ, ତେବେ ମୋଟ ପଦ ସଂଖ୍ୟା କେତେ ?

❓ 78. ଯଦି $\frac{a^n + b^n}{a^{n-1} + b^{n-1}}$, $a$ ଏବଂ $b$ ର ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ (A.M.) ହୁଏ, ତେବେ $n$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 79. ଦୁଇଟି A.P. ର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ଯଥାକ୍ରମେ 2 ଏବଂ 3 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରଥମ ପଦ ଯଥାକ୍ରମେ 5 ଏବଂ 3 । ଉଭୟ ପ୍ରଗତିରେ ମୋଟ କେତୋଟି ସାଧାରଣ (common) ପଦ ରହିବ ଯଦି ଉଭୟରେ 50 ଟି ଲେଖାଏଁ ପଦ ଥାଏ ?

❓ 80. 100 ରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ଏବଂ ଅଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳର ଅନ୍ତର କେତେ ହେବ ?

80 ଟି ନୂତନ ଏବଂ ବିଭିନ୍ନ ଢାଞ୍ଚାର ପ୍ରଶ୍ନକୁ ସେମାନଙ୍କର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ସମାଧାନ ଏବଂ ଉତ୍ତର ସହିତ ସଜାଇ ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦାନ କରାଗଲା:

ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 1: $n$-ତମ ପଦ ($t_n$), ପ୍ରଥମ ପଦ ($a$) ଓ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ($d$) ନିର୍ଣ୍ଣୟ

❓ 1. ଗୋଟିଏ A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦ 7 ଓ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର 3 ହେଲେ, ଏହାର 15-ତମ ପଦ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 49

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_{15} = 7 + 14(3) = 7 + 42 = 49$

❓ 2. $-2, -5, -8, ...$ ଅନୁକ୍ରମର 21-ତମ ପଦ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: -62

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $a = -2, d = -3 \Rightarrow t_{21} = -2 + 20(-3) = -2 - 60 = -62$

❓ 3. କେଉଁ A.P. ର 11-ତମ ପଦ 38 ଏବଂ 16-ତମ ପଦ 73 ଅଟେ, ତାହାର 31-ତମ ପଦ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 178

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $a+10d=38, a+15d=73 \Rightarrow 5d=35 \Rightarrow d=7, a=-32$ । $t_{31} = -32 + 30(7) = 178$

❓ 4. ଗୋଟିଏ A.P. ର 3-ୟ ଏବଂ 9-ମ ପଦ ଯଥାକ୍ରମେ 4 ଏବଂ $-8$ ହେଲେ, ଏହାର କେଉଁ ପଦଟି ଶୂନ (0) ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: 5-ମ ପଦ

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $a+2d=4, a+8d=-8 \Rightarrow 6d=-12 \Rightarrow d=-2, a=8$ । $8+(n-1)(-2)=0 \Rightarrow n=5$

❓ 5. ଦତ୍ତ ଅନୁକ୍ରମ 3, 8, 13, 18, … ର କେଉଁ ପଦଟି 78 ଅଟେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 16-ତମ

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $a=3, d=5 \Rightarrow 3+(n-1)5 = 78 \Rightarrow 5(n-1)=75 \Rightarrow n=16$

❓ 6. ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ?

✅ ଉତ୍ତର: 30

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଅନୁକ୍ରମ: 12, 15, …, 99 । $12+(n-1)3 = 99 \Rightarrow 3(n-1)=87 \Rightarrow n=30$

❓ 7. 10 ଏବଂ 250 ମଧ୍ୟରେ 4 ର କେତୋଟି ଗୁଣିତକ ଅଛି ?

✅ ଉତ୍ତର: 60

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଅନୁକ୍ରମ: 12, 16, …, 248 । $12+(n-1)4 = 248 \Rightarrow 4(n-1)=236 \Rightarrow n=60$

❓ 8. କୌଣସି A.P. ର $n$-ତମ ପଦ $5n-2$ ହେଲେ, ଏହାର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 5

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_1=3, t_2=8 \Rightarrow d = 8-3 = 5$

❓ 9. ଯଦି କୌଣସି A.P. ର 7-ମ ପଦର 7 ଗୁଣ, ତାହାର 11-ମ ପଦର 11 ଗୁଣ ସହ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ 18-ତମ ପଦ କେତେ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: 0

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $7(a+6d) = 11(a+10d) \Rightarrow 7a+42d = 11a+110d \Rightarrow 4a+68d=0 \Rightarrow a+17d=0 \Rightarrow t_{18}=0$

❓ 10. ଗୋଟିଏ A.P. ରେ ମୋଟ 50 ଟି ପଦ ଅଛି, ଯାହାର 3-ୟ ପଦ 12 ଏବଂ ଶେଷ ପଦ 106 । ଏହାର 29-ତମ ପଦ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 64

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $a+2d=12, a+49d=106 \Rightarrow 47d=94 \Rightarrow d=2, a=8$ । $t_{29} = 8+28(2) = 64$

ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 2: $n$-ସଂଖ୍ୟକ ପଦର ସମଷ୍ଟି ($S_n$) ନିର୍ଣ୍ଣୟ

❓ 11. 2, 7, 12, … ଅନୁକ୍ରମର ପ୍ରଥମ 10 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: 245

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $S_{10} = \frac{10}{2}(2(2) + 9(5)) = 5(4+45) = 245$

❓ 12. -37, -33, -29, … ଅନୁକ୍ରମର ପ୍ରଥମ 12 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: -180

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $S_{12} = \frac{12}{2}(2(-37) + 11(4)) = 6(-74+44) = -180$

❓ 13. $34 + 32 + 30 + ... + 10$ ର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: 286

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $n = \frac{10-34}{-2} + 1 = 13$ । $S_{13} = \frac{13}{2}(34+10) = 13 \times 22 = 286$

❓ 14. $-5 + (-8) + (-11) + ... + (-230)$ ର ଯୋଗଫଳ କେତେ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: -8930

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $n = \frac{-230 - (-5)}{-3} + 1 = 76$ । $S_{76} = 38(-5 - 230) = -8930$

❓ 15. ଗୋଟିଏ A.P. ରେ $a = 5$, $d = 3$, $t_n = 50$ ହେଲେ, $n$ ଏବଂ $S_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: $n=16, S_{16}=440$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $5+(n-1)3=50 \Rightarrow n=16$ । $S_{16} = \frac{16}{2}(5+50) = 8 \times 55 = 440$

❓ 16. କୌଣସି A.P. ର ପ୍ରଥମ 14 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 1050 ଏବଂ ପ୍ରଥମ ପଦ 10 ହେଲେ, 20-ତମ ପଦ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 200

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $\frac{14}{2}(20+13d) = 1050 \Rightarrow 20+13d=150 \Rightarrow d=10$ । $t_{20} = 10+19(10) = 200$

❓ 17. 9, 17, 25, … A.P. ର କେତୋଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 636 ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: 12

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $\frac{n}{2}(18+(n-1)8)=636 \Rightarrow n(9+4n-4)=636 \Rightarrow 4n^2+5n-636=0 \Rightarrow n=12$

❓ 18. ଗୋଟିଏ A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦ 5, ଶେଷ ପଦ 45 ଏବଂ ସମଷ୍ଟି 400 ହେଲେ, ପଦ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: $n=16, d=8/3$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $\frac{n}{2}(5+45)=400 \Rightarrow 25n=400 \Rightarrow n=16$ । $5+15d=45 \Rightarrow d=40/15=8/3$

❓ 19. କୌଣସି A.P. ର ପ୍ରଥମ 22 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହାର $d = 7$ ଏବଂ 22-ତମ ପଦ 149 ।

✅ ଉତ୍ତର: 1661

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $a+21(7)=149 \Rightarrow a=2$ । $S_{22} = 11(2+149) = 1661$

❓ 20. ଯଦି କୌଣସି A.P. ର ପ୍ରଥମ $n$ ପଦର ସମଷ୍ଟି $4n - n^2$ ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର 10-ମ ପଦ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: -15

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_{10} = S_{10} - S_9 = (40-100) - (36-81) = -60 - (-45) = -15$

ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 3: ସର୍ତ୍ତମୂଳକ ଏବଂ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ନିର୍ଣ୍ଣୟ

❓ 21. ଯଦି $2x, x+10, 3x+2$ ଗୋଟିଏ A.P. ରେ ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ $x$ ର ମାନ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 6

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $2(x+10) = 2x+3x+2 \Rightarrow 2x+20 = 5x+2 \Rightarrow 3x=18 \Rightarrow x=6$

❓ 22. $k$ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $k+9, 2k-1$ ଏବଂ $2k+7$ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ରହିବେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 18

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $2(2k-1) = k+9+2k+7 \Rightarrow 4k-2 = 3k+16 \Rightarrow k=18$

❓ 23. ଗୋଟିଏ A.P. ରେ ଥିବା ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ 24 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 440 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: 5, 8, 11 ବା 11, 8, 5

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $3a=24 \Rightarrow a=8$ । $(8-d)8(8+d)=440 \Rightarrow 64-d^2=55 \Rightarrow d=\pm3$

❓ 24. A.P. ରେ ଥିବା ତିନୋଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 21 ଏବଂ ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟ ପଦର ଗୁଣଫଳ ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦଠାରୁ 6 ଅଧିକ ହେଲେ, ପଦଗୁଡ଼ିକ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 1, 7, 13 ବା 13, 7, 1

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $3a=21 \Rightarrow a=7$ । $(7-d)(7+d)=7+6 \Rightarrow 49-d^2=13 \Rightarrow d=\pm6$

❓ 25. ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରୋଟି କୋଣ A.P. ରେ ଅଛନ୍ତି । ଯଦି ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $10^\circ$ ହୁଏ, ତେବେ କୋଣଗୁଡ଼ିକ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: $75^\circ, 85^\circ, 95^\circ, 105^\circ$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $a+(a+10)+(a+20)+(a+30)=360 \Rightarrow 4a+60=360 \Rightarrow 4a=300 \Rightarrow a=75$

❓ 26. 207 କୁ ଏପରି ତିନି ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କର ଯାହା A.P. ରେ ରହିବ ଏବଂ ଦୁଇଟି କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଭାଗର ଗୁଣଫଳ 4623 ହେବ ।

✅ ଉତ୍ତର: 67, 69, 71

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $3a=207 \Rightarrow a=69$ । $(69-d)69=4623 \Rightarrow 69-d=67 \Rightarrow d=2$

❓ 27. 32 କୁ ଏପରି ଚାରି ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କର ଯାହା A.P. ରେ ଥିବ ଏବଂ ପ୍ରାନ୍ତ ପଦଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳ ତଥା ମଧ୍ୟ ପଦଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳର ଅନୁପାତ $7:15$ ହେବ ।

✅ ଉତ୍ତର: 2, 6, 10, 14

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=32 \Rightarrow a=8$ । $(64-9d^2)/(64-d^2)=7/15 \Rightarrow d^2=4 \Rightarrow d=2$

❓ 28. ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁତ୍ରୟ A.P. ରେ ଅଛନ୍ତି । ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 24 ବର୍ଗ ଏକକ ହେଲେ, ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 6, 8, 10

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ବାହୁଗୁଡ଼ିକ $3x, 4x, 5x$ ଫର୍ମାଟରେ ଥାଏ। $\frac{1}{2}(3x)(4x)=24 \Rightarrow 6x^2=24 \Rightarrow x=2$

❓ 29. ଯଦି $a, b, c$ A.P. ରେ ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ $4a, 4b, 4c$ କେଉଁ ପ୍ରଗତିରେ ରହିବେ ଏବଂ ଏହାର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର କ’ଣ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: A.P. ରେ ରହିବେ, ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର = $4d$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ସମାନ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଣନ କଲେ ନୂତନ ଅନୁକ୍ରମ ମଧ୍ୟ A.P. ରେ ରହେ। $4b-4a = 4(b-a) = 4d$

❓ 30. ଯଦି $\frac{1}{x+y}, \frac{1}{y+z}, \frac{1}{z+x}$ A.P. ରେ ରହନ୍ତି, ତେବେ $x^2, y^2, z^2$ ମଧ୍ୟରେ କି ସମ୍ପର୍କ ଅଛି ?

✅ ଉତ୍ତର: ସେମାନେ ମଧ୍ୟ A.P. ରେ ଅଛନ୍ତି

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $\frac{1}{y+z} - \frac{1}{x+y} = \frac{1}{z+x} - \frac{1}{y+z} \Rightarrow x^2-z^2 = y^2-x^2 \Rightarrow 2x^2 = y^2+z^2$

ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 4: ଅନୁପାତ ଏବଂ ମିଶ୍ରିତ ସୂତ୍ରର ପ୍ରୟୋଗ

❓ 31. ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ A.P. ର ପ୍ରଥମ $n$ ପଦର ସମଷ୍ଟିର ଅନୁପାତ $(7n+1) : (4n+27)$ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର 9-ମ ପଦର ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: 24:19

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $n$ ସ୍ଥାନରେ $2(9)-1=17$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{7(17)+1}{4(17)+27} = \frac{120}{95} = \frac{24}{19}$

❓ 32. ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର $n$-ତମ ପଦର ଅନୁପାତ $(2n+3) : (6n+5)$ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରଥମ 13 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟିର ଅନୁପାତ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 17:47

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $n$ ସ୍ଥାନରେ $\frac{13+1}{2}=7$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $\frac{2(7)+3}{6(7)+5} = \frac{17}{47}$

❓ 33. କୌଣସି A.P. ର ପ୍ରଥମ $p$ ପଦର ସମଷ୍ଟି $q$ ଏବଂ ପ୍ରଥମ $q$ ପଦର ସମଷ୍ଟି $p$ ହେଲେ, ପ୍ରଥମ $(p+q)$ ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: $-(p+q)$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ $S_p=q$ ଓ $S_q=p$ ହେଲେ $S_{p+q} = -(p+q)$ ହୁଏ।

❓ 34. ଗୋଟିଏ A.P. ରେ $S_n = 3n^2 + 5n$ ଏବଂ ଏହାର $k$-ତମ ପଦ 164 ହେଲେ, $k$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: 27

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_n = S_n - S_{n-1} = 6n+2$ । $6k+2=164 \Rightarrow 6k=162 \Rightarrow k=27$

❓ 35. ଯଦି ଏକ A.P. ର $m$-ତମ ପଦ $\frac{1}{n}$ ଏବଂ $n$-ତମ ପଦ $\frac{1}{m}$ ହୁଏ, ତେବେ $(mn)$-ତମ ପଦ କେତେ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: 1

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $d = \frac{1/n - 1/m}{m-n} = \frac{1}{mn}, a = \frac{1}{mn}$ । $t_{mn} = \frac{1}{mn} + (mn-1)\frac{1}{mn} = 1$

❓ 36. କୌଣସି A.P. ରେ $t_p = a, t_q = b, t_r = c$ ହେଲେ $a(q-r) + b(r-p) + c(p-q)$ ର ମାନ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 0

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଏହା ଏକ ପ୍ରମାଣିତ ସୂତ୍ର, ଯାହାର ମୂଲ୍ୟ ସର୍ବଦା ଶୂନ (0) ହୋଇଥାଏ।

❓ 37. କୌଣସି A.P. ର ପ୍ରଥମ 7 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 49 ଏବଂ ପ୍ରଥମ 17 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 289 ହେଲେ, ପ୍ରଥମ $n$ ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: $n^2$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $S_7 = 7^2, S_{17} = 17^2$ ହେତୁ $S_n = n^2$ ଅଟେ ($a=1, d=2$) ।

❓ 38. A.P. ରେ ଥିବା 5 ଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି 25 ଓ ସେମାନଙ୍କ ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 135 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 3, 4, 5, 6, 7

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ମଧ୍ୟପଦ $a=5$। $(5-2d)^2+(5-d)^2+25+(5+d)^2+(5+2d)^2=135 \Rightarrow 125+10d^2=135 \Rightarrow d=1$

❓ 39. ଗୋଟିଏ A.P. ର 4-ର୍ଥ ପଦ 11 । ଏହାର 5-ମ ଏବଂ 7-ମ ପଦର ସମଷ୍ଟି 34 ହେଲେ, ଏହାର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 3

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $a+3d=11$ ଏବଂ $2a+10d=34 \Rightarrow a+5d=17$ । ଦୁଇଟିକୁ ବିୟୋଗ କଲେ $2d=6 \Rightarrow d=3$

❓ 40. କୌଣସି A.P. ର ପଦ ସଂଖ୍ୟା ଅଯୁଗ୍ମ । ଏହାର ଠିକ୍ ମଧ୍ୟ ପଦଟି $m$ ହେଲେ, ସମସ୍ତ $2n+1$ ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: $(2n+1)m$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଅଯୁଗ୍ମ ପଦ ସଂଖ୍ୟା ଥିଲେ: ସମଷ୍ଟି = (ମଧ୍ୟ ପଦ) $\times$ (ପଦ ସଂଖ୍ୟା)

ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 5: ବିଭାଜ୍ୟତା ଏବଂ ପ୍ରାୟୋଗିକ ଗଣିତ

❓ 41. 100 ରୁ 500 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମସ୍ତ 8 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 15000

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: 104, 112, …, 496 । $n=50$ । $S_{50} = \frac{50}{2}(104+496) = 25 \times 600 = 15000$

❓ 42. ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ 7 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କଲେ ଭାଗଶେଷ 3 ରହିବ ? ସେମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: 13 ଟି, ସମଷ୍ଟି 676

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: 10, 17, …, 94 । $n = \frac{94-10}{7}+1 = 13$ । $S_{13} = \frac{13}{2}(10+94) = 676$

❓ 43. 1 ଏବଂ 100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 2 କିମ୍ବା 5 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହଁନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 2000

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ମୋଟ ସମଷ୍ଟି(5050) - {2 ଦ୍ଵାରା (2550) + 5 ଦ୍ଵାରା (1050) - 10 ଦ୍ଵାରା (550)} = $5050 - 3050 = 2000$

❓ 44. କେଉଁ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର $n$-ତମ ପଦ $9-5n$ ଅଟେ, ତାହାର ପ୍ରଥମ 15 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: -465

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_1=4, t_{15}=9-75=-66$ । $S_{15} = \frac{15}{2}(4-66) = \frac{15}{2}(-62) = -465$

❓ 45. ଗୋଟିଏ ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ଅଛନ୍ତି । ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ କୋଣଟି $120^\circ$ ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $5^\circ$ ହେଲେ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: 9

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $\frac{n}{2}(240+(n-1)5) = (n-2)180 \Rightarrow n=9$ (16 ଗ୍ରହଣଯୋଗ୍ୟ ନୁହେଁ କାରଣ କୋଣ $180^\circ$ ରୁ ଅଧିକ ହେବ)

❓ 46. ଗୋଟିଏ କାର୍ଯ୍ୟକୁ ସମାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ ଶ୍ରମିକମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରତିଦିନ 4 ଜଣ ଲେଖାଏଁ କମିଯାଏ । ଯଦି କାର୍ଯ୍ୟଟି 15 ଦିନ ବଦଳରେ 17 ଦିନରେ ଶେଷ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରଥମ ଦିନ କେତେଜଣ ଶ୍ରମିକ ଥିଲେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 272

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $15x = \frac{17}{2}(2x + 16(-4)) \Rightarrow 30x = 34x - 1088 \Rightarrow 4x = 1088 \Rightarrow x=272$

❓ 47. ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ପ୍ରଥମ ସପ୍ତାହରେ 5 ଟଙ୍କା ସଞ୍ଚୟ କଲେ ଏବଂ ତା’ପରେ ପ୍ରତି ସପ୍ତାହରେ ସଞ୍ଚୟ 1.75 ଟଙ୍କା ବୃଦ୍ଧି କଲେ । ଯଦି $n$-ତମ ସପ୍ତାହରେ ତାଙ୍କର ସଞ୍ଚୟ 20.75 ଟଙ୍କା ହୁଏ, ତେବେ $n$ ର ମାନ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 10

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $5 + (n-1)1.75 = 20.75 \Rightarrow 1.75(n-1) = 15.75 \Rightarrow n-1 = 9 \Rightarrow n=10$

❓ 48. 1 ରୁ 200 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା 3 ଏବଂ 4 ଉଭୟ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ସମଷ୍ଟି କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 16 ଟି, ସମଷ୍ଟି 1632

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: 12 ର ଗୁଣିତକ (12, 24, …, 192)। $n=16$। $S_{16} = 8(12+192) = 1632$

❓ 49. ଏକ 11-ପଦ ବିଶିଷ୍ଟ A.P. ର ମଧ୍ୟ ପଦ 30 ହେଲେ, ଏହାର ସମସ୍ତ ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ?

✅ ଉତ୍ତର: 330

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ମଧ୍ୟ ପଦ (6-ଷ୍ଠ ପଦ) $a+5d = 30$ । $S_{11} = \frac{11}{2}(2a+10d) = 11(a+5d) = 11 \times 30 = 330$

❓ 50. ଯଦି ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର 5, ତେବେ $t_{18} - t_{13}$ ର ମାନ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 25

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_{18} - t_{13} = (18-13)d = 5d = 5(5) = 25$

ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 6: A.P. ର ବିଶେଷ ନିୟମ ଓ ଗୁଣଧର୍ମ

❓ 51. ଯଦି $a, b, c$ A.P. ରେ ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $(a-c)^2 = 4(b^2 - ac)$ ।

✅ ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣିତ

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $2b = a+c \Rightarrow (a-c)^2 = (a+c)^2 - 4ac = (2b)^2 - 4ac = 4b^2 - 4ac$

❓ 52. ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି $8, 14, 20, 26, ...$ ର କେଉଁ ପଦ ତାହାର 41-ତମ ପଦ ଠାରୁ 72 ଅଧିକ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: 53-ତମ ପଦ

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଅଧିକ ପଦ ସଂଖ୍ୟା = $\frac{72}{d} = \frac{72}{6} = 12$। ତେଣୁ $41+12 = 53$-ତମ ପଦ।

❓ 53. ଯଦି $S_n = 3n^2 - 4n$ ହୁଏ, ତେବେ ଏହା ଏକ A.P. କି ନୁହେଁ ପରୀକ୍ଷା କର ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ଲେଖ ।

✅ ଉତ୍ତର: ହଁ (A.P. ଅଟେ), $d=6$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $S_1=-1, S_2=4 \Rightarrow t_2=5 \Rightarrow d=5-(-1)=6$

❓ 54. $-11, -8, -5, ... , 49$ ଅନୁକ୍ରମର ଶେଷରୁ 4-ର୍ଥ ପଦଟି କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 40

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଶେଷରୁ ପଦ ପାଇଁ ସୂତ୍ର $l - (n-1)d = 49 - (4-1)3 = 49 - 9 = 40$

❓ 55. ଗୋଟିଏ ଅନୁକ୍ରମର $t_n = n^2 + 1$ । ଏହା ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି ଗଠନ କରେ କି ? କାରଣ ଦର୍ଶାଅ ।

✅ ଉତ୍ତର: ନା

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_1=2, t_2=5, t_3=10$। $5-2 \neq 10-5$ ($3 \neq 5$), ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ସମାନ ନୁହେଁ।

❓ 56. ଯଦି କୌଣସି A.P. ରେ $p$-ତମ ପଦ $q$ ଏବଂ $q$-ତମ ପଦ $p$ ହୁଏ, ତେବେ ତାହାର $(p+q)$-ତମ ପଦଟି କେତେ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: 0

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଏହି ସ୍ଥିତିରେ $d=-1$ ଏବଂ $a=p+q-1$ ହୁଏ, ତେଣୁ $t_{p+q} = a+(p+q-1)d = 0$

❓ 57. ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ଥିବା 3 ଟି କ୍ରମିକ ପଦର ସମଷ୍ଟି 33 ଏବଂ ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟର ଗୁଣଫଳ 117 ହେଲେ ପଦଗୁଡ଼ିକ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 9, 11, 13

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $3a=33 \Rightarrow a=11$ । $(11-d)(11+d)=117 \Rightarrow 121-d^2=117 \Rightarrow d=\pm2$

❓ 58. ଗୋଟିଏ ପ୍ରେକ୍ଷାଳୟରେ ପ୍ରଥମ ଧାଡ଼ିରେ 20 ଟି ସିଟ୍ ଅଛି, ଦ୍ୱିତୀୟ ଧାଡ଼ିରେ 22 ଟି, ତୃତୀୟ ଧାଡ଼ିରେ 24 ଟି ଇତ୍ୟାଦି । ମୋଟ 30 ଟି ଧାଡ଼ି ଥିଲେ ସେଥିରେ ମୋଟ କେତୋଟି ସିଟ୍ ଅଛି ?

✅ ଉତ୍ତର: 1470

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $S_{30} = \frac{30}{2}(2(20) + 29(2)) = 15(40+58) = 1470$

❓ 59. ଯଦି A.P. ର 8-ମ ପଦ 31 ଏବଂ 15-ତମ ପଦ 11-ତମ ପଦଠାରୁ 16 ଅଧିକ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରଗତିଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: 3, 7, 11, 15…

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_{15}-t_{11}=16 \Rightarrow 4d=16 \Rightarrow d=4$। $a+7(4)=31 \Rightarrow a=3$

❓ 60. ଏକ A.P. ରେ $t_1 + t_5 + t_{10} + t_{15} + t_{20} + t_{24} = 225$ ହେଲେ, ଏହାର ପ୍ରଥମ 24 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 900

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ସମାନ ଦୂରତାରେ ଥିବା ପଦର ସମଷ୍ଟି ସମାନ। $3(a+l) = 225 \Rightarrow (a+l)=75$। $S_{24} = \frac{24}{2}(a+l) = 12 \times 75 = 900$

ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 7: ଉଚ୍ଚତର ଏବଂ ଜଟିଳ ପ୍ରୟୋଗ (Advanced Applications)

❓ 61. ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକ A.P. ରେ ଅଛନ୍ତି ଏବଂ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ କୋଣଟି ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ କୋଣର ଦ୍ୱିଗୁଣ । ତେବେ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: $40^\circ, 60^\circ, 80^\circ$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ମଧ୍ୟ କୋଣ ସର୍ବଦା $60^\circ$ ରହେ । $60-d, 60, 60+d \Rightarrow 60+d = 2(60-d) \Rightarrow 3d=60 \Rightarrow d=20$

❓ 62. 100 ଟି ପଦ ଥିବା ଦୁଇଟି A.P. ର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ସମାନ । ଯଦି ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରଥମ ପଦର ଅନ୍ତର 100 ହୁଏ, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର 100-ତମ ପଦର ଅନ୍ତର କେତେ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: 100

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ସମାନ ଥିଲେ ଯେକୌଣସି ସମାନ କ୍ରମାଙ୍କର ପଦମାନଙ୍କ ଅନ୍ତର ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ ରହେ ।

❓ 63. ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା 13 ଏବଂ 43 ମଧ୍ୟରେ 4 ଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ (A.M.) ସ୍ଥାପନ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: 19, 25, 31, 37

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $d = \frac{43-13}{4+1} = \frac{30}{5} = 6$ । ମଧ୍ୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 13+6=19, 19+6=25…

❓ 64. ଯଦି $a, b, c$ A.P. ରେ ଥାଆନ୍ତି ତେବେ $(a-b)^2 + (b-c)^2$ ର ମୂଲ୍ୟ $d$ (ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର) ମାଧ୍ୟମରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: $2d^2$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $(a-b) = -d$ ଏବଂ $(b-c) = -d \Rightarrow (-d)^2 + (-d)^2 = 2d^2$

❓ 65. 24 କୁ ଏପରି 3 ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କର ଯେପରିକି ସେମାନେ A.P. ରେ ରହିବେ ଏବଂ ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟର ଗୁଣଫଳ 48 ହେବ ।

✅ ଉତ୍ତର: 4, 8, 12

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $3a=24 \Rightarrow a=8$ । $(8-d)(8+d)=48 \Rightarrow 64-d^2=48 \Rightarrow d=\pm4$

❓ 66. ଯଦି ତିନୋଟି ପଦ $\frac{a-b}{a+b}, \frac{a}{a+b}, \frac{a+b}{a+b}$ ଏକ ଅନୁକ୍ରମରେ ଅଛନ୍ତି, ତେବେ ଏହା ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି କି ? ଯଦି ହଁ, ଏହାର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ହଁ (A.P.), $d = \frac{b}{a+b}$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_2 - t_1 = \frac{a - (a-b)}{a+b} = \frac{b}{a+b}$

❓ 67. ଗୋଟିଏ ଲଗ୍ (logarithm) ଶ୍ରେଣୀ: $\log a, \log(ab), \log(ab^2), ...$ ଏହା କି ପ୍ରକାର ପ୍ରଗତି ଅଟେ ଏବଂ ଏହାର $n$-ତମ ପଦ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (A.P.), $t_n = \log(ab^{n-1})$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $\log(ab) - \log a = \log a + \log b - \log a = \log b$ ($d = \log b$)

❓ 68. ଏକ A.P. ର ପ୍ରଥମ $n, 2n$ ଏବଂ $3n$ ପଦଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ଯଥାକ୍ରମେ $S_1, S_2$ ଏବଂ $S_3$ ହେଲେ, $S_3$ ଏବଂ $(S_2 - S_1)$ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ସ୍ଥାପନ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: $S_3 = 3(S_2 - S_1)$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଏହା ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର ଏକ ଗାଣିତିକ ପ୍ରମାଣିତ ସୂତ୍ର ଅଟେ ।

❓ 69. A.P. ରେ ଥିବା ତିନୋଟି ରାଶିର ଯୋଗଫଳ ଶୂନ ଏବଂ ବର୍ଗମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 50 ହେଲେ ପଦଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: -5, 0, 5 ବା 5, 0, -5

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $3a=0 \Rightarrow a=0$ । $(-d)^2 + 0 + d^2 = 50 \Rightarrow 2d^2=50 \Rightarrow d=\pm5$

❓ 70. ଯଦି ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର $S_{10} = -150$ ଏବଂ ପରବର୍ତ୍ତୀ 10 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି $-550$ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରଗତିଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: 3, -1, -5, -9…

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $S_{10} = -150$ ଏବଂ $S_{20} = -700$ । ସମାଧାନ କଲେ $d=-4, a=3$ ମିଳିବ ।

ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ 8: ବାସ୍ତବ ଜୀବନର ଉଦାହରଣ ଏବଂ ବିବିଧ ସମସ୍ୟା

❓ 71. 3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କିନ୍ତୁ 5 ଦ୍ଵାରା ନୁହେଁ ?

✅ ଉତ୍ତର: 80 ଟି

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ 100 ଟି । (9 ଏବଂ 5) ଅର୍ଥାତ୍ 45 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ 20 ଟି । ତେଣୁ $100 - 20 = 80$

❓ 72. ଗୋଟିଏ ବଗିଚାରେ ପ୍ରଥମ ଧାଡ଼ିରେ 51 ଟି ଫୁଲ ଗଛ ଅଛି, ଦ୍ୱିତୀୟ ଧାଡ଼ିରେ 48, ତୃତୀୟ ଧାଡ଼ିରେ 45… ଏବଂ ଶେଷ ଧାଡ଼ିରେ 3 ଟି ଗଛ ଅଛି । ତେବେ ବଗିଚାରେ ମୋଟ କେତୋଟି ଧାଡ଼ି ଅଛି ?

✅ ଉତ୍ତର: 17 ଟି

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $a=51, d=-3, l=3 \Rightarrow 51+(n-1)(-3)=3 \Rightarrow n-1=16 \Rightarrow n=17$

❓ 73. ଗୋଟିଏ ମାସର ତୃତୀୟ ଦିନ ତାପମାତ୍ରା $25^\circ \text{C}$ ଏବଂ ସପ୍ତମ ଦିନ $33^\circ \text{C}$ । ଯଦି ତାପମାତ୍ରା ଦୈନିକ A.P. ରେ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଥାଏ, ତେବେ 15-ତମ ଦିନ ତାପମାତ୍ରା କେତେ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: $49^\circ \text{C}$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $a+2d=25, a+6d=33 \Rightarrow 4d=8 \Rightarrow d=2, a=21$ । $t_{15} = 21+14(2) = 49$

❓ 74. ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ $S_p = q$ ଏବଂ $S_q = p$ ହେଲେ, $S_{p+q}$ ର ସମଷ୍ଟି କେତେ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: $-(p+q)$

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଏହା A.P. ର ଏକ ସ୍ଥାୟୀ ସୂତ୍ରାବଳୀ ।

❓ 75. ଯଦି କୌଣସି A.P. ର 5-ମ ପଦ 19 ଏବଂ 8-ମ ପଦର ତିନିଗୁଣ 12-ତମ ପଦଠାରୁ 2 ଅଧିକ, ତେବେ ସେହି A.P. ଟି ଲେଖ ।

✅ ଉତ୍ତର: 91, 73, 55…

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $a+4d=19$ ଏବଂ $3(a+7d)=a+11d+2 \Rightarrow a+5d=1$। ସମାଧାନ କଲେ $d=-18, a=91$

❓ 76. 4 ଏବଂ 34 ମଧ୍ୟରେ ଏପରି କେତୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ (A.M.) ରଖାଯାଇପାରିବ ଯେପରିକି ପ୍ରଥମ ମଧ୍ୟକ ଏବଂ ଶେଷ ମଧ୍ୟକର ଅନୁପାତ 1:4 ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: 9 ଟି

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $t_2 = \frac{1}{4}t_{n-1} \Rightarrow 4(4+d) = (34-d) \Rightarrow 5d=18 \Rightarrow d=3.6$। ପଦ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ଗଣନା କଲେ ମଧ୍ୟକ ସଂଖ୍ୟା 9 ଆସିବ।

❓ 77. ଗୋଟିଏ A.P. ର ପ୍ରଥମ 4 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 56 ଏବଂ ଶେଷ 4 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 112 । ଯଦି ଏହାର ପ୍ରଥମ ପଦ 11 ହୁଏ, ତେବେ ମୋଟ ପଦ ସଂଖ୍ୟା କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: 11

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $2(2a+3d)=56 \Rightarrow 22+3d=28 \Rightarrow d=2$ । ଶେଷ 4 ଟି ପଦରୁ $l$ ବାହାରିବ 31। $11+(n-1)2=31 \Rightarrow n=11$

❓ 78. ଯଦି $\frac{a^n + b^n}{a^{n-1} + b^{n-1}}$, $a$ ଏବଂ $b$ ର ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ (A.M.) ହୁଏ, ତେବେ $n$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: 1

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: $n=1$ ବସାଇଲେ ଏହା $\frac{a^1+b^1}{a^0+b^0} = \frac{a+b}{1+1} = \frac{a+b}{2}$ ହେବ ଯାହା ସାଧାରଣ A.M. ଅଟେ ।

❓ 79. ଦୁଇଟି A.P. ର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ଯଥାକ୍ରମେ 2 ଏବଂ 3 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରଥମ ପଦ ଯଥାକ୍ରମେ 5 ଏବଂ 3 । ଉଭୟ ପ୍ରଗତିରେ ମୋଟ କେତୋଟି ସାଧାରଣ (common) ପଦ ରହିବ ଯଦି ଉଭୟରେ 50 ଟି ଲେଖାଏଁ ପଦ ଥାଏ ?

✅ ଉତ୍ତର: 16 ଟି

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ସାଧାରଣ ପଦଗୁଡ଼ିକର A.P. ର $d = \text{LCM}(2,3) = 6$, ପ୍ରଥମ ସାଧାରଣ ପଦ 9 । ସର୍ବାଧିକ ସୀମା 103 (ପ୍ରଥମ A.P. ର 50ତମ ପଦ)। $9+(n-1)6 \le 103 \Rightarrow n=16$

❓ 80. 100 ରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ଏବଂ ଅଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳର ଅନ୍ତର କେତେ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: 50

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଅଯୁଗ୍ମ (1 ରୁ 99) ର ସମଷ୍ଟି 2500 । ଯୁଗ୍ମ (2 ରୁ 98) ର ସମଷ୍ଟି 2450 । ଅନ୍ତର $= 2500 - 2450 = 50$ ।