ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ପ୍ରୟୋଗ (ଅନୁଶୀଳନୀ - 2(b)) ଉପରେ ଆଧାରିତ ୭୦ଟି ଅତିରିକ୍ତ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା। ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟ ଅଛି ଟିକେ ତଳକୁ ଯାଆନ୍ତୁ

ବିଭାଗ ୧: ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ (Numbers and Reciprocals)

Question 1. ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ତାହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{10}{3}$ ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 2. ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ଯୋଗଫଳ $\frac{5}{6}$ ଅଟେ। ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ସ୍ଥିର କର।

Question 3. ଗୋଟିଏ ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ତାହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ବିୟୋଗଫଳ $\frac{15}{4}$ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ?

Question 4. ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{5}{12}$ ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 5. ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଓ ତାହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ଯୋଗଫଳ $\frac{25}{12}$। ଏହି ତଥ୍ୟକୁ ନେଇ ଏକ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ଗଠନ କର।

Question 6. ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{8}{15}$ ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ନିରୂପଣ କର।

Question 7. ଗୋଟିଏ ଭଗ୍ନାଂଶ ଏବଂ ତାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{13}{6}$ ଅଟେ। ଭଗ୍ନାଂଶଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 8. ଯଦି କୌଣସି ଏକ ସଂଖ୍ୟାରୁ ତାହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ ବିୟୋଗ କଲେ ଫଳ $\frac{24}{5}$ ହୁଏ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ?

Question 9. ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{7}{12}$ ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି କ’ଣ?

Question 10. ଏକ ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ତାହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବନିମ୍ନ କେତେ ହୋଇପାରିବ ଏବଂ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ?

ବିଭାଗ ୨: ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ (Relations between Numbers)

Question 11. ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି $15$ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ଗୁଣଫଳ $56$। ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି କେତେ?

Question 12. ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ବିୟୋଗଫଳ $3$ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ଗୁଣଫଳ $54$। ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 13. ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି $85$ ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 14. $60$ କୁ ଏପରି ଦୁଇଭାଗ କର ଯେପରିକି ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ $800$ ହେବ।

Question 15. ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗରୁ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ଦୁଇଗୁଣ ବିୟୋଗ କଲେ ଫଳ $35$ ହୁଏ। ସଂଖ୍ୟାଟି ନିରୂପଣ କର।

Question 16. ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି $100$ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି କେତେ?

Question 17. ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ $143$। ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥିର କର।

Question 18. ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ତାହାର ବର୍ଗମୂଳରୁ $12$ ଅଧିକ ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ?

Question 19. ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାରୁ ତାର ବର୍ଗମୂଳ ବିୟୋଗ କଲେ ଫଳ $20$ ହୁଏ। ସଂଖ୍ୟାଟି ନିରୂପଣ କର।

Question 20. ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି $20$ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି $208$ ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ବିଭାଗ ୩: ଅଙ୍କ ଓ ସଂଖ୍ୟା (Digits and Numbers)

Question 21. ଏକ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ $18$। ସଂଖ୍ୟାଟିରୁ $27$ ବିୟୋଗ କଲେ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥାନ ବଦଳାନ୍ତି। ସଂଖ୍ୟାଟି ନିରୂପଣ କର।

Question 22. ଗୋଟିଏ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ତାହାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କ ଗୁଣଫଳର ଦୁଇଗୁଣ ସହ ସମାନ। ଦଶକ ଅଙ୍କ ଏକକ ଅଙ୍କ ଠାରୁ $3$ ବଡ଼। ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ?

Question 23. ଏକ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଦଶକ ଅଙ୍କ ଏକକ ଅଙ୍କର ବର୍ଗ ସହ ସମାନ। ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଟିରୁ $54$ ବିୟୋଗ କରାଯାଏ, ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟ ସ୍ଥାନ ବଦଳାନ୍ତି। ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 24. ଏକ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଏହାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟିର $4$ ଗୁଣ ଏବଂ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳର $2$ ଗୁଣ ସହ ସମାନ। ସଂଖ୍ୟାଟି ସ୍ଥିର କର।

Question 25. ଏକ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି $11$। ଯଦି ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥାନ ବଦଳାନ୍ତି ତେବେ ମିଳୁଥିବା ନୂତନ ସଂଖ୍ୟା ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ $45$ କମ୍ ହୁଏ। ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 26. ଏକ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ଯୋଗଫଳ $9$। ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଟିରେ ତାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ଯୋଗ କରାଯାଏ, ତେବେ ତାହା $73$ ହୁଏ। ସଂଖ୍ୟାଟି ନିରୂପଣ କର।

Question 27. ଗୋଟିଏ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି $74$ ଏବଂ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ଓ ତାର ଅଙ୍କ ସ୍ଥାନ ବଦଳାଇଲେ ମିଳୁଥିବା ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି $110$ ଅଟେ। ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ?

Question 28. ଏକ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଦଶକ ଅଙ୍କ, ଏକକ ଅଙ୍କ ଅପେକ୍ଷା $2$ କମ୍। ସଂଖ୍ୟାଟି ଏବଂ ତାହାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟିର ଗୁଣଫଳ $144$। ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 29. ଗୋଟିଏ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ $20$। ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଟି ସହ $9$ ଯୋଗ କରାଯାଏ, ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥାନ ବଦଳାନ୍ତି। ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ?

Question 30. ଏକ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ତାହାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳର ବର୍ଗ ସହ ସମାନ। ସଂଖ୍ୟାଟି ନିରୂପଣ କର।

ବିଭାଗ ୪: ବୟସ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସମସ୍ୟା (Age Problems)

Question 31. ପିତା ଓ ପୁତ୍ରଙ୍କ ବୟସର ସମଷ୍ଟି $45$ ବର୍ଷ। $5$ ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ ସେମାନଙ୍କ ବୟସର ଗୁଣଫଳ $124$ ଥିଲା। ସେମାନଙ୍କର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ କେତେ?

Question 32. ରାମର ବୟସ ଶ୍ୟାମର ବୟସ ଅପେକ୍ଷା $5$ ବର୍ଷ ଅଧିକ। ସେମାନଙ୍କ ବୟସର ଗୁଣଫଳ $104$ ହେଲେ, ଉଭୟଙ୍କ ବୟସ ନିରୂପଣ କର।

Question 33. ଜଣେ ମାଆଙ୍କର ବୟସ ତାଙ୍କ ଝିଅ ବୟସର ବର୍ଗ ସହ ସମାନ। $5$ ବର୍ଷ ପରେ, ମାଆଙ୍କ ବୟସ ଝିଅ ବୟସର ତିନିଗୁଣ ହେବ। ସେମାନଙ୍କର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 34. ଦୁଇ ଭାଇଙ୍କ ବୟସର ସମଷ୍ଟି $15$ ବର୍ଷ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ବୟସର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{3}{10}$। ସେମାନଙ୍କ ବୟସ ସ୍ଥିର କର।

Question 35. ଏକ ପରିବାରରେ ବାପାଙ୍କ ବୟସ ପୁଅ ବୟସର ଗୁଣଫଳ $200$। ବାପା ପୁଅଠାରୁ $20$ ବର୍ଷ ବଡ଼ ହେଲେ, ଉଭୟଙ୍କ ବୟସ କେତେ?

Question 36. ଗୀତାର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସର ବର୍ଗ ତାହାର $10$ ବର୍ଷ ପରର ବୟସ ଠାରୁ $2$ ବର୍ଷ କମ୍। ଗୀତାର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 37. ଦୁଇ ସାଙ୍ଗଙ୍କ ବୟସର ଅନ୍ତର $4$ ବର୍ଷ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ବୟସର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି $400$। ସେମାନଙ୍କ ବୟସ କେତେ?

Question 38. ଅନିଲର ବୟସ ତା’ର ସାନ ଭାଇ ବୟସର ଦ୍ଵିଗୁଣ ଅଟେ। $4$ ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ ସେମାନଙ୍କ ବୟସର ଗୁଣଫଳ $30$ ଥିଲା। ସେମାନଙ୍କର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ ନିରୂପଣ କର।

Question 39. ରୋହନର ମାଆ ତା’ ଠାରୁ $26$ ବର୍ଷ ବଡ଼। $3$ ବର୍ଷ ପରେ ସେମାନଙ୍କ ବୟସର ଗୁଣଫଳ $360$ ହେବ। ରୋହନର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 40. ମୋର ବୟସର ବର୍ଗ ଏବଂ ମୋର $11$ ବର୍ଷ ପରର ବୟସର ସମଷ୍ଟି $13$। ମୋର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ କେତେ?

ବିଭାଗ ୫: ଜ୍ୟାମିତିକ ସମସ୍ୟା (Geometric Problems)

Question 41. ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $13$ ସେ.ମି.। ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର $7$ ସେ.ମି. ହେଲେ, ସେହି ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 42. ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $150$ ବର୍ଗ ମିଟର। ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପ୍ରସ୍ଥଠାରୁ $5$ ମିଟର ଅଧିକ ହେଲେ, ପରିସୀମା ନିରୂପଣ କର।

Question 43. ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $48$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.। ଯଦି ଏହାର ଉଚ୍ଚତା ଭୂମିର ଅଧା ଅପେକ୍ଷା $2$ ସେ.ମି. ଅଧିକ ହୁଏ, ତେବେ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ?

Question 44. ଦୁଇଟି ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ସମଷ୍ଟି $260$ ବ.ମି.। ଯଦି ସେମାନଙ୍କ ପରିସୀମାର ଅନ୍ତର $24$ ମିଟର ହୁଏ, ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଦ୍ୱୟର ବାହୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 45. ଏକ ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥର ସମଷ୍ଟି $23$ ମିଟର ଏବଂ ଏହାର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $17$ ମିଟର। କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

Question 46. ଏକ ବହୁଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା $90$ ହେଲେ, ବହୁଭୁଜଟିର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ନିରୂପଣ କର।

Question 47. ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $30$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହାର ପରିସୀମା $30$ ସେ.ମି.। ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 48. ଗୋଟିଏ ଆୟତାକାର ବଗିଚାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $84$ ବର୍ଗ ମିଟର ଏବଂ ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପ୍ରସ୍ଥଠାରୁ $5$ ମିଟର ଅଧିକ। ବଗିଚାର ଚତୁଃପାର୍ଶ୍ଵରେ ତାରବାଡ଼ ଦେବାକୁ କେତେ ମିଟର ତାର ଦରକାର?

Question 49. ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏହାର ସମାନ ବାହୁମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ $2$ ସେ.ମି. କମ୍। ଯଦି ତ୍ରିଭୁଜଟିର ପରିସୀମା ସହ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଗୁଣନ କଲେ $120$ ହୁଏ, ତେବେ ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 50. ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ $2$ ମିଟର କମାଇ ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥକୁ $2$ ମିଟର ବଢ଼ାଇଲେ ଏହା ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରରେ ପରିଣତ ହୁଏ ଏବଂ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $4$ ବର୍ଗ ମିଟର ବୃଦ୍ଧି ପାଏ। ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ମୂଳ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ କେତେ ଥିଲା?

ବିଭାଗ ୬: ଦୂରତା, ସମୟ ଏବଂ ବେଗ (Distance, Time, and Speed)

Question 51. ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସ୍ ଟ୍ରେନ୍ ଏକ ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍ ଅପେକ୍ଷା $132$ କି.ମି. ଯାତ୍ରା କରିବାକୁ $1$ ଘଣ୍ଟା କମ୍ ସମୟ ନିଏ। ଯଦି ଏକ୍ସପ୍ରେସ୍ ଟ୍ରେନ୍ ର ବେଗ ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍ ବେଗଠାରୁ $11$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଅଧିକ ହୁଏ, ତେବେ ଉଭୟ ଟ୍ରେନ୍ ର ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 52. ଏକ ନୌକାର ସ୍ଥିର ଜଳରେ ବେଗ $18$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା। ଏହା ସ୍ରୋତର ପ୍ରତିକୂଳରେ $24$ କି.ମି. ଯିବାକୁ ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ ସେତିକି ଦୂରତା ଯିବା ଅପେକ୍ଷା $1$ ଘଣ୍ଟା ଅଧିକ ସମୟ ନିଏ। ସ୍ରୋତର ବେଗ କେତେ?

Question 53. ଜଣେ ସାଇକେଲ ଆରୋହୀ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଦୂରତା $24$ କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରନ୍ତି। ଯଦି ତାଙ୍କର ବେଗ $2$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଅଧିକ ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ ସେହି ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରିବାକୁ ତାଙ୍କୁ $1$ ଘଣ୍ଟା କମ୍ ସମୟ ଲାଗିଥାନ୍ତା। ସାଇକେଲ ଆରୋହୀଙ୍କର ମୂଳ ବେଗ ସ୍ଥିର କର।

Question 54. ଗୋଟିଏ ଉଡ଼ାଜାହାଜ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ସମୟର $30$ ମିନିଟ୍ ବିଳମ୍ବରେ ଛାଡ଼ିଲା। $1500$ କି.ମି. ଦୂର ଗନ୍ତବ୍ୟସ୍ଥଳରେ ଠିକ୍ ସମୟରେ ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ ଏହାର ବେଗ ସାଧାରଣ ବେଗଠାରୁ $250$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ବୃଦ୍ଧି କରିବାକୁ ପଡ଼ିଲା। ଉଡ଼ାଜାହାଜର ସାଧାରଣ ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Question 55. ଦୁଇଟି ଷ୍ଟେସନ୍ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା $300$ କି.ମି.। ଏକ ଟ୍ରେନ୍ ସମାନ ବେଗରେ ଏହି ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରେ। ଯଦି ଟ୍ରେନ୍ ର ବେଗ $5$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା କମ୍ ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ ଯାତ୍ରା ପାଇଁ $2$ ଘଣ୍ଟା ଅଧିକ ସମୟ ଲାଗିଥାନ୍ତା। ଟ୍ରେନ୍ ର ମୂଳ ବେଗ ନିରୂପଣ କର।

Question 56. ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ନିଜ କାର୍ ରେ ସମାନ ବେଗରେ $360$ କି.ମି. ଯାତ୍ରା କଲେ। ଫେରିବା ସମୟରେ ତାଙ୍କ କାର୍ ର ବେଗ $10$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ବୃଦ୍ଧି ପାଇଲା ଏବଂ ଫେରିବା ଯାତ୍ରା $3$ ଘଣ୍ଟା କମ୍ ସମୟ ନେଲା। ଯିବା ସମୟରେ ତାଙ୍କ କାର୍ ର ବେଗ କେତେ ଥିଲା?

Question 57. ଏକ ମୋଟର ବୋଟ୍ ର ସ୍ଥିର ଜଳରେ ବେଗ $9$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା। ଏହା ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ $15$ କି.ମି. ଯାଇ ପୁନଶ୍ଚ ନିଜ ପୂର୍ବ ସ୍ଥାନକୁ ଫେରିଆସିବାକୁ ମୋଟ $3$ ଘଣ୍ଟା $45$ ମିନିଟ୍ ସମୟ ନେଲା। ସ୍ରୋତର ବେଗ ସ୍ଥିର କର।

Question 58. ଜଣେ ଲୋକ ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ସମାନ ବେଗରେ ଚାଲି $12$ କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରେ। ଯଦି ସେ ତା’ର ବେଗକୁ ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି $1$ କି.ମି. ବୃଦ୍ଧି କରିଥାନ୍ତା, ସେହି ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରିବା ପାଇଁ ତାକୁ $1$ ଘଣ୍ଟା କମ୍ ସମୟ ଲାଗିଥାନ୍ତା। ତା’ର ଚାଲିବାର ବେଗ ନିରୂପଣ କର।

Question 59. ଏକ ଟ୍ରେନ୍ ପ୍ରଥମ $160$ କି.ମି. ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବେଗରେ ଏବଂ ପରବର୍ତ୍ତୀ $160$ କି.ମି. ପୂର୍ବ ବେଗଠାରୁ $20$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଅଧିକ ବେଗରେ ଯାତ୍ରା କରେ। ଯଦି ମୋଟ ଯାତ୍ରା ସମୟ $6$ ଘଣ୍ଟା ହୁଏ, ତେବେ ଟ୍ରେନ୍ ର ପ୍ରଥମ ବେଗ କେତେ?

Question 60. ଏକ ଧାବକ ଏକ ବୃତ୍ତାକାର ପଡ଼ିଆର ଚାରିପଟେ ସମାନ ବେଗରେ ଦୌଡ଼ୁଛନ୍ତି। ପଡ଼ିଆର ପରିଧି $300$ ମିଟର। ଯଦି ସେ ତାଙ୍କ ବେଗ $1$ ମିଟର/ସେକେଣ୍ଡ୍ ବୃଦ୍ଧି କରନ୍ତି, ତେବେ ଗୋଟିଏ ରାଉଣ୍ଡ୍ ପୂରଣ କରିବାକୁ ତାଙ୍କୁ $10$ ସେକେଣ୍ଡ୍ କମ୍ ସମୟ ଲାଗେ। ତାଙ୍କର ପ୍ରାଥମିକ ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ବିଭାଗ ୭: ବିବିଧ ସମସ୍ୟା (Miscellaneous Problems)

Question 61. କିଛି ଛାତ୍ରଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ $120$ ଟଙ୍କା ସମାନ ଭାବରେ ବଣ୍ଟାଗଲା। ଯଦି $2$ ଜଣ ଛାତ୍ର ଅଧିକ ଥାଆନ୍ତେ, ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକେ $2$ ଟଙ୍କା ଲେଖାଏଁ କମ୍ ପାଇଥାନ୍ତେ। ମୂଳ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା କେତେ ଥିଲା?

Question 62. ଗୋଟିଏ ସଭାରେ ଉପସ୍ଥିତ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ବ୍ୟକ୍ତି ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ସହ କରମର୍ଦ୍ଦନ କଲେ। ଯଦି ମୋଟ $66$ ଟି କରମର୍ଦ୍ଦନ ହୋଇଥାଏ, ତେବେ ସଭାରେ କେତେ ଜଣ ବ୍ୟକ୍ତି ଉପସ୍ଥିତ ଥିଲେ?

Question 63. କେତେକ ବ୍ୟକ୍ତି ମିଶି ଏକ କାମକୁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଦିନରେ ଶେଷ କରିବାକୁ ଚୁକ୍ତି କଲେ ଏବଂ ଏଥିପାଇଁ $2400$ ଟଙ୍କା ପାଉଣା ଧାର୍ଯ୍ୟ ହେଲା। ଯଦି $10$ ଜଣ ବ୍ୟକ୍ତି ଆସିନଥାନ୍ତେ, ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକଙ୍କୁ $20$ ଟଙ୍କା ଅଧିକ ମିଳିଥାନ୍ତା। ମୂଳ ବ୍ୟକ୍ତି ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର।

Question 64. ଗୋଟିଏ ବହିର କିଛି ପୃଷ୍ଠା ଅଛି। ପ୍ରତିଦିନ ସମାନ ସଂଖ୍ୟକ ପୃଷ୍ଠା ପଢ଼ିଲେ ବହିଟିକୁ ପଢ଼ି ଶେଷ କରିବାକୁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଦିନ ଲାଗେ। ଯଦି ପ୍ରତିଦିନ $5$ ଟି ପୃଷ୍ଠା ଅଧିକ ପଢ଼ାଯାଏ, ତେବେ ବହିଟି $4$ ଦିନ ପୂର୍ବରୁ ଶେଷ ହୁଏ। ଯଦି ବହିଟିରେ ମୋଟ $200$ ପୃଷ୍ଠା ଥାଏ, ତେବେ ପ୍ରତିଦିନ କେତେ ପୃଷ୍ଠା ପଢ଼ାଯାଉଥିଲା?

Question 65. ଜଣେ ଦୋକାନୀ $1200$ ଟଙ୍କାରେ କିଛି ବହି କିଣିଲେ। ଯଦି ସେହି ଟଙ୍କାରେ ସେ ଆହୁରି $10$ ଟି ବହି ଅଧିକ କିଣିଥାନ୍ତେ, ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିର ମୂଲ୍ୟ $20$ ଟଙ୍କା କମ୍ ପଡ଼ିଥାନ୍ତା। ସେ ମୋଟ କେତେ ଗୋଟି ବହି କିଣିଥିଲେ?

Question 66. ଦୁଇଟି ପାଇପ୍ ଏକତ୍ର ଏକ ଟାଙ୍କିକୁ $\frac{75}{8}$ ଘଣ୍ଟାରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ କରନ୍ତି। ବଡ଼ ବ୍ୟାସ ଥିବା ପାଇପ୍ ଟି ଛୋଟ ପାଇପ୍ ଅପେକ୍ଷା ଟାଙ୍କିଟିକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବାକୁ $10$ ଘଣ୍ଟା କମ୍ ସମୟ ନିଏ। ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାଇପ୍ ଏକାକୀ ଟାଙ୍କିଟିକୁ କେତେ ସମୟରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିପାରିବେ?

Question 67. ଗୋଟିଏ ଶ୍ରେଣୀରେ ଛାତ୍ରୀମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଛାତ୍ରମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟାର ଅଧା। ଯଦି ମୋଟ ପିଲାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ $450$ ହୁଏ, ତେବେ ଶ୍ରେଣୀରେ କେତେଜଣ ଛାତ୍ର ଓ କେତେଜଣ ଛାତ୍ରୀ ଅଛନ୍ତି?

Question 68. ଏକ ଭୋଜିରେ ଖାଦ୍ୟ ପାଇଁ $600$ ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ହେଲା। ଯଦି $5$ ଜଣ ଲୋକ ଅଧିକ ଆସିଥାନ୍ତେ, ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକଙ୍କର ଖର୍ଚ୍ଚ $10$ ଟଙ୍କା କମ୍ ହୋଇଥାନ୍ତା। ଭୋଜିରେ କେତେ ଜଣ ଲୋକ ଥିଲେ?

Question 69. ଗୋଟିଏ ବସ୍ତୁକୁ $24$ ଟଙ୍କାରେ ବିକ୍ରି କଲେ ଯେତିକି ଶତକଡ଼ା ଲାଭ ହୁଏ, ବସ୍ତୁଟିର କ୍ରୟମୂଲ୍ୟ ସହ ତାହା ସମାନ। ବସ୍ତୁଟିର କ୍ରୟମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର।

Question 70. ପ୍ରଥମ $n$ ସଂଖ୍ୟକ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି $S = \frac{n(n+1)}{2}$ ଅଟେ। ଯଦି ଏହି ସମଷ୍ଟି $210$ ହୁଏ, ତେବେ $n$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ଆପଣଙ୍କ ଅନୁରୋଧ ଅନୁଯାୟୀ, ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ (ଅନୁଶୀଳନୀ - 2(b)) ର ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ଗାଣିତିକ ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ସେଗୁଡ଼ିକର କ୍ରମାନ୍ୱୟିକ ସମାଧାନ ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦାନ କରାଗଲା।

ବିଭାଗ ୧: ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ (Numbers and Reciprocals)

Question 1: ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ତାହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{10}{3}$ ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Answer: ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି $x$। ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ:

$x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$

$\Rightarrow \frac{x^2+1}{x} = \frac{10}{3}$

$\Rightarrow 3x^2 + 3 = 10x$

$\Rightarrow 3x^2 - 10x + 3 = 0$

$\Rightarrow 3x^2 - 9x - x + 3 = 0$

$\Rightarrow 3x(x - 3) - 1(x - 3) = 0$

$\Rightarrow (3x - 1)(x - 3) = 0$

$\Rightarrow x = 3$ କିମ୍ବା $x = \frac{1}{3}$

ସଂଖ୍ୟାଟି 3 କିମ୍ବା $\frac{1}{3}$ ଅଟେ।

Question 2: ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ଯୋଗଫଳ $\frac{5}{6}$ ଅଟେ। ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ସ୍ଥିର କର।

Answer: ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ $x$ ଏବଂ $x+1$।

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{5}{6}$

$\Rightarrow \frac{x+1+x}{x(x+1)} = \frac{5}{6}$

$\Rightarrow \frac{2x+1}{x^2+x} = \frac{5}{6}$

$\Rightarrow 6(2x+1) = 5(x^2+x)$

$\Rightarrow 12x + 6 = 5x^2 + 5x$

$\Rightarrow 5x^2 - 7x - 6 = 0$

$\Rightarrow 5x^2 - 10x + 3x - 6 = 0$

$\Rightarrow 5x(x - 2) + 3(x - 2) = 0$

$\Rightarrow (5x + 3)(x - 2) = 0$

$\Rightarrow x = 2$ (ଯେହେତୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା)

ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 2 ଏବଂ 3 ଅଟେ।

Question 3: ଗୋଟିଏ ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ତାହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ବିୟୋଗଫଳ $\frac{15}{4}$ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ?

Answer: ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି $x$।

$x - \frac{1}{x} = \frac{15}{4}$

$\Rightarrow \frac{x^2-1}{x} = \frac{15}{4}$

$\Rightarrow 4x^2 - 4 = 15x$

$\Rightarrow 4x^2 - 15x - 4 = 0$

$\Rightarrow 4x^2 - 16x + x - 4 = 0$

$\Rightarrow 4x(x - 4) + 1(x - 4) = 0$

$\Rightarrow (4x + 1)(x - 4) = 0$

$\Rightarrow x = 4$

ସଂଖ୍ୟାଟି 4 ଅଟେ।

Question 4: ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{5}{12}$ ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Answer: ମନେକର କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ $x$ ଏବଂ $x+2$।

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{5}{12}$

$\Rightarrow \frac{x+2+x}{x^2+2x} = \frac{5}{12}$

$\Rightarrow \frac{2x+2}{x^2+2x} = \frac{5}{12}$

$\Rightarrow 12(2x+2) = 5(x^2+2x)$

$\Rightarrow 24x + 24 = 5x^2 + 10x$

$\Rightarrow 5x^2 - 14x - 24 = 0$

$\Rightarrow 5x^2 - 20x + 6x - 24 = 0$

$\Rightarrow 5x(x - 4) + 6(x - 4) = 0$

$\Rightarrow (5x + 6)(x - 4) = 0$

$\Rightarrow x = 4$

ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 4 ଏବଂ 6 ଅଟେ।

Question 5: ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{8}{15}$ ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ନିରୂପଣ କର।

Answer: ମନେକର କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ $x$ ଏବଂ $x+2$।

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{8}{15}$

$\Rightarrow \frac{2x+2}{x^2+2x} = \frac{8}{15}$

$\Rightarrow 15(2x+2) = 8(x^2+2x)$

$\Rightarrow 30x + 30 = 8x^2 + 16x$

$\Rightarrow 8x^2 - 14x - 30 = 0$

$\Rightarrow 4x^2 - 7x - 15 = 0$

$\Rightarrow 4x^2 - 12x + 5x - 15 = 0$

$\Rightarrow 4x(x - 3) + 5(x - 3) = 0$

$\Rightarrow (4x + 5)(x - 3) = 0$

$\Rightarrow x = 3$

ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 3 ଏବଂ 5 ଅଟେ।

ବିଭାଗ ୨: ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ (Relations between Numbers)

Question 6: ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି 15 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ଗୁଣଫଳ 56। ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି କେତେ?

Answer: ମନେକର ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା $x$। ତେଣୁ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି $(15-x)$ ହେବ।

$x(15-x) = 56$

$\Rightarrow 15x - x^2 = 56$

$\Rightarrow x^2 - 15x + 56 = 0$

$\Rightarrow x^2 - 7x - 8x + 56 = 0$

$\Rightarrow x(x - 7) - 8(x - 7) = 0$

$\Rightarrow (x - 7)(x - 8) = 0$

$\Rightarrow x = 7$ କିମ୍ବା $x = 8$

ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି 7 ଏବଂ 8 ଅଟେ।

Question 7: ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ବିୟୋଗଫଳ 3 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ଗୁଣଫଳ 54। ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Answer: ମନେକର ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା $x$। ତେଣୁ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଟି $(x+3)$ ହେବ।

$x(x+3) = 54$

$\Rightarrow x^2 + 3x - 54 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 9x - 6x - 54 = 0$

$\Rightarrow x(x + 9) - 6(x + 9) = 0$

$\Rightarrow (x + 9)(x - 6) = 0$

$\Rightarrow x = 6$

ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି 6 ଏବଂ 9 ଅଟେ।

Question 8: ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 85 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Answer: ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ $x$ ଏବଂ $x+1$।

$x^2 + (x+1)^2 = 85$

$\Rightarrow x^2 + x^2 + 2x + 1 = 85$

$\Rightarrow 2x^2 + 2x - 84 = 0$

$\Rightarrow x^2 + x - 42 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 7x - 6x - 42 = 0$

$\Rightarrow x(x + 7) - 6(x + 7) = 0$

$\Rightarrow (x + 7)(x - 6) = 0$

$\Rightarrow x = 6$

ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 6 ଏବଂ 7 ଅଟେ।

Question 9: 60 କୁ ଏପରି ଦୁଇଭାଗ କର ଯେପରିକି ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 800 ହେବ।

Answer: ମନେକର ଗୋଟିଏ ଭାଗ $x$, ତେଣୁ ଅନ୍ୟ ଭାଗଟି $(60-x)$।

$x(60-x) = 800$

$\Rightarrow 60x - x^2 = 800$

$\Rightarrow x^2 - 60x + 800 = 0$

$\Rightarrow x^2 - 40x - 20x + 800 = 0$

$\Rightarrow x(x - 40) - 20(x - 40) = 0$

$\Rightarrow (x - 40)(x - 20) = 0$

$\Rightarrow x = 40$ କିମ୍ବା $x = 20$

ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି 20 ଏବଂ 40 ଅଟେ।

Question 10: ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗରୁ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ଦୁଇଗୁଣ ବିୟୋଗ କଲେ ଫଳ 35 ହୁଏ। ସଂଖ୍ୟାଟି ନିରୂପଣ କର।

Answer: ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି $x$।

$x^2 - 2x = 35$

$\Rightarrow x^2 - 2x - 35 = 0$

$\Rightarrow x^2 - 7x + 5x - 35 = 0$

$\Rightarrow x(x - 7) + 5(x - 7) = 0$

$\Rightarrow (x - 7)(x + 5) = 0$

$\Rightarrow x = 7$ କିମ୍ବା $x = -5$

ସଂଖ୍ୟାଟି 7 କିମ୍ବା -5 ଅଟେ।

ବିଭାଗ ୩: ଅଙ୍କ ଓ ସଂଖ୍ୟା (Digits and Numbers)

Question 11: ଗୋଟିଏ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 20। ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଟି ସହ 9 ଯୋଗ କରାଯାଏ, ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥାନ ବଦଳାନ୍ତି। ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ?

Answer: ମନେକର ଦଶକ ଅଙ୍କ $x$ ଏବଂ ଏକକ ଅଙ୍କ $y$। ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ $10x+y$।

$xy = 20$

$(10x+y) + 9 = 10y+x$

$\Rightarrow 9x - 9y = -9$

$\Rightarrow x - y = -1$

$\Rightarrow y = x + 1$

ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$x(x+1) = 20$

$\Rightarrow x^2 + x - 20 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 5x - 4x - 20 = 0$

$\Rightarrow x(x + 5) - 4(x + 5) = 0$

$\Rightarrow (x + 5)(x - 4) = 0$

$\Rightarrow x = 4$

ତେଣୁ $y = 4+1 = 5$।

ସଂଖ୍ୟାଟି 45 ଅଟେ।

Question 12: ଏକ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଦଶକ ଅଙ୍କ ଏକକ ଅଙ୍କର ବର୍ଗ ସହ ସମାନ। ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଟିରୁ 54 ବିୟୋଗ କରାଯାଏ, ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟ ସ୍ଥାନ ବଦଳାନ୍ତି। ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Answer: ମନେକର ଏକକ ଅଙ୍କ $y$, ତେଣୁ ଦଶକ ଅଙ୍କ $x = y^2$।

$(10x+y) - 54 = 10y+x$

$\Rightarrow 9x - 9y = 54$

$\Rightarrow x - y = 6$

$y^2$ କୁ $x$ ସ୍ଥାନରେ ରଖିଲେ:

$y^2 - y - 6 = 0$

$\Rightarrow y^2 - 3y + 2y - 6 = 0$

$\Rightarrow y(y - 3) + 2(y - 3) = 0$

$\Rightarrow (y - 3)(y + 2) = 0$

$\Rightarrow y = 3$

ତେଣୁ $x = 3^2 = 9$।

ସଂଖ୍ୟାଟି 93 ଅଟେ।

Question 13: ଏକ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଦଶକ ଅଙ୍କ, ଏକକ ଅଙ୍କ ଅପେକ୍ଷା 2 କମ୍। ସଂଖ୍ୟାଟି ଏବଂ ତାହାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟିର ଗୁଣଫଳ 144। ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Answer: ମନେକର ଏକକ ଅଙ୍କ $y$, ତେଣୁ ଦଶକ ଅଙ୍କ $x = y-2$।

ମୂଳ ସଂଖ୍ୟା $= 10(y-2) + y = 11y - 20$

ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି $= (y-2) + y = 2y - 2$

$(11y - 20)(2y - 2) = 144$

$\Rightarrow 2(11y - 20)(y - 1) = 144$

$\Rightarrow (11y - 20)(y - 1) = 72$

$\Rightarrow 11y^2 - 11y - 20y + 20 - 72 = 0$

$\Rightarrow 11y^2 - 31y - 52 = 0$

$\Rightarrow 11y^2 - 44y + 13y - 52 = 0$

$\Rightarrow 11y(y - 4) + 13(y - 4) = 0$

$\Rightarrow (11y + 13)(y - 4) = 0$

$\Rightarrow y = 4$

ତେଣୁ $x = 4-2 = 2$।

ସଂଖ୍ୟାଟି 24 ଅଟେ।

ବିଭାଗ ୪: ବୟସ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସମସ୍ୟା (Age Problems)

Question 14: ପିତା ଓ ପୁତ୍ରଙ୍କ ବୟସର ସମଷ୍ଟି 45 ବର୍ଷ। 5 ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ ସେମାନଙ୍କ ବୟସର ଗୁଣଫଳ 124 ଥିଲା। ସେମାନଙ୍କର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ କେତେ?

Answer: ମନେକର ପିତାଙ୍କ ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ $x$, ତେଣୁ ପୁତ୍ରର ବୟସ $(45-x)$।

$(x - 5)(45 - x - 5) = 124$

$\Rightarrow (x - 5)(40 - x) = 124$

$\Rightarrow 40x - x^2 - 200 + 5x = 124$

$\Rightarrow x^2 - 45x + 324 = 0$

$\Rightarrow x^2 - 36x - 9x + 324 = 0$

$\Rightarrow x(x - 36) - 9(x - 36) = 0$

$\Rightarrow (x - 36)(x - 9) = 0$

$\Rightarrow x = 36$ (ପିତାଙ୍କ ବୟସ)

ପୁତ୍ରର ବୟସ $= 45 - 36 = 9$ ବର୍ଷ।

ପିତାଙ୍କ ବୟସ 36 ବର୍ଷ ଏବଂ ପୁତ୍ରର ବୟସ 9 ବର୍ଷ ଅଟେ।

Question 15: ରାମର ବୟସ ଶ୍ୟାମର ବୟସ ଅପେକ୍ଷା 5 ବର୍ଷ ଅଧିକ। ସେମାନଙ୍କ ବୟସର ଗୁଣଫଳ 104 ହେଲେ, ଉଭୟଙ୍କ ବୟସ ନିରୂପଣ କର।

Answer: ମନେକର ଶ୍ୟାମର ବୟସ $x$, ତେଣୁ ରାମର ବୟସ $(x+5)$।

$x(x+5) = 104$

$\Rightarrow x^2 + 5x - 104 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 13x - 8x - 104 = 0$

$\Rightarrow x(x + 13) - 8(x + 13) = 0$

$\Rightarrow (x + 13)(x - 8) = 0$

$\Rightarrow x = 8$

ତେଣୁ ରାମର ବୟସ $= 8+5 = 13$ ବର୍ଷ।

ଶ୍ୟାମର ବୟସ 8 ବର୍ଷ ଏବଂ ରାମର ବୟସ 13 ବର୍ଷ ଅଟେ।

Question 16: ଦୁଇ ସାଙ୍ଗଙ୍କ ବୟସର ଅନ୍ତର 4 ବର୍ଷ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ବୟସର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 400। ସେମାନଙ୍କ ବୟସ କେତେ?

Answer: ମନେକର ସାନ ସାଙ୍ଗର ବୟସ $x$, ତେଣୁ ବଡ଼ ସାଙ୍ଗର ବୟସ $(x+4)$।

$x^2 + (x+4)^2 = 400$

$\Rightarrow x^2 + x^2 + 8x + 16 = 400$

$\Rightarrow 2x^2 + 8x - 384 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 4x - 192 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 16x - 12x - 192 = 0$

$\Rightarrow x(x + 16) - 12(x + 16) = 0$

$\Rightarrow (x + 16)(x - 12) = 0$

$\Rightarrow x = 12$

ତେଣୁ ଅନ୍ୟ ଜଣଙ୍କର ବୟସ $= 12+4 = 16$ ବର୍ଷ।

ସେମାନଙ୍କ ବୟସ 12 ବର୍ଷ ଏବଂ 16 ବର୍ଷ ଅଟେ।

ବିଭାଗ ୫: ଜ୍ୟାମିତିକ ସମସ୍ୟା (Geometric Problems)

Question 17: ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 13 ସେ.ମି.। ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର 7 ସେ.ମି. ହେଲେ, ସେହି ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Answer: ମନେକର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $x$, ତେଣୁ ଅନ୍ୟଟି $(x+7)$।

ପିଥାଗୋରସ୍ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

$x^2 + (x+7)^2 = 13^2$

$\Rightarrow x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169$

$\Rightarrow 2x^2 + 14x - 120 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 7x - 60 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 12x - 5x - 60 = 0$

$\Rightarrow x(x + 12) - 5(x + 12) = 0$

$\Rightarrow (x + 12)(x - 5) = 0$

$\Rightarrow x = 5$

ଅନ୍ୟ ବାହୁଟି $= 5+7 = 12$ ସେ.ମି.।

ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ସେ.ମି. ଏବଂ 12 ସେ.ମି. ଅଟେ।

Question 18: ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 150 ବର୍ଗ ମିଟର। ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପ୍ରସ୍ଥଠାରୁ 5 ମିଟର ଅଧିକ ହେଲେ, ପରିସୀମା ନିରୂପଣ କର।

Answer: ମନେକର ପ୍ରସ୍ଥ $x$, ତେଣୁ ଦୈର୍ଘ୍ୟ $(x+5)$।

$x(x+5) = 150$

$\Rightarrow x^2 + 5x - 150 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 15x - 10x - 150 = 0$

$\Rightarrow x(x + 15) - 10(x + 15) = 0$

$\Rightarrow (x + 15)(x - 10) = 0$

$\Rightarrow x = 10$

ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= 10+5 = 15$ ମିଟର।

ପରିସୀମା $= 2(15+10) = 50$ ମିଟର।

Question 19: ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 48 ବର୍ଗ ସେ.ମି.। ଯଦି ଏହାର ଉଚ୍ଚତା ଭୂମିର ଅଧା ଅପେକ୍ଷା 2 ସେ.ମି. ଅଧିକ ହୁଏ, ତେବେ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ?

Answer: ମନେକର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $x$ ସେ.ମି.। ତେଣୁ ଉଚ୍ଚତା $= (\frac{x}{2} + 2)$ ସେ.ମି.।

$\frac{1}{2} \times \text{ଭୂମି} \times \text{ଉଚ୍ଚତା} = 48$

$\Rightarrow \frac{1}{2} \times x \times (\frac{x}{2} + 2) = 48$

$\Rightarrow \frac{x^2}{4} + x = 48$

$\Rightarrow x^2 + 4x = 192$

$\Rightarrow x^2 + 4x - 192 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 16x - 12x - 192 = 0$

$\Rightarrow x(x + 16) - 12(x + 16) = 0$

$\Rightarrow (x + 16)(x - 12) = 0$

$\Rightarrow x = 12$

ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି. ଅଟେ।

ବିଭାଗ ୬: ଦୂରତା, ସମୟ ଏବଂ ବେଗ (Distance, Time, and Speed)

Question 20: ଏକ ନୌକାର ସ୍ଥିର ଜଳରେ ବେଗ 18 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା। ଏହା ସ୍ରୋତର ପ୍ରତିକୂଳରେ 24 କି.ମି. ଯିବାକୁ ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ ସେତିକି ଦୂରତା ଯିବା ଅପେକ୍ଷା 1 ଘଣ୍ଟା ଅଧିକ ସମୟ ନିଏ। ସ୍ରୋତର ବେଗ କେତେ?

Answer: ମନେକର ସ୍ରୋତର ବେଗ $x$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା।

$\frac{24}{18-x} - \frac{24}{18+x} = 1$

$\Rightarrow 24 \left( \frac{18+x - (18-x)}{(18-x)(18+x)} \right) = 1$

$\Rightarrow \frac{24(2x)}{324 - x^2} = 1$

$\Rightarrow 48x = 324 - x^2$

$\Rightarrow x^2 + 48x - 324 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 54x - 6x - 324 = 0$

$\Rightarrow x(x + 54) - 6(x + 54) = 0$

$\Rightarrow (x + 54)(x - 6) = 0$

$\Rightarrow x = 6$

ସ୍ରୋତର ବେଗ 6 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଅଟେ।

Question 21: ଜଣେ ସାଇକେଲ ଆରୋହୀ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଦୂରତା 24 କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରନ୍ତି। ଯଦି ତାଙ୍କର ବେଗ 2 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଅଧିକ ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ ସେହି ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରିବାକୁ ତାଙ୍କୁ 1 ଘଣ୍ଟା କମ୍ ସମୟ ଲାଗିଥାନ୍ତା। ସାଇକେଲ ଆରୋହୀଙ୍କର ମୂଳ ବେଗ ସ୍ଥିର କର।

Answer: ମନେକର ମୂଳ ବେଗ $x$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା।

$\frac{24}{x} - \frac{24}{x+2} = 1$

$\Rightarrow 24 \left( \frac{x+2-x}{x(x+2)} \right) = 1$

$\Rightarrow \frac{48}{x^2+2x} = 1$

$\Rightarrow x^2 + 2x - 48 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 8x - 6x - 48 = 0$

$\Rightarrow x(x + 8) - 6(x + 8) = 0$

$\Rightarrow (x + 8)(x - 6) = 0$

$\Rightarrow x = 6$

ମୂଳ ବେଗ 6 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଅଟେ।

Question 22: ଗୋଟିଏ ଉଡ଼ାଜାହାଜ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ସମୟର 30 ମିନିଟ୍ ବିଳମ୍ବରେ ଛାଡ଼ିଲା। 1500 କି.ମି. ଦୂର ଗନ୍ତବ୍ୟସ୍ଥଳରେ ଠିକ୍ ସମୟରେ ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ ଏହାର ବେଗ ସାଧାରଣ ବେଗଠାରୁ 250 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ବୃଦ୍ଧି କରିବାକୁ ପଡ଼ିଲା। ଉଡ଼ାଜାହାଜର ସାଧାରଣ ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Answer: ମନେକର ସାଧାରଣ ବେଗ $x$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା। 30 ମିନିଟ୍ = $\frac{1}{2}$ ଘଣ୍ଟା।

$\frac{1500}{x} - \frac{1500}{x+250} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow 1500 \left( \frac{x+250-x}{x(x+250)} \right) = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{1500 \times 250}{x^2+250x} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow x^2 + 250x = 750000$

$\Rightarrow x^2 + 250x - 750000 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 1000x - 750x - 750000 = 0$

$\Rightarrow x(x + 1000) - 750(x + 1000) = 0$

$\Rightarrow (x + 1000)(x - 750) = 0$

$\Rightarrow x = 750$

ଉଡ଼ାଜାହାଜର ସାଧାରଣ ବେଗ 750 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଅଟେ।