ଏଠାରେ ଆପଣଙ୍କ ପାଇଁ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (Arithmetic Progression) ଉପରେ ଆଧାରିତ ଏକ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଏବଂ ସହଜ ଷ୍ଟଡି ମ୍ୟାଟେରିଆଲ୍ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯାଇଛି।

📚 ଅଧ୍ୟାୟ ୩: ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (Arithmetic Progression - A.P.)

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଷ୍ଟଡି ନୋଟସ୍ ଏବଂ ସୂତ୍ରାବଳୀ

🔹 ୩.୧ ମୌଳିକ ଧାରଣା: ଅନୁକ୍ରମ (Sequence)

କେତେକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ନିୟମ ଅନୁସାରେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ୍ରମରେ ସଜାଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଏକ ସେଟ୍‌କୁ ଅନୁକ୍ରମ (Sequence) କୁହାଯାଏ।

ଅନୁକ୍ରମରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ତାହାର ପଦ (Terms) କୁହାଯାଏ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ସାଧାରଣତଃ ନିମ୍ନମତେ ସୂଚିତ କରାଯାଏ:

$t_1, t_2, t_3, \dots, t_n$

🔹 ୩.୨ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (A.P.) ର ସଂଜ୍ଞା

ଯଦି କୌଣସି ଏକ ଅନୁକ୍ରମରେ ଥିବା ଯେକୌଣସି ପଦ ଏବଂ ତାହାର ଠିକ୍ ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ପଦର ଅନ୍ତର (Difference) ସର୍ବଦା ଏକା ସମାନ ଥାଏ, ତେବେ ସେହି ଅନୁକ୍ରମଟିକୁ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (Arithmetic Progression ବା A.P.) କୁହାଯାଏ।

• ସେହି ସ୍ଥିର ଅନ୍ତରକୁ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର (Common Difference) କୁହାଯାଏ ଓ ଏହାକୁ $d$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ।

• A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦ କୁ ସାଧାରଣତଃ $a$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ।

• ବି.ଦ୍ର: ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d$ ର ମୂଲ୍ୟ ଧନାତ୍ମକ ($+$), ଋଣାତ୍ମକ ($-$) କିମ୍ବା ଶୂନ ($0$) ମଧ୍ୟ ହୋଇପାରେ।

💡 ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସୂତ୍ରାବଳୀ (Important Formulas)

ଗଣିତ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ମନେ ରଖିବା ନିହାତି ଆବଶ୍ୟକ:

• ପ୍ରଥମ ପଦ (First Term): $t_1 = a$

• ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର (Common Difference): $d = t_2 - t_1 = t_3 - t_2 = \dots = t_n - t_{n-1}$

• A.P. ର ସାଧାରଣ ରୂପ (General Form): $a, \quad a+d, \quad a+2d, \quad a+3d, \quad \dots$

• $n$-ତମ ପଦ ବାହାର କରିବାର ସୂତ୍ର (n-th Term Formula):

  $$t_n = a + (n - 1)d$$

• ଶେଷ ପଦ (Last Term - ଖଣ୍ଡିତ ସୀମିତ A.P. ପାଇଁ):

  $$l = a + (n - 1)d$$

📝 ସମାଧାନ ହୋଇଥିବା ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଉଦାହରଣ (Solved Examples)

ଅନୁଶୀଳନୀ 3(a) ର ସମସ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ସହଜରେ କରିବା ପାଇଁ ସୂତ୍ର $t_n = a + (n - 1)d$ ର ପ୍ରୟୋଗ ଶିଖିବା।

ଉଦାହରଣ ୧: ମନେକର ଗୋଟିଏ A.P. ହେଉଛି $3, 7, 11, 15, \dots$ । ଏହାର $15$-ତମ ପଦ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ: ଏଠାରେ ପ୍ରଦତ୍ତ A.P. ଟି ହେଉଛି: $3, 7, 11, 15, \dots$

• ପ୍ରଥମ ପଦ ($a$) $= 3$

• ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ($d$) $= t_2 - t_1 = 7 - 3 = 4$

• ଆମକୁ $15$-ତମ ପଦ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ହେବ, ଅର୍ଥାତ୍ $n = 15$।

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $t_n = a + (n - 1)d$

$t_{15} = 3 + (15 - 1) \times 4$

$t_{15} = 3 + 14 \times 4$

$t_{15} = 3 + 56 = 59$

ଉତ୍ତର: ଉକ୍ତ A.P. ର $15$-ତମ ପଦଟି $59$ ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ ୨: $21, 18, 15, \dots$ ଏହି A.P. ର କେଉଁ ପଦଟି $-81$ ଅଟେ ?

ସମାଧାନ: ଦିଆଯାଇଥିବା A.P.: $21, 18, 15, \dots$

• ପ୍ରଥମ ପଦ ($a$) $= 21$

• ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ($d$) $= t_2 - t_1 = 18 - 21 = -3$

• ମନେକର $n$-ତମ ପଦଟି ହେଉଛି $-81$, ଅର୍ଥାତ୍ $t_n = -81$ ।

ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ: $t_n = a + (n - 1)d$

$-81 = 21 + (n - 1)(-3)$

$-81 - 21 = -3(n - 1)$

$-102 = -3(n - 1)$

$n - 1 = \frac{-102}{-3}$

$n - 1 = 34 \Rightarrow n = 34 + 1 = 35$

ଉତ୍ତର: ଉକ୍ତ A.P. ର $35$-ତମ ପଦଟି $-81$ ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ ୩: ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (A.P.) ର ତୃତୀୟ ପଦ $5$ ଏବଂ ସପ୍ତମ ପଦ $9$ ହେଲେ, A.P. ଟିକୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ: ମନେକର A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦ $= a$ ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $= d$।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, ତୃତୀୟ ପଦ ($t_3$) $= 5$:

$a + (3 - 1)d = 5 \Rightarrow a + 2d = 5 \quad \dots \text{(ସମୀକରଣ i)}$

ଏବଂ ସପ୍ତମ ପଦ ($t_7$) $= 9$:

$a + (7 - 1)d = 9 \Rightarrow a + 6d = 9 \quad \dots \text{(ସମୀକରଣ ii)}$

ସମୀକରଣ (ii) ରୁ ସମୀକରଣ (i) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

$(a + 6d) - (a + 2d) = 9 - 5$

$4d = 4 \Rightarrow d = 1$

ବର୍ତ୍ତମାନ $d = 1$ ମୂଲ୍ୟକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ରଖିଲେ:

$a + 2(1) = 5 \Rightarrow a + 2 = 5 \Rightarrow a = 3$

ତେଣୁ, ପ୍ରଥମ ପଦ ($a$) $= 3$ ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ($d$) $= 1$।

A.P. ର ସାଧାରଣ ରୂପ ଅନୁଯାୟୀ: $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$

ଅର୍ଥାତ୍: $3, (3+1), (3+2), (3+3), \dots$

ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ A.P. ଟି ହେଉଛି $3, 4, 5, 6, 7, \dots$