ସମ୍ଭାବ୍ୟତା (Probability) - ମୁଖ୍ୟ ବିଷୟବସ୍ତୁ

୧. ଉପକ୍ରମଣିକା ଏବଂ ପ୍ରକାରଭେଦ (Introduction & Types)

• ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଧାରଣା ସାଧାରଣତଃ ବିଭିନ୍ନ ପରୀକ୍ଷଣ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ଉପରେ ଆଧାରିତ ହୋଇଥାଏ.

• ଏକ ପରୀକ୍ଷଣରୁ ମିଳୁଥିବା ଫଳାଫଳର ପ୍ରକୃତ ଉପସ୍ଥାପନା ଦ୍ଵାରା କରାଯାଉଥିବା ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣକୁ ଆନୁଭବିକ (Empirical) ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କୁହାଯାଏ.

• ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଅନ୍ୟ ଏକ ରୂପ ହେଉଛି ତତ୍ତ୍ଵାଧାରିକ (Theoretical କିମ୍ବା Classical) ସମ୍ଭାବ୍ୟତା, ଯାହା ପୂର୍ବରୁ ପରୀକ୍ଷଣ ସିଦ୍ଧ ଏବଂ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ଯେକୌଣସି ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିର୍ଣ୍ଣୟରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିଥାଏ.

୨. ମୁଖ୍ୟ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର (Key Formulas)

• ଆନୁଭବିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା: ଏକ ଘଟଣାର ଆନୁଭବିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ:

  • ଆନୁଭବିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{\text{ଆବଶ୍ୟକ ଫଳଟିର ବାରମ୍ବାରତା}}{\text{ପରୀକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା}}$.

• ତତ୍ତ୍ଵାଧାରିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା: ଏହା ନିମ୍ନ ସୂତ୍ର ଉପରେ ପର୍ଯ୍ୟବେସିତ:

  • ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{\text{ଘଟଣା ଦ୍ବାରା ଅନୁଗୃହିତ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା}}{\text{ପରୀକ୍ଷଣର ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା}}$.

୩. ମୌଳିକ ଏବଂ ପରିପୂରକ ଘଟଣା (Elementary & Complementary Events)

• ମୌଳିକ ଘଟଣା (Elementary Event): ପରୀକ୍ଷଣରେ କେବଳ ଏକ ଉପାଦାନ ବିଶିଷ୍ଟ ଘଟଣାକୁ ମୌଳିକ ଘଟଣା କୁହାଯାଏ.

• ଗୋଟିଏ ପରୀକ୍ଷଣରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ଘଟଣା ଗୁଡ଼ିକର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା $1$ ହୋଇଥାଏ.

• ପରିପୂରକ ଘଟଣା (Complementary Event): ଯଦି ଏକ ଘଟଣା $E$ ହୁଏ, ତେବେ ତାହାର ପରିପୂରକ ଘଟଣାକୁ $\overline{E}$ ଆକାରରେ ଦର୍ଶାଯାଏ.

• ଏକ ଘଟଣା ଏବଂ ତାହାର ପରିପୂରକ ଘଟଣା ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ପାଇଁ ନିୟମ ହେଉଛି: $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$.

୪. ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଐତିହାସିକ ତଥ୍ୟ (Historical Facts) ପ୍ରସିଦ୍ଧ ଗଣିତଜ୍ଞମାନଙ୍କ ପରୀକ୍ଷଣରୁ ପ୍ରମାଣିତ ହୋଇଛି ଯେ ପରୀକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା ବୃଦ୍ଧି ପାଇଲେ ଆନୁଭବିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ଵାଧାରିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ନିକଟତର ହୁଏ.

• Comte de Buffon: 4040 ଥର ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ କରି 2048 ଥର ‘H’ ପାଇଥିଲେ (ସମ୍ଭାବ୍ୟତା $0.507$).

• J.E. Kerrich: 10000 ଥର ଟସ୍ କରି 5067 ଥର ‘H’ ପାଇଥିଲେ (ସମ୍ଭାବ୍ୟତା $0.5067$).

• Karl Pearson: 24000 ଥର ଟସ୍ କରି 12012 ଥର ‘H’ ପାଇଥିଲେ (ସମ୍ଭାବ୍ୟତା $0.5005$).

୫. ସମାଧାନ ହୋଇଥିବା କେତେକ ଉଦାହରଣର ସାରାଂଶ (Summary of Solved Examples)

• ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ 20 ଥର ଟସ୍ କଲାବେଳେ ଯଦି 7 ଥର ‘T’ ଆସେ, ତେବେ $P(T) = \frac{7}{20}$ ହେବ ଏବଂ ଅବଶିଷ୍ଟ 13 ଥର ‘H’ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା $P(H) = \frac{13}{20}$ ହେବ.

• ଗୋଟିଏ ବ୍ୟାଗରେ ସମାନ ଆକୃତିର 1ଟି ଲାଲ୍, 1ଟି ନୀଳ, ଏବଂ 1ଟି ହଳଦିଆ ଗୋଟି ଥିଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକଟି ବାହାରିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା $\frac{1}{3}$ ଅଟେ ଏବଂ ଏଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି $1$ ଅଟେ ($\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$).

• ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକ ସଙ୍ଗେ ଟସ୍ କଲେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳ 4 ଟି ଆସେ ($HH$, $HT$, $TH$, $TT$). ଅତିକମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ ‘H’ ଆସିବା ଘଟଣାରେ 3ଟି ଫଳାଫଳ ଆସେ ($HH$, $HT$, $TH$), ତେଣୁ ଏହାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ହେଉଛି $\frac{3}{4}$.

ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ (Sample Space - S)

ଏକ ପରୀକ୍ଷଣର ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳାଫଳକୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍‌କୁ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ ($S$) କୁହାଯାଏ ।

• ମୁଦ୍ରା ଥରେ ଟସ୍ କଲେ: $S = \{H, T\}$; $|S| = 2$

• ଲୁଡ଼ୁ ଗୋଟି ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$; $|S| = 6$

• ମୁଦ୍ରା $n$ ଥର ଟସ୍ କଲେ: ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳ ସଂଖ୍ୟା = $2^n$

• ଲୁଡ଼ୁ ଗୋଟି $n$ ଥର ଗଡ଼ାଇଲେ: ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳ ସଂଖ୍ୟା = $6^n$