📝 ଅନୁଶୀଳନୀ - 1 - 2 (a)

(କ - ବିଭାଗ)

1. ଉକ୍ତିଟି ଠିକ୍ ଥିଲେ T ଏବଂ ଭୁଲ ଥିଲେ F ଲେଖ ।

• Question (i): ଏକ ସମତଳରେ ଥିବା ଏକ ବକ୍ରରେଖାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁ ଉକ୍ତ ସମତଳ ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁଠାରୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଦୂରତାରେ ଥିଲେ ବକ୍ରରେଖାଟିକୁ ବୃତ୍ତ କୁହାଯାଏ ।

  • Answer: ✅ T

  • Reason: ଏହା ହେଉଛି ଏକ ବୃତ୍ତର ପ୍ରକୃତ ସଂଜ୍ଞା (definition)। ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଦୂରତାଟି ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଅଟେ ଏବଂ ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁଟି କେନ୍ଦ୍ର ଅଟେ।

• Question (ii): ବୃତ୍ତର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁ କୌଣସି ଏକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଏକ ପ୍ରାନ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ଅଟେ ।

  • Answer: ✅ T

  • Reason: ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ହେଉଛି କେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁ ଏବଂ ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ଯେକୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡ। ତେଣୁ ବୃତ୍ତ ଉପରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁ ଏହାର ଏକ ପ୍ରାନ୍ତ ବିନ୍ଦୁ (endpoint) ଅଟେ।

• Question (iii): ଏକ ବୃତ୍ତର ଅସଂଖ୍ୟ ବ୍ୟାସ ରହିଛି ।

  • Answer: ✅ T

  • Reason: ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଦେଇ ଅସଂଖ୍ୟ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରାଯାଇପାରିବ, ତେଣୁ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟ ଅସୀମ ଅଟେ।

• Question (iv): କେନ୍ଦ୍ର, ବୃତ୍ତର ଏକମାତ୍ର ବିନ୍ଦୁ ଯାହା ବୃତ୍ତର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବ୍ୟାସ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

  • Answer: ❌ F

  • Reason: କେନ୍ଦ୍ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବ୍ୟାସ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ଥାଏ ସତ, କିନ୍ତୁ ଏହା ‘ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ’ (on the circle) ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନୁହେଁ। ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଏହାର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ (interior) ଥାଏ।

• Question (v): ଏକ ଜ୍ୟା ବୃତ୍ତର ଅନ୍ତର୍ଦେଶକୁ ଯେଉଁ ଦୁଇ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ସେମାନେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ ଅଟନ୍ତି ।

  • Answer: ✅ T

  • Reason: ବୃତ୍ତର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ନିଜେ ଏକ ଉତ୍ତଳ (convex) ସେଟ୍ ଏବଂ ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା (ଜ୍ୟା) ଏହାକୁ ସର୍ବଦା ଦୁଇଟି ଉତ୍ତଳ ଅଂଶରେ ହିଁ ବିଭକ୍ତ କରିଥାଏ।

• Question (vi): ବୃତ୍ତର ଏକ ବ୍ୟାସ ଗୋଟିଏ ଜ୍ୟାକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କଲେ ସେମାନେ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଟନ୍ତି ।

  • Answer: ❌ F

  • Reason: ଏହା କେବଳ ସେତେବେଳେ ସତ୍ୟ ହେବ ଯଦି ଜ୍ୟାଟି ନିଜେ ଏକ ‘ବ୍ୟାସ’ ନ ହୋଇଥିବ। ଯଦି ଉଭୟ ବ୍ୟାସ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ସେମାନେ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରିବେ କିନ୍ତୁ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ($90^\circ$) ହେବା ବାଧ୍ୟତାମୂଳକ ନୁହେଁ।

• Question (vii): ପ୍ରତ୍ୟେକ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିକେନ୍ଦ୍ର ଏହାର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।

  • Answer: ❌ F

    

  • Reason: କେବଳ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିକେନ୍ଦ୍ର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଥାଏ। ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିକେନ୍ଦ୍ର କର୍ଣ୍ଣ ଉପରେ ଏବଂ ସ୍ଥୂଳକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର (obtuse triangle) ପରିକେନ୍ଦ୍ର ତ୍ରିଭୁଜର ବହିର୍ଦେଶରେ ଅବସ୍ଥିତ ଥାଏ।

• Question (viii): ଏକ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର, ଏହାର ଏକମାତ୍ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ଯାହାଠାରୁ ବୃତ୍ତର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା ସମାନ ।

  • Answer: ✅ T

  • Reason: ଏହା ବୃତ୍ତର ମୌଳିକ ନିୟମ। କେବଳ କେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁ ଠାରୁ ହିଁ ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା (ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ) ସମାନ ହୋଇଥାଏ।

• Question (ix): ଏକ ରଶ୍ମୀ ବୃତ୍ତକୁ ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । ତେବେ ରଶ୍ମୀର ଆଦ୍ୟ ବିନ୍ଦୁଟି ବୃତ୍ତର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

  • Answer: ❌ F

  • Reason: ଏକ ରଶ୍ମୀ ଯଦି ବୃତ୍ତ ପ୍ରତି ଏକ ସ୍ପର୍ଶକ (tangent) ହୋଇଥାଏ, ତେବେ ତାହା ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ। କିନ୍ତୁ ସେ କ୍ଷେତ୍ରରେ ରଶ୍ମୀର ଆଦ୍ୟ ବିନ୍ଦୁଟି ବୃତ୍ତର ବହିର୍ଦେଶରେ (exterior) ରହିପାରିବ।

• Question (x): ଏକ ବୃତ୍ତରେ $\overline{AB}$ ଓ $\overline{BC}$ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା ହେଲେ B ବିନ୍ଦୁଗାମୀ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ, $\angle ABC$ କୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରେ ।

  • Answer: ✅ T

    

  • Reason: ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର $O$ ନେଲେ, $\Delta ABO$ ଏବଂ $\Delta CBO$ ସର୍ବସମ (SSS ସର୍ବସମତା: $AB=BC$, $OA=OC$, $OB$ ସାଧାରଣ ବାହୁ) ହେବେ। ଅତଏବ $\angle ABO = \angle CBO$ ହେବ, ଯାହା ପ୍ରମାଣ କରେ ଯେ ତାହା ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରେ।

• Question (xi): ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ ଦୁଇ ବା ତତୋଧିକ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।

  • Answer: ❌ F

  • Reason: ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ ଅନେକ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ହୋଇପାରିବ। ଏଗୁଡ଼ିକୁ ଏକକେନ୍ଦ୍ରିକ ବୃତ୍ତ (Concentric circles) କୁହାଯାଏ।

• Question (xii): ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତକୁ ସର୍ବଦା ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।

  • Answer: ❌ F

  • Reason: ଏକ ସରଳରେଖା ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତକୁ 2ଟି ବିନ୍ଦୁରେ (ଛେଦକ), 1ଟି ବିନ୍ଦୁରେ (ସ୍ପର୍ଶକ), କିମ୍ବା 0 ବିନ୍ଦୁରେ (ବୃତ୍ତ ବାହାରେ) ଛେଦ କରିପାରେ। “ସର୍ବଦା” 2ଟି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବା କହିବା ଭୁଲ୍ ଅଟେ।

2. ପ୍ରଦତ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତରରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

Question (i): ଦୁଇଟି ଅସମାନ୍ତର ଜ୍ୟାର ଛେଦବିନ୍ଦୁ … ଅଟେ । 🤔

(a) ବୃତ୍ତର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ

(b) ବୃତ୍ତର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ

© ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ

(d) ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ କିମ୍ବା ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ

• Answer: (d) ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ କିମ୍ବା ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ✅

• Reason: ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଅସମାନ୍ତର ଜ୍ୟା (line segments) ପରସ୍ପରକୁ ବୃତ୍ତର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ (ଭିତରେ) ଛେଦ କରିପାରନ୍ତି କିମ୍ବା ସେମାନଙ୍କର ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଥିଲେ ସେମାନେ ବୃତ୍ତ ଉପରେ ମଧ୍ୟ ଛେଦ କରିପାରନ୍ତି।

Question (ii): P ବିନ୍ଦୁ ବୃତ୍ତର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ବୃତ୍ତ ଉପରେ P ଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ … ଯୋଡ଼ା ବିନ୍ଦୁ ଅଛି । 📍

(a) 1

(b) 2

(c.) 8

(d) ଅସଂଖ୍ୟ

• Answer: (d) ଅସଂଖ୍ୟ ✅

• Reason: P ବିନ୍ଦୁକୁ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ସହ ଯୋଗ କରୁଥିବା ସରଳରେଖା ଏହି ବୃତ୍ତର ଏକ ପ୍ରତିସମ ଅକ୍ଷ (axis of symmetry) ଭାବରେ କାର୍ଯ୍ୟ କରେ। ଏହି ଅକ୍ଷର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ବୃତ୍ତର ପରିଧି ଉପରେ ଅସଂଖ୍ୟ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁ-ଯୋଡ଼ା ଅବସ୍ଥିତ ଥାଏ।

Question (iii): ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡ ସର୍ବାଧିକ … ଟି ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ହୋଇ ପାରିବ । 📏

(a) 1

(b) 2

© 4

(d) ଅସଂଖ୍ୟ

• Answer: (b) 2 ✅



• Reason: ଏକ ସରଳରେଖା ଖଣ୍ଡର କେବଳ 2 ଟି ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଥାଏ। ସେହି ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ହିସାବରେ ନେଇ ତାହାର ଦୁଇଟି ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁରେ କେନ୍ଦ୍ର ରଖି ଆମେ ସର୍ବାଧିକ 2 ଟି ସମତଳୀୟ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କରିପାରିବା।

Question (iv): ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡ ସର୍ବାଧିକ … ଟି ବୃତ୍ତର ଜ୍ୟା ହୋଇପାରିବ । ✍️

(a) 1

(b) 2

© 4

(d) ଅସଂଖ୍ୟ

• Answer: (d) ଅସଂଖ୍ୟ ✅

• Reason: ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ (perpendicular bisector) ଉପରେ ଥିବା ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କଲେ, ଉକ୍ତ ରେଖାଖଣ୍ଡଟି ସେହି ବୃତ୍ତର ଏକ ଜ୍ୟା ହେବ। ଏହି ଲମ୍ବରେଖା ଉପରେ ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ଥିବାରୁ, ଏହା ଅସଂଖ୍ୟ ବୃତ୍ତର ଜ୍ୟା ହୋଇପାରିବ।

Question (v): ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଏକ ଜ୍ୟାର ଗୋଟିଏ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ 5 ସେ.ମି. ଦୂରରେ ଏବଂ ଜ୍ୟାଟିର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ 3 ସେ.ମି ଦୂରରେ ଅଛି । ଜ୍ୟାଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ … ସେ.ମି. । 📐

(a) 8

(b) 12

© 16

(d) 20

• Answer: (a) 8 ✅

• Reason: କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ଜ୍ୟାର ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା (ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ, $r$) $= 5$ ସେ.ମି.। କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ଜ୍ୟାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା (ଲମ୍ବ ଦୂରତା, $d$) $= 3$ ସେ.ମି.।

  

  ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, ଜ୍ୟାର ଅଧା ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେବ:

  $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ ସେ.ମି.।

  ତେଣୁ, ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= 2 \times 4 = 8$ ସେ.ମି. ହେବ

(ଖ - ବିଭାଗ)

Question 3: ❓ ଏକ ବୃତ୍ତର 16 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ଜ୍ୟା ଏକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $\overline{OP}$ ଦ୍ୱାରା D ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ ହୁଏ । ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 10 ସେ.ମି. ହେଲେ $\overline{DP}$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer: 💡

ଦତ୍ତ ଅଛି ଯେ, ବୃତ୍ତର ଜ୍ୟା $AB = 16$ ସେ.ମି. ।

ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $\overline{OP}$, ଜ୍ୟା $\overline{AB}$ କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରେ,
ତେଣୁ $AD = DB = \frac{16}{2} = 8$ ସେ.ମି. ।

ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = OA = OP = 10$ ସେ.ମି. ।

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଜ୍ୟାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଅଙ୍କିତ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଟେ, ଅର୍ଥାତ୍ $\Delta ODA$ ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର $\angle ODA = 90^\circ$ ।

ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ, କେନ୍ଦ୍ର ଠାରୁ ଜ୍ୟାର ଦୂରତା:

$$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2}$$

$$OD = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ ସେ.ମି.}$$

$\overline{OP}$ ଏକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ହୋଇଥିବାରୁ ଏହାର
ସମୁଦାୟ ଦୈର୍ଘ୍ୟ $OP = 10$ ସେ.ମି. ।

ବର୍ତ୍ତମାନ, $DP = OP - OD = 10 - 6 = 4$ ସେ.ମି. ।
ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: $\overline{DP}$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେଉଛି 4 ସେ.ମି. । 📏

Question 4: ❓ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O । ଏକ ଜ୍ୟା $\overline{AB}$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $\overline{OD}$, $\angle AOB$ କୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରେ ।

Answer: 💡

• ଦତ୍ତ: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O ଏବଂ ଜ୍ୟା $\overline{AB}$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D (ଅର୍ଥାତ୍ $AD = BD$) ।

• ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: $\overline{OD}$ ରେଖାଖଣ୍ଡଟି $\angle AOB$ କୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରେ, ଅର୍ଥାତ୍ $\angle AOD = \angle BOD$ ।

• ପ୍ରମାଣ: $\Delta AOD$ ଏବଂ $\Delta BOD$ ମଧ୍ୟରେ ତୁଳନା କଲେ:

  1. $OA = OB$ (ଏକା ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ହୋଇଥିବାରୁ)

  2. $AD = BD$ (ଦତ୍ତ, କାରଣ D ହେଉଛି ଜ୍ୟାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ)

  3. $OD = OD$ (ଉଭୟ ତ୍ରିଭୁଜର ସାଧାରଣ ବାହୁ)

• ବାହୁ-ବାହୁ-ବାହୁ (SSS) ସର୍ବସମତା ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ, $\Delta AOD \cong \Delta BOD$ ।

• ତେଣୁ, ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ କୋଣ ହିସାବରେ $\angle AOD = \angle BOD$ ହେବ।

  ପ୍ରମାଣିତ: ଅତଏବ, $\overline{OD}$, $\angle AOB$ କୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରେ। ✅

  

Question 5: ❓ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O । ଏହାର $\overline{AB}$ ଓ $\overline{AC}$ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $\overline{OA}$, $\angle BAC$ କୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରେ ।

Answer: 💡

• ଦତ୍ତ: O କେନ୍ଦ୍ର ବିଶିଷ୍ଟ ବୃତ୍ତରେ $\overline{AB}$ ଏବଂ $\overline{AC}$ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା ଅର୍ଥାତ୍ $AB = AC$ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: $\overline{OA}$ ରେଖାଖଣ୍ଡଟି $\angle BAC$ କୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରେ, ଅର୍ଥାତ୍ $\angle OAB = \angle OAC$ ।

ଅଙ୍କନ: $\overline{OB}$ ଏବଂ $\overline{OC}$ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧଗୁଡ଼ିକୁ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ।

ପ୍ରମାଣ: $\Delta OAB$ ଏବଂ $\Delta OAC$ ମଧ୍ୟରେ ତୁଳନା କଲେ:
$OB = OC$ (ଏକା ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ)

$AB = AC$ (ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦତ୍ତ)
$OA = OA$ (ସାଧାରଣ ବାହୁ)

• ବାହୁ-ବାହୁ-ବାହୁ (SSS) ସର୍ବସମତା ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ, $\Delta OAB \cong \Delta OAC$ ।

• ଏଣୁ ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ କୋଣ ହିସାବରେ, $\angle OAB = \angle OAC$ ହେବ।

  ପ୍ରମାଣିତ: ଅତଏବ, $\overline{OA}$, $\angle BAC$ କୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରେ। ✅

Question 6: ❓ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O ଏବଂ $\overline{AB}$ ଓ $\overline{CD}$ ଏହାର ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ଜ୍ୟା । P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ $\overline{AB}$ ଓ $\overline{CD}$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ O ବିନ୍ଦୁ, $\overleftrightarrow{PQ}$ ଉପରିସ୍ଥ ହେବ ।

Answer: 💡

ଦତ୍ତ: ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O । ଦୁଇଟି ଜ୍ୟା ସମାନ୍ତର ଅର୍ଥାତ୍ $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ । P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ $\overline{AB}$ ଓ $\overline{CD}$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: କେନ୍ଦ୍ର O ବିନ୍ଦୁଟି ସରଳରେଖା $\overleftrightarrow{PQ}$ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

ପ୍ରମାଣ:

ଜ୍ୟାମିତିର ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରରୁ କୌଣସି ଜ୍ୟାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ସଂଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡ ଉକ୍ତ ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଟେ।
ଯେହେତୁ P ହେଉଛି $\overline{AB}$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ତେଣୁ $\overline{OP} \perp \overline{AB}$ । ଏହାର ଅର୍ଥ କୋଣ $\angle OPB = 90^\circ$ ।
ସେହିପରି Q ହେଉଛି $\overline{CD}$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ତେଣୁ $\overline{OQ} \perp \overline{CD}$ । ଅର୍ଥାତ୍ $\angle OQD = 90^\circ$ ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ଜ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ସମାନ୍ତର, ଅର୍ଥାତ୍ $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ ।

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ପ୍ରତି ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ (O) ରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବଗୁଡ଼ିକ ଏକ ସରଳରେଖାରେ (collinear) ଅବସ୍ଥାନ କରନ୍ତି।

ତେଣୁ $\overline{OP}$ ଏବଂ $\overline{OQ}$ ମିଶି ଗୋଟିଏ ଏକମାତ୍ର ସରଳରେଖା $\overleftrightarrow{PQ}$ ଗଠନ କରନ୍ତି ଯାହା O ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଗତି କରେ।

ପ୍ରମାଣିତ: ଅତଏବ, ସରଳରେଖା $\overleftrightarrow{PQ}$ ଉପରେ କେନ୍ଦ୍ର O ବିନ୍ଦୁଟି ଅବସ୍ଥିତ। ✅

Question 7: 🔺 ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିକେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନେ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ - ପ୍ରମାଣ କର ।

Answer: 💡

ଦତ୍ତ: ABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ, ଅର୍ଥାତ୍ $AB = BC = CA$ । O ହେଉଛି ଏହାର ପରିକେନ୍ଦ୍ର ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: ପରିକେନ୍ଦ୍ର O ଠାରୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନେ ($AB$, $BC$, $CA$) ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ।

ପ୍ରମାଣ: ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଥିବା ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଜ୍ୟାମାନେ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ହୋଇଥାଆନ୍ତି ।

ଯେହେତୁ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମବାହୁ ଅଟେ, ଏହାର ତିନୋଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ
($AB = BC = CA$) ।

ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତ ପାଇଁ ଏହି ତିନୋଟି ବାହୁ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଜ୍ୟା ଭାବରେ କାର୍ଯ୍ୟ କରନ୍ତି ।

ତେଣୁ, ଏହି ସର୍ବସମ ଜ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ (ବାହୁଗୁଡ଼ିକ) ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର (ପରିକେନ୍ଦ୍ର O) ଠାରୁ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ହେବେ ।

(ପ୍ରମାଣିତ) ✌️

Question 8: ⭕ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ବୃତ୍ତରେ ଏକ ବ୍ୟାସ ଏହାର ବୃହତ୍ତମ ଜ୍ୟା । (ସୂଚନା : ଏକ ଜ୍ୟାର କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ଦୂରତା $d \ge 0$ ଏବଂ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ r ହେଲେ ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $2\sqrt{r^2 - d^2} \le 2r$ = ବ୍ୟାସ) ।

Answer: 💡

ଦତ୍ତ: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ହେଉଛି r ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: ବ୍ୟାସ ହିଁ ବୃତ୍ତର ସର୍ବବୃହତ୍ ଜ୍ୟା ଅଟେ ।

ପ୍ରମାଣ: ଧରାଯାଉ ବୃତ୍ତର ଏକ ଜ୍ୟାର କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ଲମ୍ବ ଦୂରତା ହେଉଛି d । ଏଠାରେ ଦୂରତା କେବେବି ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ, ତେଣୁ $d \ge 0$ ।

ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ: ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $2\sqrt{r^2 - d^2}$ ।

ଏହି ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟଟି ସର୍ବାଧିକ ହେବ ଯେତେବେଳେ ବିୟୋଗ କରାଯାଉଥିବା ରାଶି $d^2$ ର ମୂଲ୍ୟ ସର୍ବନିମ୍ନ ହେବ ।

$d^2$ ର ସର୍ବନିମ୍ନ ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି 0 (ଯେତେବେଳେ d = 0 ହୁଏ, ଅର୍ଥାତ୍ ଜ୍ୟାଟି କେନ୍ଦ୍ର ଦେଇ ଗତି କରେ) ।

ସେହି ସମୟରେ ସର୍ବାଧିକ ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $2\sqrt{r^2 - 0} = 2r$ ।

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ 2r ହେଉଛି ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ।

ଅତଏବ, ଏହା ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା ଯେ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ହିଁ ଏହାର ସର୍ବବୃହତ୍ ଜ୍ୟା ଅଟେ ।

(ପ୍ରମାଣିତ) 💯

Question 9: 📏 ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ଜ୍ୟାର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଅବସ୍ଥିତ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଜ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ନୁହଁନ୍ତି ।

Answer: 💡

ଦତ୍ତ: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ଜ୍ୟା $AB$ ଏବଂ $CD$ ଅଛି । ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O ଉଭୟ ଜ୍ୟାର ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: ଜ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ନୁହେଁ, ଅର୍ଥାତ୍ $AB \neq CD$ ।

ପ୍ରମାଣ:

କେନ୍ଦ୍ର O ରୁ ଜ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ । ଧରାଯାଉ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ପ୍ରଥମ ଜ୍ୟାର ଦୂରତା $d_1$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟ ଜ୍ୟାର ଦୂରତା $d_2$ ।

ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ଜ୍ୟା କେନ୍ଦ୍ରର ଏକା ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିଲେ ଏବଂ ସେମାନେ ସମାପତିତ ନ ହେଲେ, ସେମାନେ କେବେବି କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ହୋଇପାରିବେ ନାହିଁ ।
ଗୋଟିଏ ଜ୍ୟା ଅନ୍ୟଟି ଅପେକ୍ଷା କେନ୍ଦ୍ରର ନିକଟତର ହେବା ବାଧ୍ୟତାମୂଳକ ଅଟେ (ଅର୍ଥାତ୍ $d_1 \neq d_2$) ।

ଜ୍ୟାମିତିର ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, କେବଳ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ଜ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହିଁ ସମାନ ହୋଇଥାଏ ।

ଏଠାରେ $d_1 \neq d_2$ ହୋଇଥିବାରୁ ଜ୍ୟାମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।

ଅତଏବ, ଜ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ନୁହଁନ୍ତି ।

(ପ୍ରମାଣିତ) 🛡️

Question 10: $\overline{AB}$ ଓ $\overline{CD}$ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ଜ୍ୟା । $AB = CD = 8$ ସେ.ମି. । ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 5 ସେ.ମି. ହେଲେ ଜ୍ୟା ଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 📏

Answer:

• ଦତ୍ତ ଅଛି, ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ଜ୍ୟା $AB = 8$ ସେ.ମି. ଏବଂ $CD = 8$ ସେ.ମି. । ଉଭୟଙ୍କ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ।

• ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ, $r = 5$ ସେ.ମି. ।

• କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ଜ୍ୟାକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରେ। ତେଣୁ ଜ୍ୟାର ଅଧା ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= 8 / 2 = 4$ ସେ.ମି. ।

• ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ଗୋଟିଏ
  ଜ୍ୟାର ଦୂରତା $= \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ ସେ.ମି. ।

• ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଏବଂ ସେମାନେ ସମାନ୍ତର, ସେମାନେ କେନ୍ଦ୍ରର ଦୁଇ ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଅବସ୍ଥିତ ରହିବେ।

• ଅତଏବ, ଜ୍ୟା ଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଦୂରତା $= 3 + 3 = 6$ ସେ.ମି. ଅଟେ । ✅

Question 11: (ଗ - ବିଭାଗ) 10 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ଜ୍ୟା $\overline{AB}$ ଓ $\overline{CD}$ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା 10 ସେ.ମି. । $\overline{AB}$ ଜ୍ୟା କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ 6 ସେ.ମି. ଦୂରରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେଲେ $\overline{AB}$ ଓ $\overline{CD}$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 📐

Answer:

1. ଦତ୍ତ ଅଛି, ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 10$ ସେ.ମି. । କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ $\overline{AB}$ ଜ୍ୟାର ଦୂରତା $d_1 = 6$ ସେ.ମି. ।

2. $\overline{AB}$ ଜ୍ୟାର ଅଧା ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ ସେ.ମି. ।

3. ତେଣୁ, $\overline{AB}$ ଜ୍ୟାର ମୋଟ ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= 2 \times 8 = 16$ ସେ.ମି. ।

   ଜ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ମୋଟ ଦୂରତା 10 ସେ.ମି. ଅଟେ।

• ତେଣୁ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ $\overline{CD}$ ଜ୍ୟାର ଦୂରତା
• $d_2 = 10 - 6 = 4$ ସେ.ମି. ହେବ (କାରଣ ସେମାନେ କେନ୍ଦ୍ରର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ

ଥାଆନ୍ତି) ।

• $\overline{CD}$ ଜ୍ୟାର ଅଧା ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= \sqrt{10^2 - 4^2}$

• = $\sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$ ସେ.ମି. ।

• ତେଣୁ, $\overline{CD}$ ଜ୍ୟାର ମୋଟ ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= 2 \times 2\sqrt{21} = 4\sqrt{21}$ ସେ.ମି. ଅଟେ । ✅

Question 12: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ $\Delta ABC$ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ହୋଇଛି । ଯଦି $AB = AC$ ହୁଏ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $\angle BAC$ ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ବିନ୍ଦୁଗାମୀ ଅଟେ । ⭕

Answer:

• ଦତ୍ତ: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ $\Delta ABC$ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ଏବଂ $AB = AC$ ।

• ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: $\angle BAC$ ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଦେଇ ଗତି କରେ ।

• ପ୍ରମାଣ: ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ବୃତ୍ତର ସମାନ ଜ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ଏବଂ ପ୍ରତିସମ ଅଟନ୍ତି।

• ଏଠାରେ ଜ୍ୟା $AB = AC$ ହୋଇଥିବାରୁ, $\Delta ABC$ ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ।

• ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂମି ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ (ଯାହା ଭୂମିକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରେ) ଏବଂ କୋଣର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ସମାନ ରେଖା ଅଟନ୍ତି।

• ବୃତ୍ତର ଜ୍ୟା $BC$ ର ଲମ୍ବ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ସର୍ବଦା ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଦେଇ ଗତି କରେ। ଏହି ଲମ୍ବ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକଟି ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ A ଦେଇ ଗତି କରୁଥିବାରୁ ଏବଂ $AB=AC$ ହୋଇଥିବାରୁ, ତାହା ମଧ୍ୟ $\angle BAC$ ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ହେବ।

• ଅତଏବ, $\angle BAC$ ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ବିନ୍ଦୁଗାମୀ ଅଟେ। (ପ୍ରମାଣିତ) ✅

Question 13: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଜ୍ୟା ଏକ ବ୍ୟାସ ଦ୍ୱାରା ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଜ୍ୟା ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର । ➖

Answer:

• ଦତ୍ତ: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଜ୍ୟା ଧରାଯାଉ $\overline{AB}$ ଏବଂ $\overline{CD}$ ଏକ ବ୍ୟାସ ଦ୍ୱାରା ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ ହେଉଛନ୍ତି।

• ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ (ଜ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ସମାନ୍ତର ଅଟନ୍ତି)।

• ପ୍ରମାଣ: ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଏକ ଜ୍ୟାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ସରଳରେଖା ସେହି ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ($90^\circ$) ଅଟେ।

• ଯେହେତୁ ବ୍ୟାସଟି $\overline{AB}$ କୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରୁଛି, ସେହି ବ୍ୟାସଟି $\overline{AB}$ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଟେ।

• ସେହିପରି, ଯେହେତୁ ସେହି ବ୍ୟାସଟି $\overline{CD}$ କୁ ମଧ୍ୟ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରୁଛି, ତାହା $\overline{CD}$ ପ୍ରତି ମଧ୍ୟ ଲମ୍ବ ଅଟେ।

• ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଉପରେ ଦୁଇଟି ଲମ୍ବ ଥିଲେ, ସେହି ଦୁଇଟି ରେଖା ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ହୁଅନ୍ତି।

• ତେଣୁ, ଜ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ଅଟନ୍ତି। (ପ୍ରମାଣିତ) ✅

Question 14: ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଜ୍ୟା ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କଲେ ସେମାନଙ୍କ ଛେଦବିନ୍ଦୁ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ହେବ । (ସୂଚନା : ଅସମ୍ଭବାୟନ ପ୍ରଣାଳୀ (Method of contradiction) ବ୍ୟବହାର କର) 🎯

Answer:

• ଦତ୍ତ: ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଜ୍ୟା $\overline{AB}$ ଏବଂ $\overline{CD}$ ପରସ୍ପରକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି।

• ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: ଛେଦବିନ୍ଦୁ P ହେଉଛି ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର (O) ।

• ପ୍ରମାଣ: ଅସମ୍ଭବାୟନ ପ୍ରଣାଳୀ ବ୍ୟବହାର କରି, ଧରାଯାଉ P ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ନୁହେଁ। ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ହେଉଛି O ଏବଂ O ରୁ P କୁ ଯୋଗ କରାଯାଉ ($\overline{OP}$)।

• ଯେହେତୁ P ବିନ୍ଦୁ $\overline{AB}$ ଜ୍ୟାକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରେ, $\overline{OP} \perp \overline{AB}$ (ଅର୍ଥାତ୍ $\angle OPB = 90^\circ$) ।

• ସେହିପରି, P ବିନ୍ଦୁ $\overline{CD}$ ଜ୍ୟାକୁ ମଧ୍ୟ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରେ, ତେଣୁ $\overline{OP} \perp \overline{CD}$ (ଅର୍ଥାତ୍ $\angle OPD = 90^\circ$) ।

• ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି P ବିନ୍ଦୁ ଠାରେ ରେଖାଖଣ୍ଡ $\overline{OP}$ ଉପରେ ଏକକାଳୀନ ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ସରଳରେଖା ଲମ୍ବ ହୋଇଛନ୍ତି, ଯାହାକି ଗାଣିତିକ ଜ୍ୟାମିତି ଅନୁସାରେ ଅସମ୍ଭବ। ଏହା କେବଳ ସେତେବେଳେ ସମ୍ଭବ ଯଦି O ଏବଂ P ଏକା ବିନ୍ଦୁ ହୋଇଥିବେ।

• ସୁତରାଂ, ଆମର ଧାରଣା ଭୁଲ ଥିଲା। ଛେଦବିନ୍ଦୁ P ହିଁ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଅଟେ। (ପ୍ରମାଣିତ) ✅

Question 15: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଜ୍ୟା $\overline{AB}$ ଓ $\overline{BC}$, $B$ ଠାରେ $90^\circ$ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରନ୍ତି । ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର $O$ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $A$, $O$ ଏବଂ $C$ ଏକ ଏକରେଖୀୟ । ⭕

Answer: 💡

• ଦତ୍ତ: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ଜ୍ୟା $\overline{AB}$ ଓ $\overline{BC}$ ପରସ୍ପର ସହ $B$ ଠାରେ $90^\circ$ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରୁଛନ୍ତି, ଅର୍ଥାତ୍ $\angle ABC = 90^\circ$ । କେନ୍ଦ୍ର ହେଉଛି $O$ ।

• ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: $A$, $O$ ଏବଂ $C$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖୀୟ (collinear)।

• ପ୍ରମାଣ:

  • ଜ୍ୟାମିତିର ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ କୌଣସି ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତର ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ କୋଣ ସର୍ବଦା ଏକ ସମକୋଣ ଅର୍ଥାତ୍ $90^\circ$ ହୋଇଥାଏ।

  • ଯେହେତୁ ପ୍ରଶ୍ନରେ $\angle ABC = 90^\circ$ ଦିଆଯାଇଛି, ଏହା ସ୍ପଷ୍ଟ କରେ ଯେ ଜ୍ୟା $\overline{AC}$ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ବୃତ୍ତର ଏକ ବ୍ୟାସ ଅଟେ।

  • ବୃତ୍ତର କୌଣସି ବି ବ୍ୟାସ ସର୍ବଦା ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରଦେଇ ଗତି କରିଥାଏ। ତେଣୁ ବ୍ୟାସ $\overline{AC}$ ନିଶ୍ଚୟ କେନ୍ଦ୍ର $O$ ଦେଇ ଗତି କରିବ।

  • ଅତଏବ, ବିନ୍ଦୁ $A$, କେନ୍ଦ୍ର $O$ ଏବଂ ବିନ୍ଦୁ $C$ ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ, ଯାହାର ଅର୍ଥ ସେମାନେ ଏକରେଖୀୟ (collinear) ଅଟନ୍ତି । ✅

Question 16: ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ କର୍ଣ୍ଣର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ଏହାର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଅଟେ । 📐

Answer: 💡

• ଦତ୍ତ: ଧରାଯାଉ $\Delta ABC$ ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର $\angle B = 90^\circ$ । ଏହାର କର୍ଣ୍ଣ ହେଉଛି $\overline{AC}$ ।

• ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: କର୍ଣ୍ଣ $\overline{AC}$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହିଁ $\Delta ABC$ ର ପରିକେନ୍ଦ୍ର (circumcenter) ଅଟେ ।

• ପ୍ରମାଣ:

  • $\Delta ABC$ ର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ $A$, $B$, ଓ $C$ ମଧ୍ୟଦେଇ ଗତି କରୁଥିବା ପରିବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ।

  • ବର୍ତ୍ତମାନ, ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ କୋଣ $\angle ABC = 90^\circ$ ।

  • ପୂର୍ବ ପ୍ରମାଣ ପରି, ଏକ ବୃତ୍ତରେ $90^\circ$ କୋଣ ସୃଷ୍ଟି କରୁଥିବା ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ କୋଣର ସମ୍ମୁଖୀନ ଜ୍ୟା ସର୍ବଦା ଏକ ବ୍ୟାସ ହୋଇଥାଏ।

  • ତେଣୁ, ଏହି ବୃତ୍ତ ପାଇଁ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ $\overline{AC}$ ହିଁ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ଅଟେ।

  • ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର (ଯାହାକୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିକେନ୍ଦ୍ର କୁହାଯାଏ) ସର୍ବଦା ବ୍ୟାସର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁରେ ଅବସ୍ଥିତ ଥାଏ।

  • ଅତଏବ, ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ କର୍ଣ୍ଣର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ଏହାର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଅଟେ । ✅

Question 17: $\overline{PQ}$ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଜ୍ୟା । $P$ ଓ $Q$ ଠାରେ ଉକ୍ତ ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ବୃତ୍ତକୁ ଯଥାକ୍ରମେ $R$ ଓ $S$ ଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $PQSR$ ଏକ ଆୟତ ଚିତ୍ର । 📏

Answer: 💡

• ଦତ୍ତ: $\overline{PQ}$ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଜ୍ୟା। $\overline{PR} \perp \overline{PQ}$ ଏବଂ $\overline{QS} \perp \overline{PQ}$ । ସେଥିପାଇଁ $\angle RPQ = 90^\circ$ ଏବଂ $\angle PQS = 90^\circ$ ।

• ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: ଚତୁର୍ଭୁଜ $PQSR$ ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ଅଟେ ।

• ପ୍ରମାଣ:

  • ଯେହେତୁ ବୃତ୍ତର ପରିଧି ଉପରେ ଥିବା କୋଣ $\angle RPQ = 90^\circ$, ତେଣୁ ଏହି କୋଣର ସମ୍ମୁଖୀନ ଜ୍ୟା $\overline{RQ}$ ନିଶ୍ଚିତ ରୂପେ ବୃତ୍ତର ଏକ ବ୍ୟାସ ହେବ।

  • ସେହିପରି, $\angle PQS = 90^\circ$ ହୋଇଥିବାରୁ, ଜ୍ୟା $\overline{PS}$ ମଧ୍ୟ ବୃତ୍ତର ଏକ ବ୍ୟାସ ଅଟେ।

  • ଉଭୟ $\overline{RQ}$ ଏବଂ $\overline{PS}$ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ହୋଇଥିବାରୁ, ସେମାନେ ପରସ୍ପରକୁ କେନ୍ଦ୍ର $O$ ଠାରେ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ହୋଇଥାଏ (ପ୍ରତ୍ୟେକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= 2 \times \text{ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ}$)।

  • ଜ୍ୟାମିତି ଅନୁସାରେ, ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଟି କର୍ଣ୍ଣ (diagonals) ସମାନ ଓ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି, ସେହି ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର (Rectangle) ହୋଇଥାଏ।

  • ଅତଏବ, $PQSR$ ଏକ ଆୟତ ଚିତ୍ର ଅଟେ । ✅

Question 18: ଚିତ୍ର 2.17ରେ $A$ ଓ $B$ ଦୁଇଟି ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ $P$ ଓ $Q$ ଉକ୍ତ ବୃତ୍ତ ଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ଅଟନ୍ତି । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
(i) $\overleftrightarrow{AB}$, $\overline{PQ}$ ସାଧାରଣ ଜ୍ୟାକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରେ ଏବଂ
(ii) $\overleftrightarrow{AB} \perp \overline{PQ}$ । 🛡️

Answer: 💡

• ଦତ୍ତ: $A$ ଏବଂ $B$ ହେଉଛନ୍ତି ଦୁଇଟି ଛେଦକ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର। $P$ ଏବଂ $Q$ ସେମାନଙ୍କର ଛେଦବିନ୍ଦୁ। ସାଧାରଣ ଜ୍ୟା ହେଉଛି $\overline{PQ}$ । ଧରାଯାଉ $\overleftrightarrow{AB}$ ଏବଂ $\overline{PQ}$ ପରସ୍ପରକୁ $C$ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି।

• ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: (i) $PC = QC$ (ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ) ଏବଂ (ii) $\angle ACP = 90^\circ$ (ଲମ୍ବ)।

• ପ୍ରମାଣ:

  • ପ୍ରଥମେ, $\Delta APB$ ଏବଂ $\Delta AQB$ ମଧ୍ୟରେ ତୁଳନା କରିବା:

    • $AP = AQ$ (କେନ୍ଦ୍ର $A$ ଥିବା ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ)

    • $BP = BQ$ (କେନ୍ଦ୍ର $B$ ଥିବା ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ)

    • $\overline{AB} = \overline{AB}$ (ଉଭୟ ତ୍ରିଭୁଜର ସାଧାରଣ ବାହୁ)

  • ବାହୁ-ବାହୁ-ବାହୁ (SSS) ସର୍ବସମତା ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ, $\Delta APB \cong \Delta AQB$ ।

  • ଏଣୁ ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ କୋଣ ହିସାବରେ, $\angle PAB = \angle QAB$ (ଅର୍ଥାତ୍ $\angle PAC = \angle QAC$) ।

  • ବର୍ତ୍ତମାନ, $\Delta APC$ ଏବଂ $\Delta AQC$ ମଧ୍ୟରେ ତୁଳନା କରିବା:

    • $AP = AQ$ (ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ)

    • $\angle PAC = \angle QAC$ (ପୂର୍ବରୁ ପ୍ରମାଣିତ)

    • $\overline{AC} = \overline{AC}$ (ସାଧାରଣ ବାହୁ)

  • ବାହୁ-କୋଣ-ବାହୁ (SAS) ସର୍ବସମତା ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ, $\Delta APC \cong \Delta AQC$ ।

  • ତେଣୁ, ଅନୁରୂପ ବାହୁ ଭାବରେ $PC = QC$ ହେବ। ଏହା ପ୍ରମାଣ କରେ ଯେ $\overleftrightarrow{AB}$ ସାଧାରଣ ଜ୍ୟା $\overline{PQ}$ କୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡିତ କରେ (i) । ✅

  • ଏହା ସହ ଅନୁରୂପ କୋଣ ଭାବରେ $\angle ACP = \angle ACQ$ ହେବ।

  • ଯେହେତୁ $\overline{PQ}$ ଏକ ସରଳରେଖା, ଏହା ଉପରେ ଥିବା ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି $180^\circ$ ଅଟେ। ଅର୍ଥାତ୍ $\angle ACP + \angle ACQ = 180^\circ$ ।

  • ଦୁଇଟି ଯାକ କୋଣ ସମାନ ଥିବାରୁ,

  • $2 \times \angle ACP = 180^\circ \implies \angle ACP = 90^\circ$ ।

  • ଅତଏବ, ଏହା ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା ଯେ $\overleftrightarrow{AB} \perp \overline{PQ}$ (ii) । ✅

Question 19: ଚିତ୍ର 2.18ରେ ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତ ପରସ୍ପରକୁ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । P ଠାରେ $\overline{PQ}$ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ବୃତ୍ତ ଦ୍ଵୟକୁ A ଓ B ଠାରେ ଛେଦ କରେ ଓ ସେହିପରି Q ଠାରେ $\overline{PQ}$ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ବୃତ୍ତ ଦ୍ଵୟକୁ C ଓ D ଠାରେ ଛେଦ କରେ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $AB = CD$ । ⭕

Answer: 💡
ଦତ୍ତ: ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତ ପରସ୍ପରକୁ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି । $\overline{AB} \perp \overline{PQ}$ (P ବିନ୍ଦୁରେ) ଏବଂ $\overline{CD} \perp \overline{PQ}$ (Q ବିନ୍ଦୁରେ) ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: $AB = CD$ ।
ପ୍ରମାଣ: ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତରେ P ଓ Q ଦୁଇଟି ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ଦତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, $\angle APQ = 90^\circ$ ।
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତର ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ କୋଣ ଏକ ସମକୋଣ ଅଟେ ।
ତେଣୁ, $\overline{AQ}$ ହେଉଛି ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତର ଏକ ବ୍ୟାସ ।
ସେହିପରି, $\angle CQP = 90^\circ$ ହୋଇଥିବାରୁ $\overline{CP}$ ମଧ୍ୟ ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତର ଏକ ବ୍ୟାସ ଅଟେ ।
ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ବ୍ୟାସ ପରସ୍ପରକୁ କେନ୍ଦ୍ରରେ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ହୋଇଥାଏ ।
ଏଣୁ ଚତୁର୍ଭୁଜ APCQ ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସମାନ ଓ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରୁଥିବାରୁ ଏହା ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର (Rectangle) ଅଟେ ।
ସୁତରାଂ, ଆୟତଚିତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁ ଭାବରେ $AP = CQ$ … (i)

ଦ୍ୱିତୀୟ ବୃତ୍ତରେ ମଧ୍ୟ ସମାନ ପ୍ରଣାଳୀରେ,
$\angle BPQ = 90^\circ \implies \overline{BQ}$ ଏକ ବ୍ୟାସ ।

ଏବଂ $\angle DQP = 90^\circ \implies \overline{DP}$ ଏକ ବ୍ୟାସ ।

ତେଣୁ ଚତୁର୍ଭୁଜ BPDQ ମଧ୍ୟ ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ଅଟେ ।

ସୁତରାଂ, ବିପରୀତ ବାହୁ ଭାବରେ $PB = QD$ … (ii)

ଚିତ୍ରରୁ ଏହା ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ A-P-B ଏବଂ C-Q-D ଏକରେଖୀୟ (collinear) ଅଟନ୍ତି ।

ତେଣୁ ମୋଟ ଦୈର୍ଘ୍ୟ, $AB = AP + PB$

ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) ରୁ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

$AB = CQ + QD = CD$

ଅତଏବ, $AB = CD$ । (ପ୍ରମାଣିତ) ✅

Question 20: A ଓ B କେନ୍ଦ୍ର ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତ ପରସ୍ପରକୁ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । P ମଧ୍ୟ ଦେଇ $\overline{AB}$ ସହିତ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ବୃତ୍ତ ଦ୍ଵୟକୁ M ଓ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, $MN = 2AB$ । (ସୂଚନା : $\overline{AC}$ ଓ $\overline{BD}$, MN ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରି ଦର୍ଶାଅ ଯେ, $AB = CD$) 📏

Answer: 💡

ଦତ୍ତ: A ଓ B ଯଥାକ୍ରମେ ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଯେଉଁମାନେ ପରସ୍ପରକୁ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି। P ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଯାଇଥିବା ସରଳରେଖା $\overleftrightarrow{MN} \parallel \overline{AB}$ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: $MN = 2AB$ ।

ଅଙ୍କନ: କେନ୍ଦ୍ର A ରୁ $\overline{MN}$ (ଯାହାକି ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତର ଜ୍ୟା $\overline{MP}$) ପ୍ରତି $\overline{AC}$ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ। ସେହିପରି କେନ୍ଦ୍ର B ରୁ ଦ୍ୱିତୀୟ ବୃତ୍ତର ଜ୍ୟା $\overline{PN}$ ପ୍ରତି $\overline{BD}$ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ $\overline{AC} \perp \overline{MN}$ ଏବଂ $\overline{BD} \perp \overline{MN}$, ତେଣୁ $\overline{AC} \parallel \overline{BD}$ ।

ଆହୁରି ମଧ୍ୟ ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, କେନ୍ଦ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖା $\overline{AB} \parallel \overline{MN}$ (ଅର୍ଥାତ୍ $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$) ।

ଯେହେତୁ ଚତୁର୍ଭୁଜ ACDB ର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ଏବଂ କୋଣଗୁଡ଼ିକ $90^\circ$, ଏହା ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ଅଟେ ।

ଏକ ଆୟତଚିତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁମାନ ସର୍ବଦା ସମାନ, ତେଣୁ $AB = CD$ … (i)

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ଉକ୍ତ ଜ୍ୟାକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରେ ।
ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତରେ, A କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଜ୍ୟା $\overline{MP}$ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହେଉଛି $\overline{AC}$ ।
ତେଣୁ C ହେଉଛି $\overline{MP}$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
$\implies MP = 2CP$ … (ii)

ସେହିପରି ଦ୍ୱିତୀୟ ବୃତ୍ତରେ, B କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଜ୍ୟା $\overline{PN}$ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହେଉଛି $\overline{BD}$ । ତେଣୁ D ହେଉଛି $\overline{PN}$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

$\implies PN = 2PD$ … (iii)

ଚିତ୍ରରୁ, ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $MN = MP + PN$

ସମୀକରଣ (ii) ଓ (iii) ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$MN = 2CP + 2PD = 2(CP + PD)$

ଚିତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, $CP + PD = CD$ ହୋଇଥିବାରୁ,

$MN = 2CD$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ (i) ରୁ $AB = CD$ ମୂଲ୍ୟ ରଖିଲେ ଆମେ ପାଇବା:

$MN = 2AB$

ଅତଏବ, $MN = 2AB$ । (ପ୍ରମାଣିତ) 🛡️
Question 21: ⭕ ଚିତ୍ର 2.19 ରେ ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଦୁଇଟି ଏକ କେନ୍ଦ୍ରିକ ବୃତ୍ତ $S_1$ ଓ $S_2$ କୁ ଯଥାକ୍ରମେ $A$, $C$, $D$ ଓ $B$ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛି । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $AC = DB$ ।

Answer: 💡 ଦତ୍ତ: ଏକ କେନ୍ଦ୍ରିକ ବୃତ୍ତ $S_1$ ଏବଂ $S_2$ ଯାହାର ସାଧାରଣ କେନ୍ଦ୍ର ଧରାଯାଉ $O$ ଅଟେ। ଗୋଟିଏ ଛେଦକ ସରଳରେଖା ବାହାର ବୃତ୍ତ $S_1$ କୁ $A$ ଓ $B$ ବିନ୍ଦୁରେ ଏବଂ ଭିତର ବୃତ୍ତ $S_2$ କୁ $C$ ଓ $D$ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛି।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: $AC = DB$

ଅଙ୍କନ: କେନ୍ଦ୍ର $O$ ରୁ ଛେଦକ ରେଖା $\overline{AB}$ ପ୍ରତି ଏକ ଲମ୍ବ $\overline{OM}$ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ, ଅର୍ଥାତ୍ $\overline{OM} \perp \overline{AB}$ ।

ପ୍ରମାଣ: ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରରୁ କୌଣସି ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ଉକ୍ତ ଜ୍ୟାକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରେ। ବୃତ୍ତ $S_2$ ପାଇଁ, $\overline{CD}$ ଏକ ଜ୍ୟା ଏବଂ $\overline{OM} \perp \overline{CD}$ । ତେଣୁ $M$ ହେଉଛି $\overline{CD}$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ। $\implies CM = MD$ … (i)

ସେହିପରି, ବୃତ୍ତ $S_1$ ପାଇଁ, $\overline{AB}$ ଏକ ଜ୍ୟା ଏବଂ $\overline{OM} \perp \overline{AB}$ । ତେଣୁ $M$ ହେଉଛି $\overline{AB}$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ।

$\implies AM = MB$ … (ii)

ଚିତ୍ରରୁ ଆମେ ଦେଖିପାରିବା ଯେ, $AC = AM - CM$ ଏବଂ $DB = MB - MD$ ।

ସମୀକରଣ (ii) ରୁ ସମୀକରଣ (i) ବିୟୋଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା:

$AM - CM = MB - MD$

$\implies AC = DB$ । (ପ୍ରମାଣିତ) 🛡️

Question 22: 📏 ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ $P$ ମଧ୍ୟ ଦେଇ ଅଙ୍କିତ ଦୁଇଟି ଛେଦକ ବୃତ୍ତକୁ $A$, $B$ ଏବଂ $C$, $D$ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ଯେପରି $P-A-B$ ଏବଂ $P-C-D$ । ଯଦି $AB = CD$ ହୁଏ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $PA = PC$ ଏବଂ $\overline{AC} \parallel \overline{BD}$ ।

Answer: 💡

ଦତ୍ତ: ବୃତ୍ତର ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ $P$ ରୁ ଅଙ୍କିତ ଦୁଇଟି ଛେଦକ ଯଥାକ୍ରମେ ବୃତ୍ତକୁ $A$, $B$ ଏବଂ $C$, $D$ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି। ଦିଆଯାଇଛି ଯେ, ଜ୍ୟା $AB = CD$ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: $PA = PC$ ଏବଂ $\overline{AC} \parallel \overline{BD}$ ।

ପ୍ରମାଣ:

ବୃତ୍ତର ଛେଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ:

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

ଚିତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, $PB = PA + AB$ ଏବଂ $PD = PC + CD$ ।

ଏହି ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$PA(PA + AB) = PC(PC + CD)$

ଯେହେତୁ ଦତ୍ତ ଅଛି $AB = CD$, ଧରାଯାଉ $AB = CD = x$ ।

$PA(PA + x) = PC(PC + x)$

$\implies PA^2 + x \cdot PA = PC^2 + x \cdot PC$

$\implies PA^2 - PC^2 + x \cdot PA - x \cdot PC = 0$

$\implies (PA - PC)(PA + PC) + x(PA - PC) = 0$

$\implies (PA - PC)(PA + PC + x) = 0$

ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେବେବି ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନଥାଏ, ତେଣୁ $(PA + PC + x)$ ଶୂନ୍ୟ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ।

ଅତଏବ, $PA - PC = 0 \implies PA = PC$ । (ପ୍ରଥମ ଭାଗ ପ୍ରମାଣିତ) ✅

ବର୍ତ୍ତମାନ, ଯେହେତୁ $PA = PC$ ଏବଂ ଦତ୍ତ ଅଛି $AB = CD$,

ତେଣୁ $PB = PA + AB = PC + CD = PD \implies PB = PD$ ।

$\Delta PAC$ ରେ, $PA = PC \implies \angle PAC = \angle PCA$ ।

$\Delta PBD$ ରେ, $PB = PD \implies \angle PBD = \angle PDB$ ।

ଏକା ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୋଇଥିବାରୁ, ଚାପ $BC$ ଦ୍ୱାରା ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣ $\angle CAB = \angle CDB$ ।

ଅର୍ଥାତ୍, $\angle PAB = \angle PDB$ ।

ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ପାଇଛୁ $\angle PDB = \angle PBD$ ।

ଏଣୁ, $\angle PAB = \angle PBD$ (ବା $\angle CAB = \angle ABD$) ।

ଯେହେତୁ ଛେଦକ ସରଳରେଖା $\overline{AB}$ ଦ୍ୱାରା ଦୁଇଟି ରେଖା $\overline{AC}$ ଏବଂ $\overline{BD}$ ଛେଦିତ ହୋଇ ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥିବା ଏକାନ୍ତର କୋଣ (alternate interior angles) $\angle CAB$ ଏବଂ $\angle ABD$ ସମାନ ଅଟନ୍ତି, ତେଣୁ ସେହି ଦୁଇଟି ରେଖା ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ହେବେ।

ଅତଏବ, $\overline{AC} \parallel \overline{BD}$ । (ଦ୍ୱିତୀୟ ଭାଗ ପ୍ରମାଣିତ) ✅

Question 23: 📐 $ABC$ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର $O$ । ଏହାର ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା $\overline{AB}$ ଓ $\overline{CD}$ ପରସ୍ପରକୁ ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ $P$ ଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । $B$ ଓ $C$, $\overline{OP}$ ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, (i) $PA = PC$ ଏବଂ (ii) $\overline{AC} \parallel \overline{BD}$ । (ସୂଚନା : $\overline{OE} \perp \overline{AB}$ ଏବଂ $\overline{OF} \perp \overline{CD}$ ଅଙ୍କନ କରି $O$, $P$ ଯୋଗ କର)

Answer: 💡 ଦତ୍ତ: $ABC$ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ହେଉଛି $O$ । ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା $AB = CD$ ଅଟନ୍ତି। ସେମାନେ ପରସ୍ପରକୁ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ $P$ ଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: (i) $PA = PC$ ଏବଂ (ii) $\overline{AC} \parallel \overline{BD}$ ।

ଅଙ୍କନ: ସୂଚନା ଅନୁଯାୟୀ କେନ୍ଦ୍ର $O$ ରୁ $\overline{AB}$ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ $\overline{OE}$
ଏବଂ $\overline{CD}$ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ $\overline{OF}$ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ।
କେନ୍ଦ୍ର $O$ ସହିତ $P$ କୁ ଯୋଗ କରାଯାଉ।

ପ୍ରମାଣ: ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ବୃତ୍ତର ସର୍ବସମ ଜ୍ୟାମାନେ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ହୋଇଥାଆନ୍ତି। ଯେହେତୁ $AB = CD$,
ତେଣୁ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ସେମାନଙ୍କର ଲମ୍ବ ଦୂରତା ସମାନ ହେବ। $\implies OE = OF$

ବର୍ତ୍ତମାନ, ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ $\Delta OEP$ ଏବଂ $\Delta OFP$ ମଧ୍ୟରେ ତୁଳନା କରିବା:

(1) $\angle OEP = \angle OFP = 90^\circ$ (ଅଙ୍କନ ଅନୁଯାୟୀ)

(2) କର୍ଣ୍ଣ $OP = OP$ (ସାଧାରଣ ବାହୁ)

(3) $OE = OF$ (ପୂର୍ବରୁ ପ୍ରମାଣିତ)

RHS (ସମକୋଣ-କର୍ଣ୍ଣ-ବାହୁ) ସର୍ବସମତା ଅନୁଯାୟୀ, $\Delta OEP \cong \Delta OFP$

ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ବାହୁ ଭାବରେ, $EP = FP$ … (i)

କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ଜ୍ୟାକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରେ। ତେଣୁ,
$AE = \frac{1}{2}AB$
ଏବଂ $CF = \frac{1}{2}CD$
ଯେହେତୁ $AB = CD$,
ତେଣୁ $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD \implies AE = CF$ … (ii)

ଚିତ୍ରରୁ ଏହା ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ, $AP = AE + EP$
ଏବଂ $CP = CF + FP$ ।

ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) ରୁ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା:

$AP = CF + FP = CP$

ଅତଏବ, $PA = PC$ । (ପ୍ରଥମ ଭାଗ ପ୍ରମାଣିତ) ✅

ବର୍ତ୍ତମାନ, (ii) ର ପ୍ରମାଣ ପାଇଁ:

ଆମେ ଜାଣୁ $AB = CD$ ଏବଂ ପ୍ରମାଣ କଲୁ ଯେ $PA = PC$

ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଜ୍ୟାରୁ ସମାନ ଅଂଶ ବିୟୋଗ କଲେ,
$AB - PA = CD - PC \implies PB = PD$

$\Delta APC$ ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଯେହେତୁ $PA = PC$
ତେଣୁ, $\angle PAC = \angle PCA$

ସେହିପରି, $\Delta BPD$ ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଯେହେତୁ $PB = PD$
ତେଣୁ, $\angle PBD = \angle PDB$

ବିପରୀତ କୋଣ ଭାବରେ, $\angle APC = \angle BPD$

ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି $180^\circ$ ହୋଇଥିବାରୁ, ଉଭୟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବଳକା ଦୁଇଟି ସମାନ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ସର୍ବସମ ହେବେ

ଅର୍ଥାତ୍, $\angle PAC = \angle PBD$ (କିମ୍ବା $\angle CAB = \angle ABD$)

ଯେହେତୁ ଜ୍ୟା $\overline{AB}$ ଦ୍ୱାରା ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା $\overline{AC}$ ଏବଂ $\overline{BD}$ ଛେଦିତ ହେବା ଫଳରେ ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥିବା ଏକାନ୍ତର କୋଣ ସମାନ ଅଟନ୍ତି, ତେଣୁ ସେହି ଦୁଇଟି ରେଖା ସମାନ୍ତର ଅଟନ୍ତି।

ଅତଏବ, $\overline{AC} \parallel \overline{BD}$ । (ଦ୍ୱିତୀୟ ଭାଗ ପ୍ରମାଣିତ) ✅