ଦଶମ ଶ୍ରେଣୀର ଗଣିତ (ଜ୍ୟାମିତି) ‘ବୃତ୍ତ’ ଅଧ୍ୟାୟର ଷ୍ଟଡି ନୋଟସ୍ ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦାନ କରାଗଲା। 📖✨

ମୂଳତତ୍ତ୍ୱ ଓ ସଂଜ୍ଞା 🎯

• ଗୋଟିଏ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ଏକ ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁଠାରୁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଦୂରତାରେ ଉକ୍ତ ସମତଳରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁର ସେଟ୍‌କୁ ବୃତ୍ତ କୁହାଯାଏ।

• ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଦୂରତାକୁ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଏବଂ ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁକୁ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର କୁହାଯାଏ।

• ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଏକ ଧନାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ।

• ବୃତ୍ତର ଏକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ କହିଲେ ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ କେନ୍ଦ୍ରର ସଂଯୋଜକ ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ବୁଝିଥାଉ।

• 

ଜ୍ୟା, ବ୍ୟାସ ଏବଂ ସମତଳ ବିଭାଜନ 📏

• ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁର ସଂଯୋଜକ ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ବୃତ୍ତର ଏକ ଜ୍ୟା କୁହାଯାଏ।

• ଯେଉଁ ଜ୍ୟାରେ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଅବସ୍ଥିତ, ସେହି ଜ୍ୟାକୁ ବୃତ୍ତର ଏକ ବ୍ୟାସ କୁହାଯାଏ।

• ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ଏକକ ହେଲେ ବ୍ୟାସ $2r$ ଏକକ ହେବ।

• ବ୍ୟାସ ହେଉଛି ବୃତ୍ତର ଦୀର୍ଘତମ ଜ୍ୟା।

• ଅନ୍ତର୍ଦେଶ (Interior): କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ଦୂରତା ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର (OP < r), ସେଗୁଡ଼ିକ ବୃତ୍ତର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ।

• ବହିର୍ଦେଶ (Exterior): କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ଦୂରତା ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧଠାରୁ ବୃହତ୍ତର, ସେଗୁଡ଼ିକ ବୃତ୍ତର ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ।

• 

  

ପୃଷ୍ଠା ୦୩ (ସର୍ବସମ ବୃତ୍ତ ଓ ଉପପାଦ୍ୟ - ୭) 📐

• ଏକାଧିକ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସମାନ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କୁ ସର୍ବସମ ବୃତ୍ତ କୁହାଯାଏ।

• ଯେଉଁ ଜ୍ୟାମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ସେମାନଙ୍କୁ ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା କୁହାଯାଏ।

• 📌 ଉପପାଦ୍ୟ - ୭: ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଏହାର ବ୍ୟାସ ଭିନ୍ନ ଏକ ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ଉକ୍ତ ଜ୍ୟାକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରେ।

• ଉପପାଦ୍ୟ ୭ ର ପ୍ରମାଣ ପାଇଁ $\Delta OAD$ ଏବଂ $\Delta OBD$ ର ସର୍ବସମତା ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇଛି ଯାହାଦ୍ୱାରା $AD = DB$ ସାବ୍ୟସ୍ତ ହୁଏ।

• ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ବୃତ୍ତକୁ ଦୁଇଟିରୁ ଅଧିକ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ନାହିଁ।

ପ୍ରମେୟ ୨.୧ ଓ ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ ✏️

• 📌 ପ୍ରମେୟ ୨.୧ (ଉପପାଦ୍ୟ ୭ ର ବିପରୀତ): କୌଣସି ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ଭିନ୍ନ ଏକ ଜ୍ୟାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଓ କେନ୍ଦ୍ରକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖା ଉକ୍ତ ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଟେ।

• ପ୍ରମାଣରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି ଯେ $\Delta ADO \cong \Delta BDO$ ଯାହାଦ୍ୱାରା କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଓ ସମକୋଣ ଅଟନ୍ତି।

• ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ ୧: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଏହାର ଯେକୌଣସି ଜ୍ୟାର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ଥାଏ।

ସମାନ୍ତର ଜ୍ୟା ଓ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକର ଅବସ୍ଥିତି 🔍

• ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ ୨(i): ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଅସମାନ୍ତର ଜ୍ୟାର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ଦ୍ୱୟ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରରେ ମିଳିତ ହୁଅନ୍ତି।

• ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ ୨(ii): ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ଜ୍ୟାର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବଦ୍ୱୟ କେନ୍ଦ୍ର ଦେଇ ଯାଇଥିବା ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ଥାଆନ୍ତି।

• ଜ୍ୟାର ପ୍ରାନ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ଭିନ୍ନ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ବୃତ୍ତର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଅବସ୍ଥିତ।

• ଗୋଟିଏ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବୃତ୍ତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ନିମନ୍ତେ ଅତି କମ୍‌ରେ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁର ଅବସ୍ଥିତି ଜାଣିବା ଆବଶ୍ୟକ।

ପ୍ରମେୟ ୨.୨ ଓ ପରିବୃତ୍ତ 🔵

• 📌 ପ୍ରମେୟ ୨.୨: ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ନ ଥିବା ଯେକୌଣସି ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟ ଦେଇ ଗୋଟିଏ ଏବଂ କେବଳ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କରାଯାଇ ପାରିବ।

• ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଦେଇ ଅଙ୍କିତ ବୃତ୍ତକୁ ଉକ୍ତ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତ (Circum-circle) କୁହାଯାଏ।

• ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁକୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିକେନ୍ଦ୍ର (Circum-centre) କୁହାଯାଏ।

ଉପପାଦ୍ୟ - ୮ ⚖️

• ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତ ପରସ୍ପରକୁ ଦୁଇଟିରୁ ଅଧିକ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ନାହିଁ।

• 📌 ଉପପାଦ୍ୟ - ୮: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଜ୍ୟାମାନେ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ।

• ଯଦି $AB = CD$ ହୁଏ, ତେବେ ଲମ୍ବ ଦୂରତା $OE = OF$ ହେବ।

ସର୍ବସମ ବୃତ୍ତ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଉପପାଦ୍ୟ - ୮🔄

• ଉପପାଦ୍ୟ ୮ ଦୁଇଟି ବା ତତୋଧିକ ସର୍ବସମ ବୃତ୍ତ ନିମନ୍ତେ ମଧ୍ୟ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ।

• କଥନ: ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ବୃତ୍ତର ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଜ୍ୟାମାନେ ନିଜ ନିଜ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ଅଟନ୍ତି।

• ଏହି ପ୍ରମାଣ ପାଇଁ ଦୁଇଟି ପୃଥକ୍ କେନ୍ଦ୍ର $O_1$ ଏବଂ $O_2$ କୁ ନେଇ ତ୍ରିଭୁଜ ସର୍ବସମତା ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଏ।

ପ୍ରମେୟ ୨.୩ ଓ ଜ୍ୟାର ଦୂରତା 📏

• 📌 ପ୍ରମେୟ ୨.୩ (ଉପପାଦ୍ୟ ୮ ର ବିପରୀତ): ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ଜ୍ୟାମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଅଟେ।

• ଯଦି ଦୂରତା $OE = OF$ ହୁଏ, ତେବେ ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $AB = CD$ ହେବ।

• ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ ୧: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଜ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ, କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିକଟତର ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଅଟେ।

ଜ୍ୟା ଦୂରତାର ଅସମତା ପ୍ରମାଣ📐

• ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ ୧ ର ପ୍ରମାଣରେ ପିଥାଗୋରାସ୍ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି ଦର୍ଶାଯାଇଛି ଯେ ଯଦି $OF > OE$, ତେବେ CD < AB

• ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ ୨: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଜ୍ୟା ମଧ୍ୟରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଜ୍ୟାଟି କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ଅଧିକ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ଅଟେ।

• ଯଦି CD < AB ହୁଏ ତେବେ ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇଛି ଯେ OF > OE ।

କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ ଓ ଉପପାଦ୍ୟ - ୯ 🎯

• କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ: ଜ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣକୁ ଜ୍ୟା ସହ ସମ୍ପୃକ୍ତ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ କୁହାଯାଏ।

• 📌 ଉପପାଦ୍ୟ - ୯: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଯେଉଁ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରନ୍ତି ସେମାନେ ସର୍ବସମ ଅଟନ୍ତି।

• ପ୍ରମାଣ: ଯଦି $AB = CD$, ତେବେ $\angle AOB \cong \angle COD$ ହେବ।

• 📌 ପ୍ରମେୟ ୨.୪ (ବିପରୀତ): ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଜ୍ୟା ଦ୍ୱାରା କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ହେଲେ ଜ୍ୟା ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ହେବେ।