ନିଜେ କରି ଦେଖ (ପୃଷ୍ଠା - 94)

Question 1:

ନିମ୍ନ ଆୟତଚିତ୍ରମାନଙ୍କରେ ଥିବା ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ କୋଣର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i) ଚିତ୍ର (i) ପାଇଁ ସମାଧାନ:

ମନେକର ଆୟତଚିତ୍ର ABCD ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ AC ଏବଂ BD ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି।

ଚିତ୍ରାନୁସାରେ ଦତ୍ତ ଅଛି, $\angle CAB = 30^\circ$ (ଯାହାକି $\angle OAB = 30^\circ$) ।

• ଏକ ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି, ତେଣୁ $OA = OB = OC = OD$ ।

• $\Delta AOB$ ରେ, $OA = OB$, ତେଣୁ ଏହା ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ। ଏଣୁ $\angle OBA = \angle OAB = 30^\circ$ ।

• ତ୍ରିଭୁଜର ତିନି କୋଣର ସମଷ୍ଟି $180^\circ$

• ହୋଇଥିବାରୁ, $\angle AOB = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$ ।

• ପ୍ରତୀପ କୋଣ ଅନୁଯାୟୀ, $\angle COD = \angle AOB = 120^\circ$ ।

• ସରଳରୈଖିକ ଯୋଡ଼ି ଅନୁଯାୟୀ,

• $\angle BOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

• ଏବଂ ପ୍ରତୀପ କୋଣ $\angle AOD = 60^\circ$ ।

• ଆୟତଚିତ୍ରର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ $90^\circ$ ।

• ତେଣୁ $\angle DAB = 90^\circ \Rightarrow \angle OAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ ।

• ସେହିପରି ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେବ:

  • $\angle OBA = 30^\circ$

  • $\angle OBC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

  • $\angle OCB = 60^\circ$, $\angle OCD = 30^\circ$

  • $\angle ODC = 30^\circ$, $\angle ODA = 60^\circ$

(ii) ଚିତ୍ର (ii) ପାଇଁ ସମାଧାନ:

ମନେକର ଆୟତଚିତ୍ର PQRS ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ PR ଏବଂ QS ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି।

ଚିତ୍ରାନୁସାରେ ଦତ୍ତ ଅଛି, ଦୁଇ କର୍ଣ୍ଣ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା କୋଣ $\angle QOR = 110^\circ$ ।

• ପ୍ରତୀପ କୋଣ ଅନୁଯାୟୀ, $\angle POS = 110^\circ$ ।

• ସରଳରୈଖିକ ଯୋଡ଼ି ଅନୁଯାୟୀ, $\angle POQ = \angle ROS = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ ।

• ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସମାନ ଓ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରୁଥିବାରୁ, $OP = OQ = OR = OS$ ।

• $\Delta QOR$ ରେ, $OQ = OR$

• $\Rightarrow \angle OQR = \angle ORQ = \frac{180^\circ - 110^\circ}{2} = 35^\circ$ ।

• $\Delta POS$ ରେ, $OP = OS$

• $\Rightarrow \angle OPS = \angle OSP = \frac{180^\circ - 110^\circ}{2} = 35^\circ$ ।

• $\Delta POQ$ ରେ, $OP = OQ$

• $\Rightarrow \angle OPQ = \angle OQP = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = 55^\circ$ ।

• $\Delta ROS$ ରେ, $OR = OS$

• $\Rightarrow \angle ORS = \angle OSR = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = 55^\circ$ ।

  (ଯାଞ୍ଚ: ଆୟତଚିତ୍ରର କୋଣ $55^\circ + 35^\circ = 90^\circ$ ଅଟେ)

Question 2:

ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି. ଓ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣ :

(i) $30^\circ$

(ii) $40^\circ$

(iii) $90^\circ$

(iv) $140^\circ$

Answer 2:

ଯେକୌଣସି ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ (8 ସେ.ମି.) ଏବଂ ସେମାନେ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ତାହା ନିଶ୍ଚିତ ରୂପେ ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର (Rectangle) ଗଠନ କରିବ।

• (i) $30^\circ$, (ii) $40^\circ$, (iv) $140^\circ$ ପାଇଁ: ଏହି କୋଣଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ କର୍ଣ୍ଣ ଅଙ୍କନ କଲେ ସୃଷ୍ଟି ହେଉଥିବା ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ସାଧାରଣ ଆୟତଚିତ୍ର ହେବ।

• **(iii)

  

• $90^\circ$** ପାଇଁ: ଯେତେବେଳେ ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣ ($90^\circ$) ରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ବା ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି, ସେତେବେଳେ ତାହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର (Square) ରେ ପରିଣତ ହୋଇଥାଏ। ତେଣୁ ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ହେବ।

Question 3:

ଏକ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ‘O’ | PL ଓ AM ବ୍ୟାସଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ | APML କି ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ ? ତୁମ ଉତ୍ତର ସପକ୍ଷରେ ଯୁକ୍ତି ଉପସ୍ଥାପନ କର ଓ ପରୀକ୍ଷା କରି ଦେଖ ।

Answer 3:

ଯୁକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ:

1. ଯେହେତୁ PL ଏବଂ AM ଉଭୟ ଏକା ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ, ସେମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଅଟେ ($PL = AM$) ।

2. ବ୍ୟାସଗୁଡ଼ିକ ସର୍ବଦା ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ‘O’ ଦେଇ ଅତିକ୍ରମ କରନ୍ତି ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ କେନ୍ଦ୍ରରେ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ($OP = OL = OA = OM = \text{ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ}$) ।

3. ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜରେ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ (ଏଠାରେ PL ଏବଂ AM) ସମାନ ଓ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ ତାହା ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ହୋଇଥାଏ ।

4. ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ଦତ୍ତ ଅଛି ଯେ, ବ୍ୟାସଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଟନ୍ତି ($PL \perp AM$) ଅର୍ଥାତ୍ ସେମାନେ $90^\circ$ ରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।

5. ଜ୍ୟାମିତିକ ଧର୍ମ ଅନୁଯାୟୀ, ଯେଉଁ ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଭାବେ ଛେଦ କରନ୍ତି, ତାହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଟେ।

ଏଣୁ, APML ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଟେ।

ପ୍ରଦତ୍ତ ଚିତ୍ର ଆଧାରରେ ପ୍ରଶ୍ନ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା:

Question 4:

ଆମେ କାଗଜ ଭାଙ୍ଗି $90^\circ$ ପରିମାଣର କୋଣ କିପରି ପାଇପାରିବା ତାହା ପୂର୍ବରୁ ଦେଖିଛୁ । ମନେକର ଆମପାଖରେ କୌଣସି କାଗଜ ନାହିଁ କିନ୍ତୁ ଦୁଇଟି ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟର କାଠି ଏବଂ ଏକ ସୂତା ଅଛି । ଏଗୁଡିକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଆମେ କିପରି $90^\circ$ ପରିମାଣର କୋଣ ଦେଖାଇ ପାରିବା ?

Answer 4:

.1. ପ୍ରଥମେ ଦୁଇଟିଯାକ କାଠିର ଠିକ୍ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (midpoint) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କୁ ସେହି ବିନ୍ଦୁରେ କ୍ରସ୍ (X ଆକାରରେ) କରି ରଖନ୍ତୁ। ଏହା ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଟି ସମାନ କର୍ଣ୍ଣ (diagonals) ଭଳି କାର୍ଯ୍ୟ କରିବ ଯାହା ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରୁଛନ୍ତି।

.2. ବର୍ତ୍ତମାନ ସୂତା ସାହାଯ୍ୟରେ କାଠିଗୁଡ଼ିକର ଚାରୋଟି ପ୍ରାନ୍ତ ବିନ୍ଦୁ (ends) କୁ ଏପରି ଭାବରେ ମାପି ବାନ୍ଧନ୍ତୁ ଯେପରି ସୂତାର ଚାରୋଟିଯାକ ଅଂଶର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ହେବ। (ଅର୍ଥାତ୍ ଏହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ବା Square ଗଠନ କରିବ)।

.3. ଜ୍ୟାମିତିକ ଧର୍ମ ଅନୁଯାୟୀ, ଯଦି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ହୋଇଥାନ୍ତି ଏବଂ ତାହାର ଚାରୋଟି ବାହୁ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ତାହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଟେ ଏବଂ ତାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ଠିକ୍ $90^\circ$ (ସମକୋଣ) ରେ ଛେଦ କରନ୍ତି।

.4. ତେଣୁ, କାଠି ଦୁଇଟି ପରସ୍ପରକୁ ଯେଉଁ କେନ୍ଦ୍ର ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି, ସେଠାରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୋଇଥିବା କୋଣର ପରିମାଣ $90^\circ$ ହେବ।

Question 5:

ଆମେ ଦେଖିଲୁ ଯେ ଆୟତଚିତ୍ରର ଗୋଟିଏ ଧର୍ମ ହେଉଛି, ଏହାର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ୍ତର । ଏହାକୁ ଆୟତଚିତ୍ରର ସଂଜ୍ଞା ଭାବେ ନିଆଯାଇ ପାରିବ କି ? ଅନ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ୍ତର ଓ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ, ତାହା ଆୟତଚିତ୍ର ହେବ କି ?

Answer 5:

ନା, କେବଳ “ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ୍ତର ଓ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ” ହେବାକୁ ଆୟତଚିତ୍ରର ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଜ୍ଞା ଭାବେ ନିଆଯାଇ ପାରିବ ନାହିଁ।

ଯୁକ୍ତି:

ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ୍ତର ଏବଂ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ହୋଇଥାଏ, ତାହାକୁ ସାଧାରଣତଃ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର (Parallelogram) କୁହାଯାଏ। ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଆୟତଚିତ୍ର ହେବା ପାଇଁ ଅନ୍ୟ ଏକ ବିଶେଷ ସର୍ତ୍ତ ପୂରଣ କରିବା ଆବଶ୍ୟକ: ତାର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ନିଶ୍ଚିତ ରୂପେ $90^\circ$ (ସମକୋଣ) ହେବା ଉଚିତ୍ କିମ୍ବା ତାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ସହିତ ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ହେବା ଉଚିତ୍।

ଯଦି କୋଣଗୁଡ଼ିକ $90^\circ$ ନହୁଏ, ତେବେ ଏହା କେବଳ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ହୋଇ ରହିଯିବ (ଯେପରିକି ଏକ ରମ୍ବସ୍ ବା ବଙ୍କା ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର), କିନ୍ତୁ ଆୟତଚିତ୍ର ହେବ ନାହିଁ। ତେଣୁ କେବଳ ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର ଓ ସମାନ ହେବା ଆୟତଚିତ୍ର ଗଠନ ପାଇଁ ଯଥେଷ୍ଟ ନୁହେଁ।

ନିଜେ କରି ଦେଖ (ପୃଷ୍ଠା - 102)
ପ୍ରଦତ୍ତ ଚିତ୍ର ଆଧାରରେ ପ୍ରଶ୍ନ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ବିସ୍ତୃତ ଉତ୍ତର ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା:

Question:

ନିମ୍ନ ଚତୁର୍ଭୁଜମାନଙ୍କର ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡିକର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer:

(i) ଚିତ୍ର (i) ପାଇଁ ସମାଧାନ:

ଚିତ୍ରରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଚତୁର୍ଭୁଜ $PEAR$ ହେଉଛି ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର (Parallelogram) କାରଣ ଏହାର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ୍ତର ଭାବେ ତୀର ଚିହ୍ନ ଦ୍ୱାରା ଦର୍ଶାଯାଇଛି ।

ଦତ୍ତ ଅଛି, $\angle P = 40^\circ$ ।

• ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଧର୍ମ ଅନୁଯାୟୀ, ବିପରୀତ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଅଟନ୍ତି । ତେଣୁ $\angle A = \angle P = 40^\circ$ ।

• ଏହାର ପାଖାପାଖି (ସନ୍ନିହିତ) କୋଣଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି $180^\circ$ ହୋଇଥାଏ । ତେଣୁ, $\angle R + \angle P = 180^\circ$ ।

  $$\angle R + 40^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle R = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$$

• ପୁଣି ବିପରୀତ କୋଣ ସମାନ ହେତୁ, $\angle E = \angle R = 140^\circ$ ।

ଅତଏବ, ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $\angle R = 140^\circ$, $\angle A = 40^\circ$, ଏବଂ $\angle E = 140^\circ$ ।

(ii) ଚିତ୍ର (ii) ପାଇଁ ସମାଧାନ:

ଚିତ୍ରରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଚତୁର୍ଭୁଜ $PQRS$ ମଧ୍ୟ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

ଦତ୍ତ ଅଛି, $\angle P = 110^\circ$ ।

ବିପରୀତ କୋଣ ସମାନ ହେତୁ, $\angle R = \angle P = 110^\circ$ ।

ସନ୍ନିହିତ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି $180^\circ$ ଅଟେ, ତେଣୁ $\angle S + \angle P = 180^\circ$ ।

$$\angle S + 110^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle S = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$

• ବିପରୀତ କୋଣ ସମାନ ହେତୁ, $\angle Q = \angle S = 70^\circ$ ।

ଅତଏବ, ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $\angle S = 70^\circ$, $\angle R = 110^\circ$, ଏବଂ $\angle Q = 70^\circ$ ।

(iii) ଚିତ୍ର (iii) ପାଇଁ ସମାଧାନ:

ଚିତ୍ରରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଚତୁର୍ଭୁଜ $XWVU$ ହେଉଛି ଏକ ରମ୍ବସ୍ (Rhombus) କାରଣ ଏହାର ଚାରୋଟିଯାକ ବାହୁ ସମାନ (ସମାନ ଚିହ୍ନ ଦ୍ୱାରା ଦର୍ଶାଯାଇଛି) ।

ଦତ୍ତ ଅଛି, କର୍ଣ୍ଣ $XV$ ସହ ବାହୁ $UV$ ର କୋଣ $\angle XVU = 30^\circ$ ।

• ରମ୍ବସ୍‌ର ଏକ ଧର୍ମ ହେଉଛି ଯେ, ଏହାର କର୍ଣ୍ଣ ଶୀର୍ଷ କୋଣକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରେ । ତେଣୁ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କୋଣ $\angle V$ ର ପରିମାଣ ହେବ:

  $$\angle V = 2 \times \angle XVU = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$$
  ପ୍ରତ୍ୟେକ ରମ୍ବସ୍ ମଧ୍ୟ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର, ତେଣୁ ଏହାର ବିପରୀତ କୋଣ ସମାନ:
  $\angle X = \angle V = 60^\circ$ ।

ସନ୍ନିହିତ କୋଣର ସମଷ୍ଟି $180^\circ$ ଅଟେ:

$$\angle U + \angle V = 180^\circ \Rightarrow \angle U + 60^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle U = 120^\circ$$

• ବିପରୀତ କୋଣ ସମାନ ହେତୁ: $\angle W = \angle U = 120^\circ$ ।

ଅତଏବ, ଚତୁର୍ଭୁଜର ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $\angle X = 60^\circ$, $\angle W = 120^\circ$, ଏବଂ $\angle U = 120^\circ$ (ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କୋଣ $\angle V = 60^\circ$) ।

(iv) ଚିତ୍ର (iv) ପାଇଁ ସମାଧାନ:

ଚିତ୍ରରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଚତୁର୍ଭୁଜ $OIEA$ ମଧ୍ୟ ଏକ ରମ୍ବସ୍ କାରଣ ଏହାର ଚାରୋଟି ବାହୁ ସମାନ ।

ଦତ୍ତ ଅଛି, କର୍ଣ୍ଣ $OE$ ସହ ବାହୁ $AE$ ର କୋଣ $\angle OEA = 20^\circ$ ।

• ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣ କୋଣକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରୁଥିବାରୁ, ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କୋଣ $\angle E$ ର ପରିମାଣ ହେବ:

  $$\angle E = 2 \times \angle OEA = 2 \times 20^\circ = 40^\circ$$

• ବିପରୀତ କୋଣ ସମାନ ହେତୁ: $\angle O = \angle E = 40^\circ$ ।

• ସନ୍ନିହିତ କୋଣର ସମଷ୍ଟି $180^\circ$ ଅଟେ:

  $$\angle A + \angle E = 180^\circ \Rightarrow \angle A + 40^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle A = 140^\circ$$

• ବିପରୀତ କୋଣ ସମାନ ହେତୁ: $\angle I = \angle A = 140^\circ$ ।

ଅତଏବ, ଚତୁର୍ଭୁଜର ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $\angle O = 40^\circ$, $\angle I = 140^\circ$, ଏବଂ $\angle A = 140^\circ$ (ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କୋଣ $\angle E = 40^\circ$) ।

❓ Question 2:

କର୍ଣ୍ଣର ଧର୍ମକୁ ଉପଯୋଗ କରି, ଏକ ସାମାନ୍ତରିକଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ $7 \text{ cm}$ ଓ $5 \text{ cm}$ ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥିବା କୋଣର ପରିମାଣ $140^\circ$ ।

✅ Answer:

ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର (Parallelogram) ର ଏକ ପ୍ରମୁଖ ଧର୍ମ ହେଉଛି ଯେ, ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି।

📐 ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀ:

1. ପ୍ରଥମେ ସ୍କେଲ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ $AC = 7 \text{ cm}$ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର ।

2. $AC$ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଠିକ୍ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (midpoint) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଏବଂ ତାହାକୁ $O$ ନାମ ଦିଅ । ଏହାଦ୍ୱାରା $AO = OC = 3.5 \text{ cm}$ ହେବ ।

3. $O$ ବିନ୍ଦୁଠାରେ ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର (Protractor) ବ୍ୟବହାର କରି $140^\circ$ ର ଏକ କୋଣ ଅଙ୍କନ କର ଏବଂ ସେହି ରେଖାଟିକୁ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ବଢ଼ାଅ ।

4. ଦ୍ୱିତୀୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେଉଛି $5 \text{ cm}$, ତେଣୁ ଏହାର ଅଧା ହେବ $\frac{5}{2} = 2.5 \text{ cm}$ ।

5. କମ୍ପାସ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ ସ୍କେଲ୍‌ରୁ $2.5 \text{ cm}$ ମାପ ନିଅ । $O$ ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି $140^\circ$ କୋଣ ସୃଷ୍ଟି କରିଥିବା ରେଖା ଉପରେ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଦୁଇଟି ଚାପ (arcs) କାଟ । ଏହି ଛେଦ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଯଥାକ୍ରମେ $B$ ଏବଂ $D$ ନାମରେ ନାମିତ କର । (ବର୍ତ୍ତମାନ $OB = OD = 2.5 \text{ cm}$)।

6. ଶେଷରେ, ପେନ୍ସିଲ୍ ଓ ସ୍କେଲ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ $A$ ସହ $B$, $B$ ସହ $C$, $C$ ସହ $D$, ଏବଂ $D$ ସହ $A$ ବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କର ।

✨ ବର୍ତ୍ତମାନ ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥିବା $ABCD$ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ହେଉଛି ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

❓ Question 3:

ଏକ ରମ୍ବସ୍ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ $4 \text{ cm}$ ଓ $5 \text{ cm}$ ।

✅ Answer:

ଏକ ରମ୍ବସ୍ (Rhombus) ର ମୁଖ୍ୟ ଧର୍ମ ହେଉଛି ଯେ, ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ଅର୍ଥାତ୍ $90^\circ$ ରେ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି।

✏️ ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀ:

1. ପ୍ରଥମେ ସ୍କେଲ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣ $AC = 5 \text{ cm}$ ଅଙ୍କନ କର ।

2. କମ୍ପାସ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ $AC$ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଲମ୍ବ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ (Perpendicular bisector) ଅଙ୍କନ କର । ଏହି ଲମ୍ବ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ରେଖା $AC$ କୁ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ତାହାକୁ $O$ ନାମ ଦିଅ । (ଏଠାରେ $AO = OC = 2.5 \text{ cm}$ ଏବଂ ଛେଦବିନ୍ଦୁରେ କୋଣ $90^\circ$ ଅଟେ) ।

3. ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେଉଛି $4 \text{ cm}$ । ଯେହେତୁ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ ହୁଅନ୍ତି, ତେଣୁ ଏହାର ଅଧା ହେବ $\frac{4}{2} = 2 \text{ cm}$ ।

4. କମ୍ପାସ୍‌ରେ $2 \text{ cm}$ ର ମାପ ନେଇ, କେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁ $O$ ଠାରୁ ଲମ୍ବ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ରେଖା ଉପରେ ଉପରକୁ ଏବଂ ତଳକୁ ଦୁଇଟି ଚାପ କାଟ ।

5. ଉପର ଛେଦ ବିନ୍ଦୁକୁ $B$ ଏବଂ ତଳ ଛେଦ ବିନ୍ଦୁକୁ $D$ ନାମ ଦିଅ । (ଏଠାରେ $OB = 2 \text{ cm}$ ଏବଂ $OD = 2 \text{ cm}$)।

6. ସ୍କେଲ୍ ବ୍ୟବହାର କରି କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ବିନ୍ଦୁ $A, B, C,$ ଏବଂ $D$ କୁ ଯୋଗ କର (ଅର୍ଥାତ୍ $AB, BC, CD, DA$ ଯୋଗ କର) ।

✨ ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥିବା $ABCD$ ଚିତ୍ରଟି ହେଉଛି ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ରମ୍ବସ୍ ।

ଆସ ବୁଝିବା ପୃଷ୍ଠା 107 -108

❓ Question 1:

$4 \text{ cm}$ ବାହୁବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଯୋଡ଼ି ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥିବା ଚତୁର୍ଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
🌟 WithTeachers.in🌟
✅ Answer:

ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର (Equilateral triangle) ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $4 \text{ cm}$ ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ $60^\circ$ ହୋଇଥାଏ । ଦୁଇଟି ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜକୁ ସେମାନଙ୍କର ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ବାହୁ ମାଧ୍ୟମରେ ଯୋଡ଼ିଲେ, ଏକ ରମ୍ବସ୍ (Rhombus) ସୃଷ୍ଟି ହୁଏ ।

• 📏 ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ: ନୂତନ ଚତୁର୍ଭୁଜର (ରମ୍ବସ୍‌ର) ଚାରୋଟିଯାକ ବାହୁ ସମାନ ହେବ । ଅତଏବ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $4 \text{ cm}$ ।

• 📐 କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ: ଏହି ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଟି ବିପରୀତ କୋଣ ତ୍ରିଭୁଜର ମୂଳ କୋଣ ସହ ସମାନ ହେବେ, ଅର୍ଥାତ୍ $60^\circ$ ଏବଂ $60^\circ$ । ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ବିପରୀତ କୋଣ ଦୁଇଟି $60^\circ$ କୋଣର ସମଷ୍ଟି ହୋଇ ଗଠିତ ହେବେ, ଅର୍ଥାତ୍ $60^\circ + 60^\circ =$ $120^\circ$ ।

• ତେଣୁ ନୂତନ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ,$ ଓ $120^\circ$ ହେବ ।
  🌟 WithTeachers.in🌟

❓ Question 2:

ଏକ ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ $6 \text{ cm}$ ଓ $8 \text{ cm}$ ।

✅ Answer:

ଏକ ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି (Kite) ର ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଧର୍ମ ହେଉଛି ଯେ, ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଟନ୍ତି (ଅର୍ଥାତ୍ $90^\circ$ ରେ ଛେଦ କରନ୍ତି) ଏବଂ ସେଥିମଧ୍ୟରୁ କେବଳ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣ ଅନ୍ୟଟି ଦ୍ୱାରା ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ ହୁଏ ।

1. ପ୍ରଥମେ ସ୍କେଲ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣ ଟାଣନ୍ତୁ ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $8 \text{ cm}$ (ଧରାଯାଉ $AC = 8 \text{ cm}$) ।

2. କର୍ଣ୍ଣ $AC$ ଉପରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ $O$ ଚିହ୍ନଟ କରନ୍ତୁ, ଯାହା ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ନହୋଇଥିବ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $A$ ଠାରୁ $3 \text{ cm}$ ଦୂରରେ $O$ ବିନ୍ଦୁ ନିଅନ୍ତୁ ($AO = 3 \text{ cm}$ ଓ $OC = 5 \text{ cm}$)।

3. $O$ ବିନ୍ଦୁଠାରେ ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ସାହାଯ୍ୟରେ $AC$ ପ୍ରତି ଏକ ଲମ୍ବ ସରଳରେଖା ($90^\circ$) ଅଙ୍କନ କରନ୍ତୁ ।

4. ଦ୍ୱିତୀୟ କର୍ଣ୍ଣଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $6 \text{ cm}$। ତେଣୁ ଏହା ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ ହେବ ଅର୍ଥାତ୍ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ $3 \text{ cm}$ ରହିବ। କମ୍ପାସ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ $O$ ବିନ୍ଦୁରୁ ଲମ୍ବ ରେଖା ଉପରେ ଉପରକୁ ଓ ତଳକୁ $3 \text{ cm}$ ର ଚାପ କାଟନ୍ତୁ । ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ $B$ ଏବଂ $D$ ନାମ ଦିଅନ୍ତୁ । (ବର୍ତ୍ତମାନ $BD = 6 \text{ cm}$ ଏବଂ $OB = OD = 3 \text{ cm}$) ।

5. ଶେଷରେ ସ୍କେଲ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ $A$ ସହ $B$, $B$ ସହ $C$, $C$ ସହ $D$ ଓ $D$ ସହ $A$ ବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରନ୍ତୁ ।

   ✨ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୋଇଥିବା ଚିତ୍ରଟି ହେଉଛି ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି (Kite) ।

🌟 WithTeachers.in🌟

❓ Question 3:

ନିମ୍ନ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ଗୁଡ଼ିକରେ ଅବଶିଷ୍ଟ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i) ପ୍ରଥମ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ (ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱର ଚିତ୍ର):

• ଏହି ଚିତ୍ରରେ ଉପର ଏବଂ ତଳ ବାହୁଦ୍ୱୟ ସମାନ୍ତର ଅଟନ୍ତି (ତୀର ଚିହ୍ନ ଦ୍ୱାରା ଦର୍ଶାଯାଇଛି) । ଦତ୍ତ ଅଛି ତଳ ପାର୍ଶ୍ୱର କୋଣ ଦୁଇଟି $135^\circ$ ଓ $105^\circ$ ।

• ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଏକ ଛେଦକ ଛେଦ କଲେ, ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି $180^\circ$ ହୋଇଥାଏ ।

• ତେଣୁ, ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱର ଉପର କୋଣ = $180^\circ - 135^\circ =$ $45^\circ$ ।

• ସେହିପରି, ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱର ଉପର କୋଣ = $180^\circ - 105^\circ =$ $75^\circ$ ।

• ଅତଏବ, ଅବଶିଷ୍ଟ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ହେଲା: $45^\circ$ ଏବଂ $75^\circ$ ।

(ii) ଦ୍ୱିତୀୟ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ (ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱର ଚିତ୍ର):

• ଏହି ଚିତ୍ରଟି ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ (Isosceles Trapezium) କାରଣ ଏହାର ଉପର ଏବଂ ତଳ ବାହୁ ସମାନ୍ତର ହୋଇଥିବା ବେଳେ ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁ ସମାନ ଅଟନ୍ତି (କାଟ ଚିହ୍ନ ଦ୍ୱାରା ଦର୍ଶାଯାଇଛି) । ଦତ୍ତ ଅଛି ଉପର-ବାମ କୋଣଟି $100^\circ$ ।

• ପୂର୍ବପରି ସମାନ୍ତର ରେଖାର ନିୟମ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱର ତଳ କୋଣ = $180^\circ - 100^\circ =$ $80^\circ$ ।

• ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ ସମାନ୍ତର ଭୂମି ସଂଲଗ୍ନ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ସହିତ ସମାନ ହୋଇଥାନ୍ତି। ଅର୍ଥାତ୍ ତଳ କୋଣ ଦୁଇଟି ସମାନ ଏବଂ ଉପର କୋଣ ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟ ସମାନ।

• ତେଣୁ, ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱର ତଳ କୋଣ = ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱର ତଳ କୋଣ = $80^\circ$ ।

• ଏବଂ, ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱର ଉପର କୋଣ = ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱର ଉପର କୋଣ = $100^\circ$ ।

• ଅତଏବ, ଅବଶିଷ୍ଟ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ହେଲା: $80^\circ$, $80^\circ$, ଏବଂ $100^\circ$ ।

❓ Question 4:

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର, ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି, ରମ୍ବସ୍, ଆୟତଚିତ୍ର ଏବଂ ବର୍ଗଚିତ୍ରମାନଙ୍କର ସେଟ୍ ଦର୍ଶାଉଥିବା ଏକ ଭେନ୍ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।

(i) କେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଉଭୟ ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି ଓ ସାମାନ୍ତରିକଚିତ୍ର ?

(ii) ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଉଭୟ ଗୁଡ଼ିଆକୃତି ଓ ଆୟତଚିତ୍ର ହୋଇପାରିବ କି ?

(iii) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୁଡ଼ିଆକୃତି ଏକ ରମ୍ବସ୍ କି ? ଯଦି ନୁହେଁ, ତେବେ ଏହି ଦୁଇପ୍ରକାରର ଚତୁର୍ଭୁଜ ମଧ୍ୟରେ ଉପଯୁକ୍ତ ସମ୍ପର୍କଟି କ’ଣ ?

✅ Answer 4:

(ଭେନ୍ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପାଇଁ ସୂଚନା: ଏଥିରେ ବୃହତ୍ତର ସେଟ୍ ଭାବରେ ‘ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି’ (Kite) ଏବଂ ‘ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର’ (Parallelogram) ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରିବେ। ସେମାନଙ୍କର ଛେଦକ (intersection) ଅଂଶଟି ହେବ ‘ରମ୍ବସ୍’ (Rhombus) । ରମ୍ବସ୍ ଏବଂ ‘ଆୟତଚିତ୍ର’ (Rectangle) ର ଛେଦକ ଅଂଶ ହେବ ‘ବର୍ଗଚିତ୍ର’ (Square) ।)

🔹 (i) ରମ୍ବସ୍ (Rhombus) ହେଉଛି ସେହି ଚତୁର୍ଭୁଜ ଯାହା ଉଭୟ ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି ଓ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଅଟେ ।

🔹 (ii) ହଁ (Yes), ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର (Square) ଉଭୟ ଗୁଡ଼ିଆକୃତି ଏବଂ ଆୟତଚିତ୍ର ହୋଇପାରିବ ।

🔹 (iii) ନା (No), ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୁଡ଼ିଆକୃତି ଏକ ରମ୍ବସ୍ ନୁହେଁ । ଏମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଉପଯୁକ୍ତ ସମ୍ପର୍କଟି ହେଲା: "ପ୍ରତ୍ୟେକ ରମ୍ବସ୍ ଏକ ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି ଅଟେ, କିନ୍ତୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି ରମ୍ବସ୍ ନୁହେଁ ।"
🌟 WithTeachers.in🌟

❓ Question 5:

ଯଦି PAIR ଏବଂ RODS ଦୁଇଟି ଆୟତଚିତ୍ର, ତେବେ $\angle IOD$ କେତେ ?

ଦତ୍ତ ଅଛି ଯେ, PAIR ଏବଂ RODS ହେଉଛି ଦୁଇଟି ଆୟତଚିତ୍ର (Rectangles) ।

🔹 ଆୟତଚିତ୍ର PAIR ରେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ $90^\circ$ ଅଟେ। ତେଣୁ $\angle RIO = 90^\circ$ ।

🔹 ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ $\Delta RIO$ ରେ, ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ଦତ୍ତ ଅଛି $\angle ORI = 30^\circ$ ।

ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି $180^\circ$ ହୋଇଥିବାରୁ:

$$\angle ROI = 180^\circ - (\angle RIO + \angle ORI)$$

$$\angle ROI = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ)$$

$$\angle ROI = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

🔹 ପୁଣି, ଦ୍ୱିତୀୟ ଚତୁର୍ଭୁଜ RODS ମଧ୍ୟ ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର। ତେଣୁ ଏହାର ଏକ କୋଣ ଭାବରେ $\angle ROD = 90^\circ$ ହେବ ।

🔹 ଚିତ୍ରାନୁସାରେ, $OI$ ସରଳରେଖାଟି $\angle ROD$ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ । ଅର୍ଥାତ୍:

$$\angle ROD = \angle ROI + \angle IOD$$

ଏଠାରେ ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କଲେ:

$$90^\circ = 60^\circ + \angle IOD$$

$$\angle IOD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

ଅତଏବ, $\angle IOD$ ର ପରିମାଣ ହେଉଛି $30^\circ$ । ✨
🌟 WithTeachers.in🌟

❓ Question 6:

ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର ନ କରି ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $6 \text{ cm}$ ।

✅ Answer:

ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ($90^\circ$) ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି । ଏହି ଧର୍ମକୁ ବ୍ୟବହାର କରି କେବଳ ସ୍କେଲ୍ ଏବଂ କମ୍ପାସ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ ଅଙ୍କନ କରାଯାଇପାରିବ ।

✏️ ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀ:

1. ସ୍କେଲ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ ଏକ ରେଖାଖଣ୍ଡ $AC = 6 \text{ cm}$ ଅଙ୍କନ କର ।

2. କମ୍ପାସ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ $AC$ ର ଲମ୍ବ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ (Perpendicular bisector) ଅଙ୍କନ କର । ଏହା $AC$ କୁ ଠିକ୍ ମଧ୍ୟଭାଗ $O$ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ (ଅର୍ଥାତ୍ $AO = OC = 3 \text{ cm}$) ।

3. ବର୍ଗଚିତ୍ରର ଦ୍ୱିତୀୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମଧ୍ୟ $6 \text{ cm}$ ହେବ । ଯେହେତୁ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ ହୁଅନ୍ତି, କମ୍ପାସ୍‌ରେ ଏହାର ଅଧା ଅର୍ଥାତ୍ $3 \text{ cm}$ ର ମାପ ନେଇ $O$ ବିନ୍ଦୁରୁ ଲମ୍ବ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଉପରେ ଉପରକୁ ଏବଂ ତଳକୁ ଦୁଇଟି ଚାପ କାଟ ।

4. ଏହି ଛେଦ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ $B$ ଏବଂ $D$ ନାମ ଦିଅ । (ବର୍ତ୍ତମାନ $OB = 3 \text{ cm}$ ଓ $OD = 3 \text{ cm}$, ତେଣୁ ମୋଟ $BD = 6 \text{ cm}$) ।

5. ଶେଷରେ ସ୍କେଲ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ ବିନ୍ଦୁ $A, B, C,$ ଏବଂ $D$ କୁ ଯୋଗ କର । ଉତ୍ପନ୍ନ ଚିତ୍ରଟି ହେଉଛି ଆବଶ୍ୟକୀୟ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।

❓ Question 7:

CASE ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର । U, V, W ଓ X ହେଉଛି ଯଥାକ୍ରମେ AC, CE, ES ଓ SA ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । UVWX କେଉଁ ପ୍ରକାରର ଚତୁର୍ଭୁଜ ? ଜ୍ୟାମିତିକ ତର୍କ ବ୍ୟବହାର କରି ଓ ଏହାର ଅଙ୍କନ ଓ ମାପ କରି ଉତ୍ତର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ବର୍ଗଚିତ୍ର ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ୟ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବାର ଅନ୍ୟ ଉପାୟଗୁଡିକ ଖୋଜ, ଯେପରି ଚିତ୍ରରେ ପ୍ରଦର୍ଶିତ ହେବାଭଳି ଭିତର ବର୍ଗଚିତ୍ରର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡିକ ବାହାର ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁ ଉପରେ ରହିବ ।

UVWX ହେଉଛି ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର (Square) ।

🔹 ଯୁକ୍ତି: CASE ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ହୋଇଥିବାରୁ ଏହାର ସମସ୍ତ ବାହୁ ସମାନ ଏବଂ ସମସ୍ତ କୋଣ $90^\circ$ ଅଟେ। ତେଣୁ ଏହି ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଅଧା ଅଂଶ ମଧ୍ୟ ସମାନ ହେବେ (ଯଥା $AU = UC = CV = VE \dots$ ଇତ୍ୟାଦି) ।

ଏଣୁ କୋଣରେ ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥିବା ଚାରୋଟିଯାକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ (ଯଥା $\Delta XAU$, $\Delta UCV$ ଇତ୍ୟାଦି) ସର୍ବସମ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଟନ୍ତି । ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କର କର୍ଣ୍ଣଗୁଡ଼ିକ (ଭିତର ଚତୁର୍ଭୁଜର ବାହୁ) ପରସ୍ପର ସମାନ ହେବ ଅର୍ଥାତ୍ $XU = UV = VW = WX$ ହେବ ।

ଏହାଛଡ଼ା, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ସୂକ୍ଷ୍ମ କୋଣ $45^\circ$ ହୋଇଥିବାରୁ, ଏକ ସରଳରେଖା ଉପରେ ଭିତର ଚତୁର୍ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ $180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$ ହେବ । ଚାରି ବାହୁ ସମାନ ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ $90^\circ$ ଥିବାରୁ UVWX ନିଶ୍ଚିତ ଭାବେ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।

ପ୍ରଦତ୍ତ ଚିତ୍ର ଆଧାରରେ ପ୍ରଶ୍ନ 7(b) ର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ସମାଧାନ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା। ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଇଂରାଜୀରେ ଲେଖାଯାଇଛି:

❓ Question 7(b):

ଚିତ୍ର (b) ରେ ପ୍ରଦର୍ଶିତ ହୋଇଥିବା ପରି, ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ୟ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର (ଯାହାର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ବାହାର ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁ ଉପରେ ଥିବ) ଅଙ୍କନ କରିବାର ଅନ୍ୟ ଉପାୟଟି କ’ଣ?

✅ Answer:

🔹 ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ (Short Method):

1. ଧରାଯାଉ ବାହାର ବର୍ଗଚିତ୍ରଟି ହେଉଛି $ABCD$ ।

2. ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଦୂରତା ମାପ ନିଅନ୍ତୁ (ଧରାଯାଉ ଏହା $x$) ।

3. ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁ ଉପରେ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ (ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ Clockwise) ଗୋଟିଏ ଶୀର୍ଷରୁ ସମାନ ଦୂରତା $x$ ରେ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କରନ୍ତୁ ।

4. ଅର୍ଥାତ୍, ବିନ୍ଦୁ $P, Q, R, S$ କୁ ଯଥାକ୍ରମେ ବାହୁ $AB, BC, CD, DA$ ଉପରେ ଏପରି ନିଅନ୍ତୁ ଯେପରି:

   $$AP = BQ = CR = DS = x$$

5. ବର୍ତ୍ତମାନ ଏହି ଚାରୋଟି ନୂତନ ବିନ୍ଦୁ $P, Q, R,$ ଏବଂ $S$ କୁ ଯୋଗ କରନ୍ତୁ ।

6. ଉତ୍ପନ୍ନ ହୋଇଥିବା ଚତୁର୍ଭୁଜ $PQRS$ ସର୍ବଦା ଏକ ନୂତନ ବର୍ଗଚିତ୍ର (Square) ହିଁ ହେବ । 📏✨

🔹 ଗାଣିତିକ ଯୁକ୍ତି (Mathematical Reason):

ଏପରି କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାହାର ବର୍ଗଚିତ୍ରର ଚାରି କୋଣରେ ଚାରୋଟି ସର୍ବସମ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ (Congruent right-angled triangles) ସୃଷ୍ଟି ହୁଏ (ଯଥା: $\Delta APS \cong \Delta BQP \dots$) । ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କର ଅତିଭୁଜ (Hypotenuse) ଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୋଇଯାଏ ($PQ = QR = RS = SP$) ଏବଂ ଭିତରର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ ଠିକ୍ $90^\circ$ ହୋଇଯାଏ ।
🌟 WithTeachers.in🌟

❓ Question 8:

ଯଦି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରୋଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଓ ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ $90^\circ$ ହୁଏ, ତେବେ ଏହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ହେବ କି ?

✅ Answer:

ହଁ (Yes), ଏହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ହେବ ।

🔹 ଯୁକ୍ତି: ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରୋଟିଯାକ ବାହୁ ସମାନ ଥାଏ, ତାହାକୁ ଏକ ରମ୍ବସ୍ (Rhombus) କୁହାଯାଏ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ରମ୍ବସ୍ ମୂଳତଃ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର (Parallelogram) ଅଟେ । ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଧର୍ମ ଅନୁଯାୟୀ, ଏହାର ବିପରୀତ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଏବଂ ସନ୍ନିହିତ (ପାଖାପାଖି) କୋଣଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି $180^\circ$ ଅଟେ ।

ଯଦି ଗୋଟିଏ କୋଣ $90^\circ$ ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ବିପରୀତ କୋଣ ମଧ୍ୟ $90^\circ$ ହେବ । ସେହିପରି ସନ୍ନିହିତ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ ହେବେ ।

ତେଣୁ, ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରୋଟି ଯାକ ବାହୁ ସମାନ ଏବଂ ଚାରୋଟି ଯାକ କୋଣର ପରିମାଣ $90^\circ$ ହୋଇଥିବାରୁ ଏହା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭାବରେ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର (Square) ର ସମସ୍ତ ସର୍ତ୍ତ ପୂରଣ କରୁଛି ।

❓ Question 9:

କେଉଁ ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ବିପରୀତ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଥାଏ ? ତୁମର ଉତ୍ତରର ଯଥାର୍ଥତା ପ୍ରତିପାଦନ କର ।

ସୂଚନା : ଏକ କର୍ଣ୍ଣ ଅଙ୍କନ କର ଏବଂ ଏଥିରେ ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜ ସୃଷ୍ଟି ହେଉଛି କି ? ପରୀକ୍ଷା କର ।

✅ Answer:

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର (Parallelogram), ଆୟତଚିତ୍ର (Rectangle), ରମ୍ବସ୍ (Rhombus), ଏବଂ ବର୍ଗଚିତ୍ର (Square) ରେ ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଥାଏ ।

🔹 ଯଥାର୍ଥତା ପ୍ରତିପାଦନ (ଜ୍ୟାମିତିକ ଯୁକ୍ତି):

1. ମନେକର $ABCD$ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର, ଯାହାର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ଅଟନ୍ତି ଅର୍ଥାତ୍ $AB \parallel CD$ ଏବଂ $AD \parallel BC$ ।

2. ଏକ କର୍ଣ୍ଣ $AC$ ଅଙ୍କନ କର । ଏହା ଚତୁର୍ଭୁଜକୁ ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ $\Delta ABC$ ଏବଂ $\Delta CDA$ ରେ ବିଭକ୍ତ କରିବ ।

3. ଉଭୟ ତ୍ରିଭୁଜ ମଧ୍ୟରେ:

   • $\angle BAC = \angle DCA$ (କାରଣ $AB \parallel CD$ ଏବଂ $AC$ ଛେଦକ ହୋଇଥିବାରୁ ଏକାନ୍ତର କୋଣ ସମାନ)।

   • $\angle BCA = \angle DAC$ (କାରଣ $AD \parallel BC$ ଏବଂ $AC$ ଛେଦକ ହୋଇଥିବାରୁ ଏକାନ୍ତର କୋଣ ସମାନ)।

   • $AC = CA$ (ଏହା ଉଭୟ ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ସାଧାରଣ ବାହୁ ବା Common side)।

4. ତେଣୁ, ‘କୋ-ବା-କୋ’ (ASA - Angle-Side-Angle) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, $\Delta ABC \cong \Delta CDA$ (ଏହି ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ ସର୍ବସମ ଅଟନ୍ତି) ।

5. ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଂଶ ସମାନ ହୋଇଥିବାରୁ, $AB = CD$ ଏବଂ $BC = AD$ ହେବ ।

   ✨ ଅତଏବ, ଏହି ପ୍ରକାରର ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ବିପରୀତ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସର୍ବଦା ସମାନ ରହିଥାଏ ।

❓ Question 10:

ନିମ୍ନ ଚତୁର୍ଭୁଜ ପରି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜରେ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି $360^\circ$ ହେବ କି ? ଜ୍ୟାମିତିକ ଯୁକ୍ତି ବ୍ୟବହାର କରି ଓ ଏହାର ଅଙ୍କନ ଓ ମାପକରି ଉତ୍ତର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ Answer: ହଁ (Yes), ନିମ୍ନ ଚିତ୍ର ପରି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ (ଯାହାକି ଏକ ଅବତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ ବା Concave Quadrilateral ଅଟେ) ରେ ମଧ୍ୟ ସମସ୍ତ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି $360^\circ$ ହେବ ।

🔹 ଜ୍ୟାମିତିକ ଯୁକ୍ତି:

1. ଦତ୍ତ ଚତୁର୍ଭୁଜ $ABCD$ କୁ ଧ୍ୟାନରେ ଦେଖ । ଏଥିରେ ଏକ ପ୍ରବୃଦ୍ଧ କୋଣ (Reflex angle) $\angle D$ ରହିଛି ।

2. ଯଦି ଆମେ ଏକ କର୍ଣ୍ଣ $BD$ (ଭିତର ପାର୍ଶ୍ୱରେ) ଅଙ୍କନ କରିବା ବା $A$ ରୁ $C$ କୁ କର୍ଣ୍ଣ ଅଙ୍କନ କରିବା, ଏହା ଚତୁର୍ଭୁଜଟିକୁ ଦୁଇଟି ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରିବ । ଧରାଯାଉ ଆମେ କର୍ଣ୍ଣ $BD$ ଟାଣିଲେ (ଯଦିଓ ଏହା ବାହାରେ ରହିବ, ତେଣୁ ଭିତରର କର୍ଣ୍ଣ $AC$ ଟାଣିବା ଭଲ)।

3. ମନେକର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ $B$ ଏବଂ $D$ କୁ ଏକ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଦ୍ୱାରା ଯୋଡ଼ିଲେ, ଏହା ଚତୁର୍ଭୁଜଟିକୁ ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ ଯଥା $\Delta ABD$ ଏବଂ $\Delta CBD$ ରେ ବିଭକ୍ତ କରିବ ।

4. ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, ଯେକୌଣସି ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି $180^\circ$ ଅଟେ ।

5. ତେଣୁ, ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜର ମୋଟ କୋଣର ସମଷ୍ଟି ହେବ = $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$ ।

   ✨ ଅତଏବ, ଏହା ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା ଯେ ଅବତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ ହେଲେ ମଧ୍ୟ ଏହାର ସମସ୍ତ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ (ବୃହତ୍ କୋଣ $\angle D$ କୁ ମିଶାଇ) ର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା $360^\circ$ ହିଁ ହେବ ।
   🌟withteachers.in🌟

❓ Question 11:

ନିମ୍ନଲିଖିତ ବାକ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ କି ଭୁଲ୍ ଲେଖ । ତୁମର ଉତ୍ତରର ଯଥାର୍ଥତା ପ୍ରତିପାଦନ କର ।

🔹 (i) ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି, ତାହା ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ହେବ ।

✅ Answer: ❌ ଭୁଲ୍ (False)

ଯଥାର୍ଥତା: ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସମାନ ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି, ତାହା ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର (Rectangle) ହୋଇଥାଏ । ଏହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର (Square) ହେବା ପାଇଁ ତାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ($90^\circ$ ରେ ଛେଦ କରିବା) ମଧ୍ୟ ଆବଶ୍ୟକ ।

🔹 (ii) ତିନୋଟି ସମକୋଣ ଥିବା ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ନିଶ୍ଚିତ ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ହେବ ।

✅ Answer: ✅ ଠିକ୍ (True)

ଯଥାର୍ଥତା: ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରୋଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି $360^\circ$ ଅଟେ । ଯଦି ତିନୋଟି କୋଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ $90^\circ$ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି $270^\circ$ ହେବ । ଅତଏବ ଚତୁର୍ଥ କୋଣଟି ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ $360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$ ହେବ । ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣ $90^\circ$ ଅଟେ, ତାହା ନିଶ୍ଚିତ ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।

🔹 (iii) ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି, ତାହା ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

✅ Answer: ✅ ଠିକ୍ (True)

ଯଥାର୍ଥତା: ଏହା ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର (Parallelogram) ର ଏକ ପ୍ରମୁଖ ଜ୍ୟାମିତିକ ଧର୍ମ ଯେ, ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି ।

🔹 (iv) ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ, ତାହା ଏକ ରମ୍ବସ୍ ।

✅ Answer: ❌ ଭୁଲ୍ (False)

ଯଥାର୍ଥତା: ଏକ ‘ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି’ (Kite) ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ($90^\circ$) ହୋଇଥାନ୍ତି, କିନ୍ତୁ ତାହା ଏକ ରମ୍ବସ୍ ନୁହେଁ । ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ରମ୍ବସ୍ ହେବା ପାଇଁ ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ଲମ୍ବ ଭାବରେ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ (bisect) କରିବା ଆବଶ୍ୟକ ।

🔹 (v) ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସମାନ, ତାହା ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

✅ Answer: ✅ ଠିକ୍ (True)

ଯଥାର୍ଥତା: ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ବିପରୀତ କୋଣ ଯୋଡ଼ାଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସମାନ ହେଲେ, ତାହା ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ସମସ୍ତ ସର୍ତ୍ତ ପୂରଣ କରେ ଏବଂ ତାର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ସମାନ୍ତର ହୋଇଯାନ୍ତି ।

🔹 (vi) ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସମାନ, ତାହା ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।

✅ Answer: ✅ ଠିକ୍ (True)

ଯଥାର୍ଥତା: ଚତୁର୍ଭୁଜର ମୋଟ କୋଣର ପରିମାଣ $360^\circ$ । ସମସ୍ତ 4 ଟି କୋଣ ସମାନ ହେଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ $\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$ ହେବ । ଏହା ଆୟତଚିତ୍ରର ମୁଖ୍ୟ ସଂଜ୍ଞା ଅଟେ ।

🔹 (vii) ସମଦ୍ୱିବାହୁ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ଗୁଡ଼ିକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

✅ Answer: ❌ ଭୁଲ୍ (False)

ଯଥାର୍ଥତା: ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ ଯୋଡ଼ା ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର ହୋଇଥାଏ । କିନ୍ତୁ ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ (ଅଥବା ସମଦ୍ୱିବାହୁ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍) ରେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଯୋଡ଼ା ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର ଥାଏ । ଏଣୁ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ କେବେହେଲେ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।