📘

WithTeachers.In

Learning Together

📘

WithTeachers

Learning Together

© WithTeachers

Designed with for a better world.
Class 9 ବୀଜଗଣିତ
ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(a)

ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(a) – Book Q A Class 9 ବୀଜଗଣିତ

Study Material Book Q&A Additional Questions

❓ 1. ଭୁଲ୍ ଥିଲେ (F) ଓ ଠିକ୍ ଥିଲେ (T) ଲେଖ ।

❓ (i) -1 ଦ୍ଵାରା -201 ବିଭାଜ୍ୟ । ✅ ଉତ୍ତର: T

❓ (ii) 1 ଦ୍ବାରା 0 ବିଭାଜ୍ୟ । ✅ ଉତ୍ତର: T

❓ (iii) 0 ଦ୍ୱାରା 5 ବିଭାଜ୍ୟ । ✅ ଉତ୍ତର: F

❓ (iv) ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ପରିମେୟ ନୁହେଁ । ✅ ଉତ୍ତର: F

❓ (v) -5 < -3 । ✅ ଉତ୍ତର: T

❓ (vi) 0.9 ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା । ✅ ଉତ୍ତର: T

❓ (vii) 0 ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା । ✅ ଉତ୍ତର: F

❓ (viii) −12-\frac{1}{2} ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା । ✅ ଉତ୍ତର: T

❓ (ix) a, b∈Nb \in N ହେଲେ ab∈Nab \in N । ✅ ଉତ୍ତର: T

❓ (x) a, b∈Nb \in N ହେଲେ a−b∈Na-b \in N । ✅ ଉତ୍ତର: F

❓ (xi) a, b∈Zb \in Z ହେଲେ a−b∈Za-b \in Z । ✅ ଉତ୍ତର: T

❓ (xii) a, b∈Zb \in Z ହେଲେ ab∈Q\frac{a}{b} \in Q । ✅ ଉତ୍ତର: F

❓ 2. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

❓ (i) 12\frac{1}{2} ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _______ ।

✅ ଉତ୍ତର: −12-\frac{1}{2}

❓ (ii) -7 ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _______ ।

✅ ଉତ୍ତର: −17-\frac{1}{7}

❓ (iii) _______ ତା’ ନିଜର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ।

✅ ଉତ୍ତର: 0

❓ (iv) _______ ତା ନିଜର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ।

✅ ଉତ୍ତର: 1 ଓ -1

❓ (v) ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ରେ ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ _______ ।

✅ ଉତ୍ତର: 0

❓ (vi) ଯୁଗ୍ମ ଓ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ _______ ।

✅ ଉତ୍ତର: ଅଯୁଗ୍ମ

❓ (vii) _______ ଏକମାତ୍ର ଯୁଗ୍ମ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ ।

✅ ଉତ୍ତର: 2

❓ (viii) ସର୍ବନିମ୍ନ ଅଯୁଗ୍ମ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଟି _______ ଅଟେ ।

✅ ଉତ୍ତର: 3

❓ (ix) ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟା _______ ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ବଣ୍ଟନ କରେ ।

✅ ଉତ୍ତର: ଯୋଗ

❓ (x) ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ରେ ଦୁଇଟି ପରସ୍ପର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଉପାଦାନକୁ ମିଶାଇଲେ ଫଳ _______ ଅଟେ ।

✅ ଉତ୍ତର: 0

❓ (xi) N∩N∗=N \cap N^{*} = _______ ।

✅ ଉତ୍ତର: NN

❓ (xii) Z ସେଟ୍‌ରେ -1 ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _______ ।

✅ ଉତ୍ତର: -1

❓ 3. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ପ୍ରଦତ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତରରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟିକୁ ବାଛ ।

❓ (i) n, m∈Zm \in Z ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ଯରୁ କେଉଁଟି ଅସତ୍ୟ ?

(a) m+n∈Zm+n \in Z, (b) m−n∈Zm-n \in Z (c) m×n∈Zm \times n \in Z (d) nm∈Z\frac{n}{m} \in Z ।

✅ ଉତ୍ତର: (d)

❓ (ii) Z ସେଟ୍‌ରେ କେଉଁଟି ସତ୍ୟ ?

(a) ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ 0 (b) ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ 1

(c) ଗୁଣନାତ୍ମକ ଅଭେଦ 0 (d) ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ 1 ।

✅ ଉତ୍ତର: (a)

❓ (iii) ନିମ୍ନଲିଖୂତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ସତ୍ୟ ?

(a) ସବୁଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଟି 3 (b) ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଅଯୁଗ୍ମ

(c) ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଅଯୁଗ୍ମ (d) ଦୁଇଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ମୌଳିକ ।

✅ ଉତ୍ତର: (c)

❓ (iv) ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ସତ୍ୟ ?

(a) x < y ଏବଂ y < z ହେଲେ x < z
(b) x < y ଏବଂ z ∈ Q ହେଲେ xz < yz
(c) x < y ଏବଂ z ∈ Q ହେଲେ x + z < y + z
(d) ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ସସୀମ ସଂଖ୍ୟକ ପରିମେୟ ବିଦ୍ୟମାନ ।

✅ ଉତ୍ତର: (a) ✔️

❓ (v) ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଠିକ୍ ?

(a) 0.9999... < 1.0
(b) 1/5 ର ଦଶମିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି 0.19999...
(c) 1/3 ର ଦଶମିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଅସରନ୍ତି ନୁହେଁ
(d) n ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ 1/n ର ଦଶମିକ ପରିପ୍ରକାଶ ସର୍ବଦା ପୌନଃପୁନିକ ।

✅ ଉତ୍ତର: (b)

❓ (vi) 1/2, 2/3, 3/5, 4/7 ମଧ୍ୟରେ ବୃହତ୍ତମ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କେଉଁଟି ?

(a) 1/2
(b) 2/3
(c) 3/5
(d) 4/7

✅ ଉତ୍ତର: (b)

❓ (vii) 1/2, 2/3, 3/5, 4/7 ମଧ୍ୟରେ କ୍ଷୁଦ୍ରତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟା କେଉଁଟି ?

(a) 1/2
(b) 2/3
(c) 3/5
(d) 4/7

✅ ଉତ୍ତର: (a)

❓ (viii) 1 ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ କେଉଁଟି ?

(a) 1
(b) 0
(c) -1
(d) ଏଥୁରୁ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ

✅ ଉତ୍ତର: (c)

❓ (ix) ନିମ୍ନଲିଖୂତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ଉକ୍ତିଟି ଅସତ୍ୟ ?

(a) p ଓ q ମୌଳିକ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କର ଗ.ସା.ଗୁ. = 1
(b) p ଓ q ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ p+q+pq ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା
(c) p ଓ q ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ p+q ମଧ୍ୟ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା
(d) p ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଓ q ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ pq ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା

✅ ଉତ୍ତର: (c)

❓ 17. 277\frac{27}{7} ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଅସରନ୍ତି ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: 277\frac{27}{7} କୁ ଦଶମିକରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ ଏହା 3.857142857142...3.857142857142... ହେବ, ଯାହାକୁ ଆମେ ଅସରନ୍ତି ପୌନଃପୁନିକ ରୂପରେ 3.857142‾3.\overline{857142} ଲେଖିପାରିବା

❓ 18. ପ୍ରମାଣ କର ।

(i) 0.9‾=10.\overline{9}=1

(ii) 1.29‾=1.31.2\overline{9}=1.3

(iii) 2.349‾=2.352.34\overline{9}=2.35 ।

✅ ଉତ୍ତର: (i) ମନେକର x=0.9‾=0.999...x = 0.\overline{9} = 0.999...

ତେଣୁ 10x=9.999...10x = 9.999...

ବର୍ତ୍ତମାନ 10x−x=9.999...−0.999...10x - x = 9.999... - 0.999... ଅର୍ଥାତ୍ 9x=99x = 9

ଏଣୁ x=99=1x = \frac{9}{9} = 1 (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ମନେକର x=1.29‾=1.2999...x = 1.2\overline{9} = 1.2999...

ତେଣୁ 10x=12.999...10x = 12.999... ଏବଂ 100x=129.999...100x = 129.999...

ବର୍ତ୍ତମାନ 100x−10x=129.999...−12.999...100x - 10x = 129.999... - 12.999... ଅର୍ଥାତ୍ 90x=11790x = 117

ଏଣୁ x=11790=1.3x = \frac{117}{90} = 1.3 (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) ମନେକର x=2.349‾=2.34999...x = 2.34\overline{9} = 2.34999...

ତେଣୁ 100x=234.999...100x = 234.999... ଏବଂ 1000x=2349.999...1000x = 2349.999...

ବର୍ତ୍ତମାନ 1000x−100x=2349.999...−234.999...1000x - 100x = 2349.999... - 234.999... ଅର୍ଥାତ୍ 900x=2115900x = 2115

ଏଣୁ x=2115900=2.35x = \frac{2115}{900} = 2.35 (ପ୍ରମାଣିତ)

❓ 19. ପରିମେୟ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

(i) 0.1‾0.\overline{1} (ii) 0.11‾0.\overline{11}

(iii) 0.89‾0.\overline{89} (iv) 0.37‾0.\overline{37}

(v) 0.123‾0.\overline{123} (vi) 0.321‾0.\overline{321}

(vii) −0.54‾-0.\overline{54} (viii) 6.89‾6.\overline{89}

(ix) −0.12‾-0.\overline{12} (x) 0.013050.01305 ।

✅ ଉତ୍ତର: (i) 0.1‾=190.\overline{1} = \frac{1}{9}

(ii) 0.11‾=1199=190.\overline{11} = \frac{11}{99} = \frac{1}{9}

(iii) 0.89‾=89990.\overline{89} = \frac{89}{99}

(iv) 0.37‾=37990.\overline{37} = \frac{37}{99}

(v) 0.123‾=123999=413330.\overline{123} = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}

(vi) 0.321‾=321999=1073330.\overline{321} = \frac{321}{999} = \frac{107}{333}

(vii) −0.54‾=−5499=−611-0.\overline{54} = -\frac{54}{99} = -\frac{6}{11}

(viii) 6.89‾=6+8999=683996.\overline{89} = 6 + \frac{89}{99} = \frac{683}{99}

(ix) −0.12‾=−1299=−433-0.\overline{12} = -\frac{12}{99} = -\frac{4}{33}

(x) 0.01305=1305100000=261200000.01305 = \frac{1305}{100000} = \frac{261}{20000}

❓ 20. ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର (ପୂର୍ଣ ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ଭଗ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ରୂପରେ) ।

(i) 0.6‾+0.3‾0.\overline{6}+0.\overline{3}

(ii) 0.6‾−(0.3‾)×20.\overline{6}-(0.\overline{3})\times2

(iii) (0.6‾)2+(0.3‾)2+2×(0.6‾)×(0.3‾)(0.\overline{6})^{2}+(0.\overline{3})^{2}+2\times(0.\overline{6})\times(0.\overline{3})

(iv) (0.6‾)2+(0.3‾)2−2×(0.6‾)×(0.3‾)+0.6‾(0.\overline{6})^{2}+(0.\overline{3})^{2}-2\times(0.\overline{6})\times(0.\overline{3})+0.\overline{6}

(v) (0.6‾)2−(0.3‾)2(0.\overline{6})^{2}-(0.\overline{3})^{2}

(vi) (0.6‾)3+(0.3‾)3+3×(0.6‾)×(0.3‾)(0.\overline{6})^{3}+(0.\overline{3})^{3}+3\times(0.\overline{6})\times(0.\overline{3})

(vii) (0.6‾)3−(0.3‾)3−3×(0.3‾)(0.6‾)×(0.6‾−0.3‾)(0.\overline{6})^{3}-(0.\overline{3})^{3}-3\times(0.\overline{3})(0.\overline{6})\times(0.\overline{6}-0.\overline{3}) ।

✅ ଉତ୍ତର: ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ 0.6‾=69=230.\overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} ଏବଂ 0.3‾=39=130.\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

(i) 0.6‾+0.3‾=23+13=33=10.\overline{6}+0.\overline{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1

(ii) 0.6‾−(0.3‾)×2=23−(13)×2=23−23=00.\overline{6}-(0.\overline{3})\times2 = \frac{2}{3} - (\frac{1}{3})\times2 = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0

(iii) (0.6‾)2+(0.3‾)2+2×(0.6‾)×(0.3‾)=(0.6‾+0.3‾)2=(1)2=1(0.\overline{6})^{2}+(0.\overline{3})^{2}+2\times(0.\overline{6})\times(0.\overline{3}) = (0.\overline{6} + 0.\overline{3})^2 = (1)^2 = 1

(iv) (0.6‾)2+(0.3‾)2−2×(0.6‾)×(0.3‾)+0.6‾=(0.6‾−0.3‾)2+0.6‾=(23−13)2+23=(13)2+23=19+69=79(0.\overline{6})^{2}+(0.\overline{3})^{2}-2\times(0.\overline{6})\times(0.\overline{3})+0.\overline{6} = (0.\overline{6} - 0.\overline{3})^2 + 0.\overline{6} = (\frac{2}{3} - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{3} = (\frac{1}{3})^2 + \frac{2}{3} = \frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{7}{9}

(v) (0.6‾)2−(0.3‾)2=(23)2−(13)2=49−19=39=13(0.\overline{6})^{2}-(0.\overline{3})^{2} = (\frac{2}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2 = \frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

(vi) (0.6‾)3+(0.3‾)3+3×(0.6‾)×(0.3‾)=(0.6‾+0.3‾)3(0.\overline{6})^{3}+(0.\overline{3})^{3}+3\times(0.\overline{6})\times(0.\overline{3}) = (0.\overline{6} + 0.\overline{3})^3 (କାରଣ a3+b3+3ab(a+b)a^3+b^3+3ab(a+b) ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ଏବଂ a+b=1a+b=1 ଅଟେ) =13=1= 1^3 = 1

(vii) (0.6‾)3−(0.3‾)3−3×(0.3‾)(0.6‾)×(0.6‾−0.3‾)=(0.6‾−0.3‾)3=(23−13)3=(13)3=127(0.\overline{6})^{3}-(0.\overline{3})^{3}-3\times(0.\overline{3})(0.\overline{6})\times(0.\overline{6}-0.\overline{3}) = (0.\overline{6} - 0.\overline{3})^3 = (\frac{2}{3} - \frac{1}{3})^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}

 

WithTeachers.in

❓ 4. ପ୍ରତି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଯୌଗିକ ଅଟେ କି ? କାରଣ ସହ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

✅ ଉତ୍ତର: ନା, ପ୍ରତି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଯୌଗିକ ନୁହେଁ। କାରଣ 22 ହେଉଛି ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ମାତ୍ର ଏହା ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ।

❓ 5. କେଉଁ କେଉଁ ବୀଜଗାଣିତିକ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ Z\mathbb{Z} ରେ ସତ୍ୟ, ମାତ୍ର ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ N\mathbb{N} ରେ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ସେଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ ।

✅ ଉତ୍ତର: ଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ଅଭେଦ ଧର୍ମ (ଶୂନ ବା 00 ର ଉପସ୍ଥିତି) ଏବଂ ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଧର୍ମ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ Z\mathbb{Z} ରେ ସତ୍ୟ, ମାତ୍ର ଏହି ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ N\mathbb{N} ରେ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ।

❓ 6. କେଉଁ କେଉଁ ବୀଜଗାଣିତିକ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ Q\mathbb{Q} ରେ ସତ୍ୟ, ମାତ୍ର ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ Z\mathbb{Z} ରେ ଅସତ୍ୟ ସେଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ ।

✅ ଉତ୍ତର: ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଧର୍ମ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ Q\mathbb{Q} ରେ ସତ୍ୟ (ଶୂନ ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ), ମାତ୍ର ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ Z\mathbb{Z} ରେ ଏହା ଅସତ୍ୟ ଅଟେ।

❓ 7. xx ଓ yy ଅଯୁଗ୍ମ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, xyxy ଅଯୁଗ୍ମ ମାତ୍ର x+yx+y ଯୁଗ୍ମ ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର xx ଓ yy ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଯଥା x=2m+1x = 2m + 1 ଏବଂ y=2n+1y = 2n + 1 (ଯେଉଁଠାରେ mm ଓ nn ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି)।

ବର୍ତ୍ତମାନ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ହେବ:

xy=(2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1xy = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1

ଯାହାକି ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସାଧାରଣ ରୂପ, ତେଣୁ ଏଥିରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ xyxy ଅଯୁଗ୍ମ ଅଟେ।

ପୁନଶ୍ଚ ସେମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ହେବ:

x+y=(2m+1)+(2n+1)=2m+2n+2=2(m+n+1)x + y = (2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)

ଯାହାକି 22 ଦ୍ୱାରା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବିଭାଜ୍ୟ, ତେଣୁ ଏଥିରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ x+yx+y ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ (ପ୍ରମାଣିତ)।

❓ 8. ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନେ ଯୋଗ ଜନିତ ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରନ୍ତି କି ? କାରଣ ସହ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

✅ ଉତ୍ତର: ନା, ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନେ ଯୋଗ ଜନିତ ସଂବୃତ୍ତି (Closure property) ନିୟମ ପାଳନ କରନ୍ତି ନାହିଁ। କାରଣ ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ (ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ 3+5=83 + 5 = 8, ଯାହାକି ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ)।

❓ 9. 15 ଅପେକ୍ଷା ବୃହତ୍ତର ଓ 100 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଯେଉଁ ପୂର୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡ଼ିକର ସାଧାରଣ ରୂପ 3n2+2,n∈Z3n^2 + 2, n \in \mathbb{Z} ସେଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ ।

✅ ଉତ୍ତର: ଦତ୍ତ ସାଧାରଣ ରୂପଟି ହେଉଛି 3n2+23n^2 + 2।

  • ଯଦି ଆମେ n=3n = 3 ନେବା, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ 3(3)2+2=293(3)^2 + 2 = 29

  • ଯଦି n=4n = 4 ନେବା, ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ 3(4)2+2=503(4)^2 + 2 = 50

  • ଯଦି n=5n = 5 ନେବା, ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ 3(5)2+2=773(5)^2 + 2 = 77

    ତେଣୁ 15 ଏବଂ 100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଏହି ରୂପର ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେବେ 29,50,29, 50, ଏବଂ 7777।

❓ 10. 0.123123123...0.123 123 123... ସଂଖ୍ୟାଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ କି ? କାରଣ ସହ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

✅ ଉତ୍ତର: ହଁ, ଏହି ସଂଖ୍ୟାଟି ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ। କାରଣ ଏହା ଏକ ଅସୀମ ଅଥଚ ପୌନଃପୁନିକ (Repeating) ଦଶମିକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା, ଯାହାକୁ ଆମେ ପରିମେୟ ରୂପରେ ଅର୍ଥାତ୍ pq\frac{p}{q} ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା।

❓ 11. 0.1310.131 ସଂଖ୍ୟାକୁ pq\frac{p}{q} ପରିମେୟ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଦତ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଟି ଏକ ସସୀମ (Terminating) ଦଶମିକ ହୋଇଥିବାରୁ ଏହାକୁ ପରିମେୟ ରୂପରେ ଲେଖିଲେ ଏହା 1311000\frac{131}{1000} ହେବ।

❓ 12. 13\frac{1}{3} ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଅସରନ୍ତି ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ରୂପେ ଲେଖ ।

✅ ଉତ୍ତର: 13\frac{1}{3} କୁ ଦଶମିକ ରୂପେ ଲେଖିଲେ ଏହା 0.3333...0.3333... କିମ୍ବା 0.3‾0.\overline{3} ହେବ।

❓ 13. 13\frac{1}{3} ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଲଘିଷ୍ଠାକୃତି ନ ହୋଇଥିବା 100q1,p2−102,206q3\frac{100}{q_1}, \frac{p_2}{-102}, \frac{206}{q_3} ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

✅ ଉତ୍ତର:

  • ଯଦି 13=100q1\frac{1}{3} = \frac{100}{q_1}, ତେବେ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା q1=300q_1 = 300

  • ଯଦି 13=p2−102\frac{1}{3} = \frac{p_2}{-102}, ତେବେ ବିଭାଜନ ଦ୍ୱାରା p2=−34p_2 = -34

  • ଯଦି 13=206q3\frac{1}{3} = \frac{206}{q_3}, ତେବେ ଗୁଣନ ଦ୍ୱାରା q3=618q_3 = 618

    ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟିର ଏହି ଅଲଘିଷ୍ଠ ରୂପଗୁଡ଼ିକ ହେବ ଯଥାକ୍ରମେ 100300,−34−102,\frac{100}{300}, \frac{-34}{-102}, ଏବଂ 206618\frac{206}{618}।

❓ 14. {−15n:nଏକଗଣନସଂଖ୍ୟାଓn≤15}\{ \frac{-15}{n} : n \text{ ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଓ } n \le 15 \} ସେଟ୍‌ରେ ବୃହତ୍ତମ ଓ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ଲେଖ ।

✅ ଉତ୍ତର: ଏହି ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ଋଣାତ୍ମକ ଅଟନ୍ତି। ଏଥିରେ ସବୁଠାରୁ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ −1515=−1\frac{-15}{15} = -1 ଏବଂ ସବୁଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ −151=−15\frac{-15}{1} = -15।

❓ 15. 14\frac{1}{4} ଓ 15\frac{1}{5} ମଧ୍ଯରେ 4 ଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଏହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା 4 ଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି:

  • x1=12(14+15)=940x_1 = \frac{1}{2}(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = \frac{9}{40}

  • x2=12(14+940)=1980x_2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{4} + \frac{9}{40}) = \frac{19}{80}

  • x3=12(14+1980)=39160x_3 = \frac{1}{2}(\frac{1}{4} + \frac{19}{80}) = \frac{39}{160}

  • x4=12(14+39160)=79320x_4 = \frac{1}{2}(\frac{1}{4} + \frac{39}{160}) = \frac{79}{320}

❓ 16. −12-\frac{1}{2} ଓ 13\frac{1}{3} ମଧ୍ଯରେ 3 ଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଏହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା 3 ଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି:

  • x1=12(−12+13)=−112x_1 = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = -\frac{1}{12}

  • x2=12(−12−112)=−724x_2 = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2} - \frac{1}{12}) = -\frac{7}{24}

  • x3=12(−12−724)=−1948x_3 = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2} - \frac{7}{24}) = -\frac{19}{48}

Previous Chapter ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଏବଂ ସେଟ୍‌ର ପ୍ରୟୋଗ Ex 1(c) Next Chapter ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b)