❓ ୧. (a) ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସାମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତରଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ଯରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତର ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

❓ (i) $|A|=3$ ଓ $|B|=4$ ହେଲେ $A \times B$ ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା = ...... [(a) 7 (b) 10 (c) 11 (d) 12]

✅ ଉତ୍ତର: 12
💡 ସୂତ୍ର: $|A \times B| = |A| \times |B| = 3 \times 4 = 12$

❓ (ii) $|A| = 3$ ହେଲେ $|A \times A| = ......$ [(a) 3 (b) 6 (c) 9 (d) ଏଥୁମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ]

✅ ଉତ୍ତର: 9
💡 ସୂତ୍ର: $|A \times A| = |A| \times |A| = 3 \times 3 = 9$

❓ (iii) $|A \cup B| = 15, |A| = 12$ ଓ $|B| = 6$ ହେଲେ $|A \cap B| = ......$ [(a) 3 (b) 6 (c) 9 (d) 12]

✅ ଉତ୍ତର: 3
💡 ସୂତ୍ର: $|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 12 + 6 - 15 = 3$

❓ (iv) $|A \cup B| = 10, |A \cap B| = 0$ ଓ $|A| = 4$ ହେଲେ $|B| = ......$ [(a) 0 (b) 4 (c) 6 (d) 12]

✅ ଉତ୍ତର: 6
💡 ସୂତ୍ର: $|B| = |A \cup B| + |A \cap B| - |A| = 10 + 0 - 4 = 6$

❓ (v) $A \cap B = \phi, |A| = 10$ ଓ $|B| = 3$ ହେଲେ $|A \cup B| = ......$ [(a) 3 (b) 7 (c) 10 (d) 13]

✅ ଉତ୍ତର: 13
💡 ସୂତ୍ର: ଏଠାରେ $|A \cap B| = 0$
ତେଣୁ $|A \cup B| = |A| + |B| - 0 = 10 + 3 = 13$

❓ (vi) $|A| = |B| = 5$ ଓ $|A \cap B| = 3$ ହେଲେ $|A \Delta B| = ......$ [(a) 3 (b) 4 (c) 7 (d) 8]

✅ ଉତ୍ତର: 4
💡 ସୂତ୍ର: $|A \Delta B| = |A| + |B| - 2|A \cap B| = 5 + 5 - 2(3) = 10 - 6 = 4$

❓ (vii) $|A \cup B| = 10$ ଓ $|A \cap B| = 3$ ହେଲେ $|A \Delta B| = ......$ [(a) 10 (b) 7 (c) 3 (d) 0]

✅ ଉତ୍ତର: 7
💡 ସୂତ୍ର: $|A \Delta B| = |A \cup B| - |A \cap B| = 10 - 3 = 7$

❓ (viii) $|A - B| = 5$ ଓ $|B - A| = 7$ ହେଲେ $|A \Delta B| = ......$ [(a) 2 (b) 12 (c) 7 (d) 5]

✅ ଉତ୍ତର: 12
💡 ସୂତ୍ର: $|A \Delta B| = |A - B| + |B - A| = 5 + 7 = 12$

❓ (b) ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ $x$ ଓ $y$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ (i) $(2-x, 5) = (4, y+2)$

✅ ଉତ୍ତର: $x = -2, y = 3$
💡 ସୂତ୍ର: କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ିର ସମାନତା ନିୟମ ଅନୁସାରେ, $2-x = 4 \Rightarrow x = 2 - 4 \Rightarrow x = -2$
$y+2 = 5 \Rightarrow y = 5 - 2 \Rightarrow y = 3$

❓ (ii) $(2x+3, 3y-4) = (7, 5)$

✅ ଉତ୍ତର: $x = 2, y = 3$
💡 ସୂତ୍ର: $2x+3 = 7 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$
$3y-4 = 5 \Rightarrow 3y = 9 \Rightarrow y = 3$

❓ (iii) $(x^2,y^2)=(4,9)$

$(x^2, y^2) = (4, 9)$ ✅ ଉତ୍ତର: $x = \pm 2, y = \pm 3$
💡 ସୂତ୍ର: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
$y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3$

❓ (iv) $(x+y, x-y) = (3, 1)$

✅ ଉତ୍ତର: $x = 2, y = 1$
💡 ସୂତ୍ର: $x+y = 3$ ଏବଂ $x-y=1$

$x-y = 1$
ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ଯୋଗ କଲେ $2x = 4 \Rightarrow x = 2$
ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ବିୟୋଗ କଲେ $2y = 2 \Rightarrow y = 1$
ନବମ ଶ୍ରେଣୀ ବୀଜଗଣିତର ପ୍ରଥମ ଅଧ୍ୟାୟ 'ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଏବଂ ସେଟ୍‌ର ପ୍ରୟୋଗ' ର ଅନୁଶୀଳନୀ 1(c) ର ପ୍ରଶ୍ନ ୨, ୩ ଏବଂ ୪ ର ବିସ୍ତୃତ ଉତ୍ତର ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା: 📝✨

❓ ୨. $A$ ଓ $B$ ସେଟ୍ ଦ୍ଵୟ ପାଇଁ $|A|=60$, $|B|=40$ ଓ $|A \Delta B|=70$ ହେଲେ $A$ ଓ $B$ ର ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ନିରୂପଣ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଦତ୍ତ ଅଛି, $|A|=60$, $|B|=40$ ଏବଂ $|A \Delta B|=70$
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତରର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $|A \Delta B| = |A| + |B| - 2|A \cap B|$
$\Rightarrow 70 = 60 + 40 - 2|A \cap B|$
$\Rightarrow 70 = 100 - 2|A \cap B|$
$\Rightarrow 2|A \cap B| = 100 - 70 = 30$
$\Rightarrow |A \cap B| = \frac{30}{2} = 15$
ତେଣୁ $A$ ଓ $B$ ର ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ ($A \cap B$) ସଂଖ୍ୟା ୧୫ ଅଟେ

❓ ୩. $A$ ଓ $B$ ସେଟ୍ ଦ୍ଵୟ ପାଇଁ $|A|=80$, $|B|=30$ ଓ $|A \cup B|=100$ ହେଲେ $|A \Delta B|$ କେତେ ସ୍ଥିର କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଦତ୍ତ ଅଛି, $|A|=80$, $|B|=30$ ଏବଂ $|A \cup B|=100$
ପ୍ରଥମେ ଆମେ ଛେଦ ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ବାହାର କରିବା: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
$\Rightarrow 100 = 80 + 30 - |A \cap B|$
$\Rightarrow 100 = 110 - |A \cap B|$
$\Rightarrow |A \cap B| = 110 - 100 = 10$
ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମେ ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର ବାହାର କରିବା: $|A \Delta B| = |A \cup B| - |A \cap B|$
$\Rightarrow |A \Delta B| = 100 - 10 = 90$
ତେଣୁ $|A \Delta B|$ ର ମୂଲ୍ୟ ୯୦ ଅଟେ

❓ ୪. ଗୋଟିଏ ଶ୍ରେଣୀରେ ୧୦୦ ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ୪୦ ଜଣ କମ୍ପ୍ୟୁଟର ବିଜ୍ଞାନ ଓ ୫୨ ଜଣ ପ୍ରାଣୀବିଜ୍ଞାନ ଅଧ୍ୟୟନ କରନ୍ତି । ଯଦି ୨୩ ଜଣ ଛାତ୍ର ଉଭୟ ବିଷୟକୁ ଅଧ୍ୟୟନ କରୁଥା’ନ୍ତି ତେବେ କେତେଜଣ ଛାତ୍ର ଏହି ଦୁଇ ବିଷୟରୁ କୌଣସିଟିକୁ ଅଧ୍ୟୟନ କରନ୍ତି ନାହିଁ ସ୍ଥିର କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ଶ୍ରେଣୀର ମୋଟ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା (ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍) $|E| = 100$
କମ୍ପ୍ୟୁଟର ବିଜ୍ଞାନ ଅଧ୍ୟୟନ କରୁଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା $|C| = 40$
ପ୍ରାଣୀବିଜ୍ଞାନ ଅଧ୍ୟୟନ କରୁଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା $|Z| = 52$
ଉଭୟ ବିଷୟ ଅଧ୍ୟୟନ କରୁଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା $|C \cap Z| = 23$
କମ୍ପ୍ୟୁଟର ବିଜ୍ଞାନ କିମ୍ବା ପ୍ରାଣୀବିଜ୍ଞାନ ଅଧ୍ୟୟନ କରୁଥିବା ମୋଟ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା $|C \cup Z| = |C| + |Z| - |C \cap Z|$
$\Rightarrow |C \cup Z| = 40 + 52 - 23 = 92 - 23 = 69$
ତେଣୁ କୌଣସି ବିଷୟ ଅଧ୍ୟୟନ କରୁନଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ହେବ $|(C \cup Z)'| = |E| - |C \cup Z|$
$\Rightarrow |(C \cup Z)'| = 100 - 69 = 31$
ଏଣୁ ୩୧ ଜଣ ଛାତ୍ର ଏହି ଦୁଇ ବିଷୟରୁ କୌଣସିଟିକୁ ଅଧ୍ୟୟନ କରନ୍ତି ନାହିଁ
ନବମ ଶ୍ରେଣୀ ବୀଜଗଣିତର ପ୍ରଥମ ଅଧ୍ୟାୟ 'ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଏବଂ ସେଟ୍‌ର ପ୍ରୟୋଗ' ର ଅନୁଶୀଳନୀ 1(c) ର ପ୍ରଶ୍ନ ୫, ୬, ୭ ଏବଂ ୮ ର ବିସ୍ତୃତ ଉତ୍ତର ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା: 📝✨

❓ ୫. ରାମଚନ୍ଦ୍ର ଉଚ୍ଚ ବିଦ୍ୟାଳୟର 80 ଜଣ ଛାତ୍ର ଗଣିତ ବା ବିଜ୍ଞାନରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ନମ୍ବର ରଖିଥିଲେ । ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 50 ଜଣ ଗଣିତରେ, 10 ଜଣ ଉଭୟ ଗଣିତ ଓ ବିଜ୍ଞାନରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ନମ୍ବର ପାଇଥିଲେ । ତେବେ କେତେଜଣ କେବଳ ବିଜ୍ଞାନରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ନମ୍ବର ପାଇଥିଲେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ଗଣିତରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଥିବା ଛାତ୍ରଙ୍କ ସେଟ୍ $M$ ଏବଂ ବିଜ୍ଞାନରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଥିବା ଛାତ୍ରଙ୍କ ସେଟ୍ $S$
ଦତ୍ତ ଅଛି ଗଣିତ ବା ବିଜ୍ଞାନରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଥିବା ମୋଟ ଛାତ୍ର $|M \cup S| = 80$
ଗଣିତରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଥିବା ଛାତ୍ର $|M| = 50$
ଉଭୟରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଥିବା ଛାତ୍ର $|M \cap S| = 10$
କେବଳ ବିଜ୍ଞାନରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଥିବା ଛାତ୍ରମାନଙ୍କ ସେଟ୍ ହେଉଛି $S - M$
ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ, $|M \cup S| = |M| + |S - M|$
$\Rightarrow 80 = 50 + |S - M|$
$\Rightarrow |S - M| = 80 - 50 = 30$
ତେଣୁ କେବଳ ବିଜ୍ଞାନରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଥିବା ଛାତ୍ରଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ୩୦ ଅଟେ

❓ ୬. 200 ଜଣ ଲୋକ ଇଂରାଜୀ ବା ଓଡ଼ିଆରେ କଥାବାର୍ତ୍ତା କରିପାରନ୍ତି, ଯଦି 80 ଜଣ ଲୋକ କେବଳ ଓଡ଼ିଆ ଓ 70 ଜଣ ଲୋକ କେବଳ ଇଂରାଜୀରେ କଥା ହୋଇପାରନ୍ତି, ତେବେ କେତେଜଣ ଉଭୟ ଓଡ଼ିଆ ଓ ଇଂରାଜୀରେ କଥା ହୋଇପାରନ୍ତି ?

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ଇଂରାଜୀ କହୁଥିବା ଲୋକଙ୍କ ସେଟ୍ $E$ ଏବଂ ଓଡ଼ିଆ କହୁଥିବା ଲୋକଙ୍କ ସେଟ୍ $O$
ମୋଟ ଲୋକ ସଂଖ୍ୟା $|E \cup O| = 200$
କେବଳ ଓଡ଼ିଆ କହୁଥିବା ଲୋକ $|O - E| = 80$
କେବଳ ଇଂରାଜୀ କହୁଥିବା ଲୋକ $|E - O| = 70$
ଉଭୟ ଭାଷା କହୁଥିବା ଲୋକଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $|E \cap O|$
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, $|E \cup O| = |E - O| + |O - E| + |E \cap O|$
$\Rightarrow 200 = 70 + 80 + |E \cap O|$
$\Rightarrow 200 = 150 + |E \cap O|$
$\Rightarrow |E \cap O| = 200 - 150 = 50$
ତେଣୁ ଉଭୟ ଓଡ଼ିଆ ଓ ଇଂରାଜୀରେ ୫୦ ଜଣ ଲୋକ କଥା ହୋଇପାରନ୍ତି

❓ ୭. 100 ଜଣ ଟିଭି ଦର୍ଶକଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 75 ଜଣ ଦୂରଦର୍ଶନ ଜାତୀୟ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଓ 60 ଜଣ ବି.ବି.ସି. କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି । ତେବେ କେତେଜଣ ଏ ଉଭୟ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି ? କେତେଜଣ କେବଳ ଦୂରଦର୍ଶନ ଜାତୀୟ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି ?

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ମୋଟ ଦର୍ଶକଙ୍କ ସେଟ୍ $|D \cup B| = 100$
ଦୂରଦର୍ଶନ ପସନ୍ଦ କରୁଥିବା ଦର୍ଶକ $|D| = 75$
ବି.ବି.ସି. ପସନ୍ଦ କରୁଥିବା ଦର୍ଶକ $|B| = 60$
ଉଭୟ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରୁଥିବା ଦର୍ଶକ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $|D \cap B|$
ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ, $|D \cup B| = |D| + |B| - |D \cap B|$
$\Rightarrow 100 = 75 + 60 - |D \cap B|$
$\Rightarrow 100 = 135 - |D \cap B|$
$\Rightarrow |D \cap B| = 135 - 100 = 35$
ତେଣୁ ଉଭୟ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖିବାକୁ ୩୫ ଜଣ ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି

ବର୍ତ୍ତମାନ କେବଳ ଦୂରଦର୍ଶନ ପସନ୍ଦ କରୁଥିବା ଦର୍ଶକ ହେଉଛନ୍ତି $|D - B|$
$|D - B| = |D| - |D \cap B| = 75 - 35 = 40$
ତେଣୁ କେବଳ ଦୂରଦର୍ଶନ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ୪୦ ଜଣ ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି

❓ ୮. ଗୋଟିଏ ହଷ୍ଟେଲ୍‌ର 40 ଜଣ ପିଲାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 15 ଜଣ କେବଳ ହକି ଖେଳନ୍ତି ଓ 20 ଜଣ କେବଳ କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳନ୍ତି । ଯଦି ଏହି ପିଲାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ସମସ୍ତେ ହକି କିମ୍ବା କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳୁ ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ କେତେଜଣ ପିଲା ହକି ଓ କ୍ରିକେଟ୍ ଉଭୟ ଖେଳନ୍ତି, ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ହକି ଖେଳୁଥିବା ପିଲାଙ୍କ ସେଟ୍ $H$ ଏବଂ କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳୁଥିବା ପିଲାଙ୍କ ସେଟ୍ $C$
ମୋଟ ପିଲା ସଂଖ୍ୟା ଯେହେତୁ ସମସ୍ତେ କିଛି ନା କିଛି ଖେଳନ୍ତି ତେଣୁ $|H \cup C| = 40$
କେବଳ ହକି ଖେଳୁଥିବା ପିଲା $|H - C| = 15$
କେବଳ କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳୁଥିବା ପିଲା $|C - H| = 20$
ଉଭୟ ଖେଳୁଥିବା ପିଲାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $|H \cap C|$
ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ, $|H \cup C| = |H - C| + |C - H| + |H \cap C|$
$\Rightarrow 40 = 15 + 20 + |H \cap C|$
$\Rightarrow 40 = 35 + |H \cap C|$
$\Rightarrow |H \cap C| = 40 - 35 = 5$
ତେଣୁ ଉଭୟ ହକି ଓ କ୍ରିକେଟ୍ ୫ ଜଣ ପିଲା ଖେଳନ୍ତି
ନବମ ଶ୍ରେଣୀ ବୀଜଗଣିତର ପ୍ରଥମ ଅଧ୍ୟାୟ 'ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଏବଂ ସେଟ୍‌ର ପ୍ରୟୋଗ' ର ଅନୁଶୀଳନୀ 1(c) ର ପ୍ରଶ୍ନ ୯ ରୁ ୧୨ ର ବିସ୍ତୃତ ଉତ୍ତର ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା: 📝✨

❓ ୯. 100 ଜଣ ଲୋକଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 18 ଜଣ କାର୍ କିମ୍ବା ସ୍କୁଟର ଚଳାଇବା ଜାଣିନାହାଁନ୍ତି; କିନ୍ତୁ 25 ଜଣ କାର୍ ଓ ସ୍କୁଟର ଉଭୟ ଚଳାଇବା ଜାଣିଛନ୍ତି । ଯଦି ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 55ଜଣ ସ୍କୁଟର ଚଳାଇବା ଜାଣିଥାଆନ୍ତି, ତେବେ କେତେଜଣ କାର୍ ଚଳାଇବା ଜାଣିଛନ୍ତି, ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ମୋଟ ଲୋକ ସଂଖ୍ୟା (ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍) $|E| = 100$
କାର୍ ଚଳାଇ ଜାଣିଥିବା ଲୋକଙ୍କ ସେଟ୍ $C$ ଏବଂ ସ୍କୁଟର ଚଳାଇ ଜାଣିଥିବା ଲୋକଙ୍କ ସେଟ୍ $S$
ସ୍କୁଟର ଚଳାଇ ଜାଣିଥିବା ଲୋକ ସଂଖ୍ୟା $|S| = 55$
କାର୍ ଓ ସ୍କୁଟର ଉଭୟ ଚଳାଇ ଜାଣିଥିବା ଲୋକ ସଂଖ୍ୟା $|C \cap S| = 25$
କାର୍ କିମ୍ବା ସ୍କୁଟର କିଛି ବି ଚଳାଇ ଜାଣିନଥିବା ଲୋକ ସଂଖ୍ୟା $|(C \cup S)'| = 18$
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, $|C \cup S| = |E| - |(C \cup S)'| = 100 - 18 = 82$
ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ, $|C \cup S| = |C| + |S| - |C \cap S|$
$\Rightarrow 82 = |C| + 55 - 25$
$\Rightarrow 82 = |C| + 30$
$\Rightarrow |C| = 82 - 30 = 52$
ତେଣୁ 52 ଜଣ ଲୋକ କାର୍ ଚଳାଇବା ଜାଣିଛନ୍ତି

❓ ୧୦. ଏକ ଶ୍ରେଣୀର 50 ଜଣ ଛାତ୍ରୀଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 22 ଜଣ ଗୀତ ଶିଖନ୍ତି ଓ 22 ଜଣ ନାଚ ଶିଖନ୍ତି । ଏଥିମଧ୍ୟରୁ କେବଳ 5 ଜଣ ଛାତ୍ରୀ ଉଭୟ ଗୀତ ଓ ନାଚ ଶିଖନ୍ତି । ତେବେ କେତେଜଣ ଛାତ୍ରୀ ଗୀତ କିମ୍ବା ନାଚ କୌଣସିଟି ଶିଖନ୍ତି ନାହିଁ ଏବଂ କେତେଜଣ ଛାତ୍ରୀ ଏହି ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟରୁ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଶିକ୍ଷା କରନ୍ତି, ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ଶ୍ରେଣୀର ମୋଟ ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା $|E| = 50$
ଗୀତ ଶିଖୁଥିବା ଛାତ୍ରୀଙ୍କ ସେଟ୍ $S$ ଏବଂ ନାଚ ଶିଖୁଥିବା ଛାତ୍ରୀଙ୍କ ସେଟ୍ $D$
ଦତ୍ତ ଅଛି, $|S| = 22$, $|D| = 22$ ଏବଂ ଉଭୟ ଶିଖୁଥିବା ଛାତ୍ରୀ $|S \cap D| = 5$
ପ୍ରଥମେ ଗୀତ କିମ୍ବା ନାଚ (ଅନ୍ତତଃ ଗୋଟିଏ) ଶିଖୁଥିବା ମୋଟ ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା ବାହାର କରିବା: $|S \cup D| = |S| + |D| - |S \cap D|$
$\Rightarrow |S \cup D| = 22 + 22 - 5 = 44 - 5 = 39$
ତେଣୁ ଗୀତ କିମ୍ବା ନାଚ କୌଣସିଟି ଶିଖୁ ନଥିବା ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା = $|(S \cup D)'| = |E| - |S \cup D| = 50 - 39 = 11$
ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟରୁ କେବଳ ଗୋଟିଏ (ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର) ଶିକ୍ଷା କରୁଥିବା ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା = $|S \Delta D|$
$|S \Delta D| = |S \cup D| - |S \cap D| = 39 - 5 = 34$
ତେଣୁ 11 ଜଣ ଛାତ୍ରୀ କୌଣସିଟି ଶିଖନ୍ତି ନାହିଁ ଏବଂ 34 ଜଣ ଛାତ୍ରୀ କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିଷୟ ଶିକ୍ଷା କରନ୍ତି

❓ ୧୧. ଗୋଟିଏ କଲୋନୀର ଦୁଇ ପଞ୍ଚମାଂଶ ପରିବାର ‘ସମ୍ବାଦ’ ଓ ତିନି ଚତୁର୍ଥାଂଶ ପରିବାର ‘ସମାଜ’ ପଢ଼ନ୍ତି । ଯଦି 50 ଟି ପରିବାର ଏଇ ଦୁଇଟି ସମ୍ବାଦପତ୍ର ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ପଢ଼ନ୍ତି ନାହିଁ ଏବଂ 125ଟି ପରିବାର ଉଭୟ ଖବରକାଗଜ ପଢ଼ନ୍ତି ତେବେ ଉକ୍ତ କଲୋନୀର ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର କଲୋନୀର ମୋଟ ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା $= x$
'ସମ୍ବାଦ' ପଢ଼ୁଥିବା ପରିବାର $|A| = \frac{2}{5}x$ ଏବଂ 'ସମାଜ' ପଢ଼ୁଥିବା ପରିବାର $|B| = \frac{3}{4}x$
ଉଭୟ ପଢ଼ୁଥିବା ପରିବାର $|A \cap B| = 125$
କୌଣସିଟି ପଢ଼ୁନଥିବା ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା $= 50$
ତେଣୁ ଅନ୍ତତଃ ଗୋଟିଏ ପଢ଼ୁଥିବା ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା $|A \cup B| = x - 50$
ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ, $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
$\Rightarrow x - 50 = \frac{2}{5}x + \frac{3}{4}x - 125$
$\Rightarrow x - 50 = \frac{8x + 15x}{20} - 125$
$\Rightarrow x - 50 = \frac{23x}{20} - 125$
$\Rightarrow 125 - 50 = \frac{23x}{20} - x$
$\Rightarrow 75 = \frac{23x - 20x}{20}$
$\Rightarrow 75 = \frac{3x}{20}$
$\Rightarrow 3x = 75 \times 20 = 1500$
$\Rightarrow x = \frac{1500}{3} = 500$
ତେଣୁ ଉକ୍ତ କଲୋନୀରେ ମୋଟ 500 ଟି ପରିବାର ଅଛନ୍ତି

❓ ୧୮. 2 କିମ୍ବା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ 200 ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରୁ 140ଟି ଯୁଗ୍ମ ଓ 40ଟି 6 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ତେବେ କେତେ ଗୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଓ କେତେଗୋଟି ସଂଖ୍ୟା 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର 2 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ (ଯୁଗ୍ମ) ସଂଖ୍ୟା ମାନଙ୍କ ସେଟ୍ $A$ ଏବଂ 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ମାନଙ୍କ ସେଟ୍ $B$
2 କିମ୍ବା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା $|A \cup B| = 200$
ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 2 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ତେଣୁ $|A| = 140$
ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟା 6 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତାହା ଉଭୟ 2 ଓ 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେଣୁ $|A \cap B| = 40$
ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ, $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
$\Rightarrow 200 = 140 + |B| - 40$
$\Rightarrow 200 = 100 + |B|$
$\Rightarrow |B| = 200 - 100 = 100$
ତେଣୁ 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା $|B| = 100$ ଅଟେ
ଏବେ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡ଼ିକ 2 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ, ଅର୍ଥାତ୍ ସେଗୁଡ଼ିକ $A$ ସେଟ୍‌ରେ ରହିବେ ନାହିଁ
ଯେହେତୁ ସର୍ବମୋଟ ସଂଖ୍ୟା 200 ଏବଂ ସେଥିମଧ୍ୟରୁ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା 140 ଟି, ତେଣୁ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ସଂଖ୍ୟା $= |A \cup B| - |A| = 200 - 140 = 60$
ତେଣୁ 60 ଗୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ଏବଂ 100 ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଅଟେ
❓ ୯. 100 ଜଣ ଲୋକଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 18 ଜଣ କାର୍ କିମ୍ବା ସ୍କୁଟର ଚଳାଇବା ଜାଣିନାହାଁନ୍ତି; କିନ୍ତୁ 25 ଜଣ କାର୍ ଓ ସ୍କୁଟର ଉଭୟ ଚଳାଇବା ଜାଣିଛନ୍ତି । ଯଦି ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 55 ଜଣ ସ୍କୁଟର ଚଳାଇବା ଜାଣିଥାଆନ୍ତି, ତେବେ କେତେଜଣ କାର୍ ଚଳାଇବା ଜାଣିଛନ୍ତି, ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ମୋଟ ଲୋକ ସଂଖ୍ୟା ବା ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ $|E| = 100$
କାର୍ ଚଳାଇ ଜାଣିଥିବା ଲୋକଙ୍କ ସେଟ୍ $C$ ଏବଂ ସ୍କୁଟର ଚଳାଇ ଜାଣିଥିବା ଲୋକଙ୍କ ସେଟ୍ $S$ ଅଟେ
ଦତ୍ତ ଅଛି, ସ୍କୁଟର ଚଳାଇ ଜାଣିଥିବା ଲୋକ ସଂଖ୍ୟା $|S| = 55$
କାର୍ ଓ ସ୍କୁଟର ଉଭୟ ଚଳାଇ ଜାଣିଥିବା ଲୋକ ସଂଖ୍ୟା $|C \cap S| = 25$
କାର୍ କିମ୍ବା ସ୍କୁଟର କିଛି ବି ଚଳାଇ ଜାଣିନଥିବା ଲୋକ ସଂଖ୍ୟା $|(C \cup S)'| = 18$
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଅନ୍ତତଃ ଗୋଟିଏ ଯାନ ଚଳାଇ ଜାଣିଥିବା ଲୋକ ସଂଖ୍ୟା $|C \cup S| = |E| - |(C \cup S)'| = 100 - 18 = 82$
ସେଟ୍ ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ $|C \cup S| = |C| + |S| - |C \cap S|$
ବର୍ତ୍ତମାନ ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ ଆମେ ପାଇବା $82 = |C| + 55 - 25$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ ମିଳିବ $82 = |C| + 30$
ଅର୍ଥାତ୍ $|C| = 82 - 30 = 52$
ତେଣୁ 52 ଜଣ ଲୋକ କାର୍ ଚଳାଇବା ଜାଣିଛନ୍ତି

❓ ୧୦. ଏକ ଶ୍ରେଣୀର 50 ଜଣ ଛାତ୍ରୀଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 22 ଜଣ ଗୀତ ଶିଖନ୍ତି ଓ 22 ଜଣ ନାଚ ଶିଖନ୍ତି । ଏଥିମଧ୍ୟରୁ କେବଳ 5 ଜଣ ଛାତ୍ରୀ ଉଭୟ ଗୀତ ଓ ନାଚ ଶିଖନ୍ତି । ତେବେ କେତେଜଣ ଛାତ୍ରୀ ଗୀତ କିମ୍ବା ନାଚ କୌଣସିଟି ଶିଖନ୍ତି ନାହିଁ ଏବଂ କେତେଜଣ ଛାତ୍ରୀ ଏହି ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟରୁ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଶିକ୍ଷା କରନ୍ତି, ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ଶ୍ରେଣୀର ମୋଟ ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା $|E| = 50$
ଗୀତ ଶିଖୁଥିବା ଛାତ୍ରୀଙ୍କ ସେଟ୍ $S$ ଏବଂ ନାଚ ଶିଖୁଥିବା ଛାତ୍ରୀଙ୍କ ସେଟ୍ $D$ ଅଟେ
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ଗୀତ ଶିଖୁଥିବା ଛାତ୍ରୀ $|S| = 22$, ନାଚ ଶିଖୁଥିବା ଛାତ୍ରୀ $|D| = 22$ ଏବଂ ଉଭୟ ଶିଖୁଥିବା ଛାତ୍ରୀ $|S \cap D| = 5$
ପ୍ରଥମେ ଗୀତ କିମ୍ବା ନାଚ ଅନ୍ତତଃ ଗୋଟିଏ ଶିଖୁଥିବା ମୋଟ ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା ବାହାର କରିବା
ଏହାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $|S \cup D| = |S| + |D| - |S \cap D|$
ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ ଆମେ ପାଇବା $|S \cup D| = 22 + 22 - 5 = 44 - 5 = 39$
ତେଣୁ ଗୀତ କିମ୍ବା ନାଚ କୌଣସିଟି ଶିଖୁ ନଥିବା ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା ହେବ $|(S \cup D)'| = |E| - |S \cup D| = 50 - 39 = 11$
ବର୍ତ୍ତମାନ ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟରୁ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଶିକ୍ଷା କରୁଥିବା ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା ବା ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର ବାହାର କରିବା
ଏହାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $|S \Delta D| = |S \cup D| - |S \cap D|$
ଅର୍ଥାତ୍ $39 - 5 = 34$
ତେଣୁ 11 ଜଣ ଛାତ୍ରୀ କୌଣସିଟି ଶିଖନ୍ତି ନାହିଁ ଏବଂ 34 ଜଣ ଛାତ୍ରୀ କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିଷୟ ଶିକ୍ଷା କରନ୍ତି

❓ ୧୧. ଗୋଟିଏ କଲୋନୀର ଦୁଇ ପଞ୍ଚମାଂଶ ପରିବାର ‘ସମ୍ବାଦ’ ଓ ତିନି ଚତୁର୍ଥାଂଶ ପରିବାର ‘ସମାଜ’ ପଢ଼ନ୍ତି । ଯଦି 50 ଟି ପରିବାର ଏଇ ଦୁଇଟି ସମ୍ବାଦପତ୍ର ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ପଢ଼ନ୍ତି ନାହିଁ ଏବଂ 125 ଟି ପରିବାର ଉଭୟ ଖବରକାଗଜ ପଢ଼ନ୍ତି ତେବେ ଉକ୍ତ କଲୋନୀର ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର କଲୋନୀର ମୋଟ ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା ବା ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ହେଉଛି $x$
ସମ୍ବାଦ ପଢ଼ୁଥିବା ପରିବାର ସେଟ୍ $A$ ହେଲେ $|A| = \frac{2}{5}x$ ଏବଂ ସମାଜ ପଢ଼ୁଥିବା ପରିବାର ସେଟ୍ $B$ ହେଲେ $|B| = \frac{3}{4}x$ ଅଟେ
ଉଭୟ ପଢ଼ୁଥିବା ପରିବାର $|A \cap B| = 125$
ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ପଢ଼ୁନଥିବା ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା $= 50$
ତେଣୁ ଅନ୍ତତଃ ଗୋଟିଏ ଖବରକାଗଜ ପଢ଼ୁଥିବା ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା $|A \cup B| = x - 50$ ହେବ
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
ବର୍ତ୍ତମାନ ଏଥିରେ ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ ଆମେ ପାଇବା $x - 50 = \frac{2}{5}x + \frac{3}{4}x - 125$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ ମିଳିବ $x + 75 = \frac{8x + 15x}{20}$
ଅର୍ଥାତ୍ $x + 75 = \frac{23x}{20}$
ଏହାକୁ ଆଗକୁ ସମାଧାନ କଲେ $75 = \frac{23x}{20} - x$ ହେବ
ଯାହାର ଅର୍ଥ ହେଲା $75 = \frac{3x}{20}$
ଏଣୁ $3x = 1500$ ଏବଂ $x = 500$ ମିଳିବ
ତେଣୁ ଉକ୍ତ କଲୋନୀରେ ମୋଟ 500 ଟି ପରିବାର ଅଛନ୍ତି

❓ ୧୨. ଗୋଟିଏ ପରୀକ୍ଷାରେ 60% ଛାତ୍ର ଇଂରାଜୀରେ ଓ 70% ଛାତ୍ର ଗଣିତରେ କୃତକାର୍ଯ୍ୟ ହେଲେ ଏବଂ 20% ଛାତ୍ର ଉଭୟ ବିଷୟରେ ଅକୃତକାର୍ଯ୍ୟ ହେଲେ । ଯଦି 2500 ଜଣ ଛାତ୍ର ଉଭୟ ବିଷୟରେ କୃତକାର୍ଯ୍ୟ ହୋଇଥାଆନ୍ତି, ତେବେ ମୋଟ ପରୀକ୍ଷାର୍ଥୀ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ପରୀକ୍ଷା ଦେଇଥିବା ମୋଟ ଛାତ୍ରଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା 100% ଅଟେ
ଇଂରାଜୀରେ ପାସ୍ କରିଥିବା ଛାତ୍ରଙ୍କ ସେଟ୍ $E$ ହେଲେ $|E| = 60\%$ ଏବଂ ଗଣିତରେ ପାସ୍ କରିଥିବା ଛାତ୍ରଙ୍କ ସେଟ୍ $M$ ହେଲେ $|M| = 70\%$ ଅଟେ
ଉଭୟ ବିଷୟରେ ଫେଲ୍ ହୋଇଥିବା ବା ଅକୃତକାର୍ଯ୍ୟ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 20%
ତେଣୁ ଅନ୍ତତଃ ଗୋଟିଏ ବିଷୟରେ ପାସ୍ କରିଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ହେବ $|E \cup M| = 100\% - 20\% = 80\%$
ଆମେ ସେଟ୍ ସୂତ୍ରରୁ ଜାଣୁ ଯେ ଉଭୟ ବିଷୟରେ ପାସ୍ କରିଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା $|E \cap M| = |E| + |M| - |E \cup M|$
ଏଥିରେ ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ ଆମେ ପାଇବା $|E \cap M| = 60\% + 70\% - 80\%$
ଯାହାକୁ ହିସାବ କଲେ ମିଳିବ $130\% - 80\% = 50\%$
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ଉଭୟ ବିଷୟରେ କୃତକାର୍ଯ୍ୟ ହୋଇଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା 2500 ଅଟେ
ତେଣୁ ମୋଟ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟାର 50% ହେଉଛି 2500
ଏଣୁ 100% ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ହେବ $2500 \times 2 = 5000$
ଅତଏବ ମୋଟ ପରୀକ୍ଷାର୍ଥୀ ସଂଖ୍ୟା 5000 ଅଟେ