📝 ଅନୁଶୀଳନୀ - 3 ©

1. ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟିକୁ ବାଛି ଲେଖ ।
(i)

❓ Question: $x^2 - 3x + 2$ ର ଉତ୍ପାଦକ ଦ୍ୱୟ

(a) $(x - 2)$ ଓ $(x + 1)$

(b) $(x + 2)$ ଓ $(x - 1)$

© $(x - 2)$ ଓ $(x - 1)$

(d) $(x + 2)$ ଓ $(x + 1)$

✅ Answer: © $(x - 2)$ ଓ $(x - 1)$

(କାରଣ: $x^2 - 3x + 2 = x^2 - 2x - x + 2 = x(x - 2) - 1(x - 2) = (x - 2)(x - 1)$)

(ii)

❓ Question: ଏକ ଦ୍ୱିଘାତୀ ପଲିନୋମିଆଲର ଉତ୍ପାଦକ ଦ୍ୱୟ $(x - 1)$ ଓ $(x - 3)$ ହେଲେ ପଲିନୋମିଆଲଟି

(a) $x^2 - 4x - 3$

(b) $x^2 - 4x + 3$

© $x^2 + 4x - 3$

(d) $x^2 + 4x + 3$

✅ Answer: (b) $x^2 - 4x + 3$

(କାରଣ: $(x - 1)(x - 3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3$)

(iii)

❓ Question: $x^4 - y^4$ ର ଠିକ୍ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ବାଛ ।

(a) $(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$

(b) $(x^2 - y^2)(x - y)(x + y)$

© $(x^2 + y^2)(x + y)^2$

(d) $(x^2 + y^2)(x - y)^2$

✅ Answer: (a) $(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$

(କାରଣ: $x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$)

(iv)

❓ Question: $8a^3 - b^3 - 12a^2b + 6ab^2$ ର ଉତ୍ପାଦକ ଗୁଡିକ

(a) $(2a - b), (2a + b), (2a + b)$

(b) $(2a + b)(2a + b)(2a + b)$

© $(2a - b), (2a - b), (2a + b)$

(d) $(2a - b), (2a - b), (2a - b)$

✅ Answer: (d) $(2a - b), (2a - b), (2a - b)$

(କାରଣ: ଏହା $(x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3x^2y + 3xy^2$ ସୂତ୍ର ଅଟେ, ଯେଉଁଠାରେ $x = 2a$ ଏବଂ $y = b$ । ଅର୍ଥାତ୍ $(2a - b)^3$)

(v)

❓ Question: $625 + 25x^4 + x^8$ ର ଉତ୍ପାଦକ ଗୁଡିକ ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁଟି $625 + 25x^4 + x^8$ ର ଗୁଣଫଳ ସହ ସମାନ ।

(a) $(25 + 5x^2 + x^4), (25 - 5x^2 + x^4)$

(b) $(25 + 5x^2 + x^4), (25 + 5x^2 - x^4)$

© $(25 + 5x^4 + x^4), (25 - 5x^4 + x^4)$

(d) $(25 - 5x^4 + x^4), (25 + 5x^4 - x^4)$

✅ Answer: (a) $(25 + 5x^2 + x^4), (25 - 5x^2 + x^4)$

(କାରଣ: ଆସନ୍ତୁ ଗୁଣନ କରିବା - $(x^4 + 25 + 5x^2)(x^4 + 25 - 5x^2) = (x^4 + 25)^2 - (5x^2)^2 = x^8 + 50x^4 + 625 - 25x^4 = x^8 + 25x^4 + 625$)
🌟 WithTeachers.in🌟
(vi)

❓ Question: $1 - a^3 + b^3 + 3ab$ ର ଗୋଟିଏ ଉତ୍ପାଦକ

(a) $(1 - a + b)$

(b) $(1 - a - b)$

© $(1 + a + b)$

(d) $(1 + a - b)$

✅ Answer: (a) $(1 - a + b)$

(କାରଣ: ରାଶିଟିକୁ ଆମେ ଏହିପରି ଲେଖିପାରିବା $1^3 + (-a)^3 + b^3 - 3(1)(-a)(b)$ । ସୂତ୍ର $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$ ଅନୁଯାୟୀ, ଗୋଟିଏ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ $(x + y + z) = (1 - a + b)$ )
🌟 WithTeachers.in🌟
(vii)

❓ Question: $(2x - 3y)^3 + (3y - 4z)^3 + (4z - 2x)^3$ ର ଉତ୍ପାଦକ ଗୁଡିକ ହେଲେ

(a) $6(2x - 3y)(3y - 4z)(2z - x)$

(b) $3(2x - 3y)(3y - 4z)(2z - x)$

© $60xyz$

(d) ଏଥି ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ ।

✅ Answer: (a) $6(2x - 3y)(3y - 4z)(2z - x)$

(କାରଣ: ଯଦି $A + B + C = 0$ ହୁଏ, ତେବେ $A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC$ । ଏଠାରେ $(2x - 3y) + (3y - 4z) + (4z - 2x) = 0$ ଅଟେ । ତେଣୁ ମାନ ହେବ: $3(2x - 3y)(3y - 4z)(4z - 2x)$ । ଏହାକୁ ଆହୁରି ସରଳ କଲେ $(4z - 2x)$ ରୁ $2$ କମନ୍ ଆସିବ: $3(2x - 3y)(3y - 4z) \times 2(2z - x) = 6(2x - 3y)(3y - 4z)(2z - x)$ )

(viii)

❓ Question: $(28)^3 + (-15)^3 + (-13)^3$ ର ସରଳୀକୃତ ମାନ

(a) $8190$

(b) $16380$

© $24570$

(d) $4095$

✅ Answer: (b) $16380$

(କାରଣ: ଏଠାରେ $a + b + c = 28 + (-15) + (-13) = 0$ । ତେଣୁ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ ହେବ । $\therefore 3 \times 28 \times (-15) \times (-13) = 3 \times 28 \times 195 = 16380$ )

(ix)

❓ Question: $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3$ ର ମାନ

(a) $3abc$

(b) $3a^3b^3c^3$

© $3(a - b)(b - c)(c - a)$

(d) $\{a - (b + c)\}^3$

✅ Answer: © $3(a - b)(b - c)(c - a)$

(କାରଣ: ଏଠାରେ ପଦଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ $(a - b) + (b - c) + (c - a) = 0$ । ତେଣୁ ସୂତ୍ର $X^3 + Y^3 + Z^3 = 3XYZ$ ଅନୁଯାୟୀ ମାନ ହେବ $3(a - b)(b - c)(c - a)$ )

(x)

❓ Question: $2x^2 - x - 1$ ର ଗୋଟିଏ ଉତ୍ପାଦକ

(a) $2x - 1$

(b) $x + 1$

© $x - 1$

(d) $x + 2$

✅ Answer: © $x - 1$

(କାରଣ: ମଧ୍ୟପଦକୁ ଭାଙ୍ଗିଲେ, $2x^2 - x - 1 = 2x^2 - 2x + x - 1 = 2x(x - 1) + 1(x - 1) = (x - 1)(2x + 1)$ । ତେଣୁ ଏହାର ଗୋଟିଏ ଉତ୍ପାଦକ ହେଉଛି $x - 1$ )

Question -2 💡 ଉତ୍ପାଦକ ବିଶ୍ଳେଷଣର କର :

$ax^2 + bx + c$ ସମୀକରଣରେ, ଏପରି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଖୋଜନ୍ତୁ ଯାହାର ଗୁଣଫଳ $a \times c$ ହେଉଥିବ ଏବଂ ଯୋଗଫଳ ମଧ୍ୟପଦ $b$ ସହ ସମାନ ହେଉଥିବ।

(i)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $2x^2 - x - 1$

✅ ଉତ୍ତର:

(ଟ୍ରିକ୍: ଗୁଣଫଳ $2 \times (-1) = -2$, ଯୋଗଫଳ $-1$ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ହେଲା $-2$ ଓ $1$)

$$= 2x^2 - 2x + x - 1$$

$$= 2x(x - 1) + 1(x - 1)$$

$$= (x - 1)(2x + 1)$$

(ii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $2x^2 - 3x + 1$

✅ ଉତ୍ତର:

(ଟ୍ରିକ୍: ଗୁଣଫଳ $2 \times 1 = 2$, ଯୋଗଫଳ $-3$ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ହେଲା $-2$ ଓ $-1$)

$$= 2x^2 - 2x - x + 1$$

$$= 2x(x - 1) - 1(x - 1)$$

$$= (x - 1)(2x - 1)$$

(iii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $5x^2 - x - 4$

✅ ଉତ୍ତର:

(ଟ୍ରିକ୍: ଗୁଣଫଳ $5 \times (-4) = -20$, ଯୋଗଫଳ $-1$ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ହେଲା $-5$ ଓ $4$)

$$= 5x^2 - 5x + 4x - 4$$

$$= 5x(x - 1) + 4(x - 1)$$

$$= (x - 1)(5x + 4)$$

(iv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $4x^2 - 5x - 6$

✅ ଉତ୍ତର:

(ଟ୍ରିକ୍: ଗୁଣଫଳ $4 \times (-6) = -24$, ଯୋଗଫଳ $-5$ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ହେଲା $-8$ ଓ $3$)

$$= 4x^2 - 8x + 3x - 6$$

$$= 4x(x - 2) + 3(x - 2)$$

$$= (x - 2)(4x + 3)$$

(v)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $3x^2 + 11x + 6$

✅ ଉତ୍ତର:

(ଟ୍ରିକ୍: ଗୁଣଫଳ $3 \times 6 = 18$, ଯୋଗଫଳ $11$ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ହେଲା $9$ ଓ $2$)

$$= 3x^2 + 9x + 2x + 6$$

$$= 3x(x + 3) + 2(x + 3)$$

$$= (x + 3)(3x + 2)$$

(vi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $7x^2 + x - 6$

✅ ଉତ୍ତର:

(ଟ୍ରିକ୍: ଗୁଣଫଳ $7 \times (-6) = -42$, ଯୋଗଫଳ $1$ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ହେଲା $7$ ଓ $-6$)

$$= 7x^2 + 7x - 6x - 6$$

$$= 7x(x + 1) - 6(x + 1)$$

$$= (x + 1)(7x - 6)$$

(vii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $2x^2 + 5x - 7$

✅ ଉତ୍ତର:

(ଟ୍ରିକ୍: ଗୁଣଫଳ $2 \times (-7) = -14$, ଯୋଗଫଳ $5$ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ହେଲା $7$ ଓ $-2$)

$$= 2x^2 - 2x + 7x - 7$$

$$= 2x(x - 1) + 7(x - 1)$$

$$= (x - 1)(2x + 7)$$

(viii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $4x^2 - 5x + 1$

✅ ଉତ୍ତର:

(ଟ୍ରିକ୍: ଗୁଣଫଳ $4 \times 1 = 4$, ଯୋଗଫଳ $-5$ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ହେଲା $-4$ ଓ $-1$)

$$= 4x^2 - 4x - x + 1$$

$$= 4x(x - 1) - 1(x - 1)$$

$$= (x - 1)(4x - 1)$$

(ix)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $4x^2 - 3x - 7$

✅ ଉତ୍ତର:

(ଟ୍ରିକ୍: ଗୁଣଫଳ $4 \times (-7) = -28$, ଯୋଗଫଳ $-3$ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ହେଲା $-7$ ଓ $4$)

$$= 4x^2 + 4x - 7x - 7$$

$$= 4x(x + 1) - 7(x + 1)$$

$$= (x + 1)(4x - 7)$$
🌟 WithTeachers.in🌟

🧩 3. ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।

(i)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $25a^4 - 16b^2$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (5a^2)^2 - (4b)^2$$

(ସୂତ୍ର $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$ ପ୍ରୟୋଗ କରି)

$$= (5a^2 + 4b)(5a^2 - 4b)$$

(ii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $9 - 64p^2q^2$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= 3^2 - (8pq)^2$$

$$= (3 + 8pq)(3 - 8pq)$$

(iii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $8x^3 + 27y^3$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (2x)^3 + (3y)^3$$

(ସୂତ୍ର $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ ପ୍ରୟୋଗ କରି)

$$= (2x + 3y)((2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2)$$

$$= (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$$

(iv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $8x^3 - 27y^3$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (2x)^3 - (3y)^3$$

(ସୂତ୍ର $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ ପ୍ରୟୋଗ କରି)

$$= (2x - 3y)((2x)^2 + (2x)(3y) + (3y)^2)$$

$$= (2x - 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)$$

(v)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $(a+b)^2 - 9$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (a+b)^2 - 3^2$$

$$= (a + b + 3)(a + b - 3)$$

(vi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $(2a+5)^2 - 16$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (2a+5)^2 - 4^2$$

$$= (2a + 5 + 4)(2a + 5 - 4)$$

$$= (2a + 9)(2a + 1)$$

(vii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $(x+2y)^2 - (x-y)^2$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= \{(x+2y) + (x-y)\}\{(x+2y) - (x-y)\}$$

$$= (x + 2y + x - y)(x + 2y - x + y)$$

$$= (2x + y)(3y)$$

$$= 3y(2x + y)$$

(viii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $4(a+2p)^2 - 9(2a-p)^2$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= [2(a+2p)]^2 - [3(2a-p)]^2$$

$$= (2a + 4p)^2 - (6a - 3p)^2$$

$$= \{(2a + 4p) + (6a - 3p)\}\{(2a + 4p) - (6a - 3p)\}$$

$$= (2a + 4p + 6a - 3p)(2a + 4p - 6a + 3p)$$

$$= (8a + p)(7p - 4a)$$

(ix)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $75(2a-b+1)^2 - 12(a+b)^2$

✅ ଉତ୍ତର:

$3$ କୁ ସାଧାରଣ ରାଶି ଭାବେ ନେଲେ:

$$= 3[25(2a-b+1)^2 - 4(a+b)^2]$$

$$= 3[\{5(2a-b+1)\}^2 - \{2(a+b)\}^2]$$

$$= 3[(10a - 5b + 5)^2 - (2a + 2b)^2]$$

$$= 3\{(10a - 5b + 5) + (2a + 2b)\}\{(10a - 5b + 5) - (2a + 2b)\}$$

$$= 3(10a - 5b + 5 + 2a + 2b)(10a - 5b + 5 - 2a - 2b)$$

$$= 3(12a - 3b + 5)(8a - 7b + 5)$$

(x)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $(a+b)^3 - 8c^3$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (a+b)^3 - (2c)^3$$

$$= \{(a+b) - 2c\}\{(a+b)^2 + (a+b)(2c) + (2c)^2\}$$

$$= (a + b - 2c)(a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + 4c^2)$$

(xi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $p^4 - 27pq^6$

✅ ଉତ୍ତର:

$p$ କୁ ସାଧାରଣ ରାଶି ଭାବେ ନେଲେ:

$$= p(p^3 - 27q^6)$$

$$= p\{p^3 - (3q^2)^3\}$$

$$= p(p - 3q^2)\{p^2 + p(3q^2) + (3q^2)^2\}$$

$$= p(p - 3q^2)(p^2 + 3pq^2 + 9q^4)$$

(xii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $1 - (a+2)^3$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= 1^3 - (a+2)^3$$

$$= \{1 - (a+2)\}\{1^2 + 1(a+2) + (a+2)^2\}$$

$$= (1 - a - 2)(1 + a + 2 + a^2 + 4a + 4)$$

$$= (-a - 1)(a^2 + 5a + 7)$$

$$= -(a + 1)(a^2 + 5a + 7)$$

(xiii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $8 - (2x-3)^3$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= 2^3 - (2x-3)^3$$

$$= \{2 - (2x-3)\}\{2^2 + 2(2x-3) + (2x-3)^2\}$$

$$= (2 - 2x + 3)(4 + 4x - 6 + 4x^2 - 12x + 9)$$

$$= (5 - 2x)(4x^2 - 8x + 7)$$

(xiv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $320p^6q - 5p^2q^7$

✅ ଉତ୍ତର:

$5p^2q$ କୁ ସାଧାରଣ ରାଶି ଭାବେ ନେଲେ:

$$= 5p^2q(64p^4 - q^6)$$

$$= 5p^2q\{(8p^2)^2 - (q^3)^2\}$$

$$= 5p^2q(8p^2 + q^3)(8p^2 - q^3)$$

(xv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $1 + (a+2)^3$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= 1^3 + (a+2)^3$$

$$= \{1 + (a+2)\}\{1^2 - 1(a+2) + (a+2)^2\}$$

$$= (1 + a + 2)(1 - a - 2 + a^2 + 4a + 4)$$

$$= (a + 3)(a^2 + 3a + 3)$$

(xvi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $8 + (2x-3)^3$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= 2^3 + (2x-3)^3$$

$$= \{2 + (2x-3)\}\{2^2 - 2(2x-3) + (2x-3)^2\}$$

$$= (2 + 2x - 3)(4 - 4x + 6 + 4x^2 - 12x + 9)$$

$$= (2x - 1)(4x^2 - 16x + 19)$$

(xvii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= a^3 + 3(a^2)(2b) + 3(a)(2b)^2 + (2b)^3$$

(ସୂତ୍ର $x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = (x + y)^3$ ପ୍ରୟୋଗ କରି)

$$= (a + 2b)^3$$

(xviii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^3 + 9a^2 + 27a + 27$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= a^3 + 3(a^2)(3) + 3(a)(3^2) + 3^3$$

$$= (a + 3)^3$$

(xix)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $8 - 36p + 54p^2 - 27p^3$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= 2^3 - 3(2^2)(3p) + 3(2)(3p)^2 - (3p)^3$$

(ସୂତ୍ର $x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = (x - y)^3$ ପ୍ରୟୋଗ କରି)

$$= (2 - 3p)^3$$

(xx)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $(b-q)^3 - (c-q)^3 - 3(b-c)(b-q)(c-q)$

✅ ଉତ୍ତର:

ମନେକର $x = (b-q)$ ଏବଂ $y = (c-q)$ ।

ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ ଯେ $x - y = (b-q) - (c-q) = b - q - c + q = b - c$ ।

ଏହି ମାନଗୁଡ଼ିକୁ ରାଶିରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$$= x^3 - y^3 - 3(x-y)xy$$

(ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ସୂତ୍ର $x^3 - y^3 - 3xy(x - y) = (x - y)^3$)

$$= (x - y)^3$$

$$= (b - c)^3$$

🌟 WithTeachers.in🌟

🧩 4. ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।

(i)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^4 + a^2 + 1$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (a^2)^2 + 2a^2 + 1 - a^2$$

$$= (a^2 + 1)^2 - a^2$$

$$= (a^2 + 1 + a)(a^2 + 1 - a)$$

$$= (a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)$$

(ii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^4b^4 + a^2b^2 + 1$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (a^2b^2)^2 + 2a^2b^2 + 1 - a^2b^2$$

$$= (a^2b^2 + 1)^2 - (ab)^2$$

$$= (a^2b^2 + 1 + ab)(a^2b^2 + 1 - ab)$$

$$= (a^2b^2 + ab + 1)(a^2b^2 - ab + 1)$$

(iii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $16a^4 + 36a^2b^2 + 81b^4$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (4a^2)^2 + 72a^2b^2 + (9b^2)^2 - 36a^2b^2$$

$$= (4a^2 + 9b^2)^2 - (6ab)^2$$

$$= (4a^2 + 9b^2 + 6ab)(4a^2 + 9b^2 - 6ab)$$

$$= (4a^2 + 6ab + 9b^2)(4a^2 - 6ab + 9b^2)$$

🌟 WithTeachers.in🌟

(iv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^8 + a^4 + 1$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (a^4)^2 + 2a^4 + 1 - a^4$$

$$= (a^4 + 1)^2 - (a^2)^2$$

$$= (a^4 + a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1)$$

(ବର୍ତ୍ତମାନ ପ୍ରଥମ ପଦକୁ ପୁଣିଥରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କଲେ)

$$= (a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)(a^4 - a^2 + 1)$$

(v)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $x^4 + 4$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (x^2)^2 + 2^2 + 4x^2 - 4x^2$$

$$= (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$$

$$= (x^2 + 2 + 2x)(x^2 + 2 - 2x)$$

$$= (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$$

(vi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $2a^4 + 8b^4$

✅ ଉତ୍ତର:

$2$ କୁ ସାଧାରଣ ରାଶି ଭାବେ ନେଲେ:

$$= 2(a^4 + 4b^4)$$

$$= 2\{(a^2)^2 + (2b^2)^2 + 4a^2b^2 - 4a^2b^2\}$$

$$= 2\{(a^2 + 2b^2)^2 - (2ab)^2\}$$

$$= 2(a^2 + 2ab + 2b^2)(a^2 - 2ab + 2b^2)$$

(vii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $36a^4 + 9b^4$

✅ ଉତ୍ତର:

$9$ କୁ ସାଧାରଣ ରାଶି ଭାବେ ନେଲେ:

$$= 9(4a^4 + b^4)$$

$$= 9\{(2a^2)^2 + (b^2)^2 + 4a^2b^2 - 4a^2b^2\}$$

$$= 9\{(2a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2\}$$

$$= 9(2a^2 + 2ab + b^2)(2a^2 - 2ab + b^2)$$

(viii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $4a^4 + 7a^2 + 16$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (2a^2)^2 + 16a^2 + 4^2 - 9a^2$$

$$= (2a^2 + 4)^2 - (3a)^2$$

$$= (2a^2 + 3a + 4)(2a^2 - 3a + 4)$$

(ix)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^4 + 2a^2b^2 + 9b^4$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (a^2)^2 + 6a^2b^2 + (3b^2)^2 - 4a^2b^2$$

$$= (a^2 + 3b^2)^2 - (2ab)^2$$

$$= (a^2 + 2ab + 3b^2)(a^2 - 2ab + 3b^2)$$

(x)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^4 - 3a^2 + 1$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (a^2)^2 - 2a^2 + 1 - a^2$$

$$= (a^2 - 1)^2 - a^2$$

$$= (a^2 - 1 + a)(a^2 - 1 - a)$$

$$= (a^2 + a - 1)(a^2 - a - 1)$$

(xi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $25a^4 - 19a^2b^2 + 9b^4$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (5a^2)^2 + 30a^2b^2 + (3b^2)^2 - 49a^2b^2$$

$$= (5a^2 + 3b^2)^2 - (7ab)^2$$

$$= (5a^2 + 7ab + 3b^2)(5a^2 - 7ab + 3b^2)$$

(xii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $9x^2 + y^2 + 6xy - 4z^2$

✅ ଉତ୍ତର:

ସଜାଇ ଲେଖିଲେ:

$$= (3x)^2 + 2(3x)(y) + (y)^2 - (2z)^2$$

$$= (3x + y)^2 - (2z)^2$$

$$= (3x + y + 2z)(3x + y - 2z)$$

🌟 WithTeachers.in🌟

(xiii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $16 - x^2 - 24y + 9y^2$

✅ ଉତ୍ତର:

ସଜାଇ ଲେଖିଲେ:

$$= 16 - 24y + 9y^2 - x^2$$

$$= (4)^2 - 2(4)(3y) + (3y)^2 - x^2$$

$$= (4 - 3y)^2 - x^2$$

$$= (4 - 3y + x)(4 - 3y - x)$$

(xiv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $(a^2 - b^2)(x^2 - y^2) - 4abxy$

✅ ଉତ୍ତର:

ଗୁଣନ କଲେ:

$$= a^2x^2 - a^2y^2 - b^2x^2 + b^2y^2 - 2abxy - 2abxy$$

ପଦଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

$$= (a^2x^2 - 2abxy + b^2y^2) - (a^2y^2 + 2abxy + b^2x^2)$$

$$= (ax - by)^2 - (ay + bx)^2$$

$$= (ax - by + ay + bx)(ax - by - ay - bx)$$

(xv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $(a^2 + b^2)(x^2 - y^2) - 2ab(x^2 + y^2)$

✅ ଉତ୍ତର:

ଗୁଣନ କଲେ:

$$= a^2x^2 - a^2y^2 + b^2x^2 - b^2y^2 - 2abx^2 - 2aby^2$$

ପଦଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

$$= (a^2x^2 - 2abx^2 + b^2x^2) - (a^2y^2 + 2aby^2 + b^2y^2)$$

$$= x^2(a^2 - 2ab + b^2) - y^2(a^2 + 2ab + b^2)$$

$$= x^2(a - b)^2 - y^2(a + b)^2$$

$$= \{x(a - b)\}^2 - \{y(a + b)\}^2$$

$$= (ax - bx + ay + by)(ax - bx - ay - by)$$
🌟 WithTeachers.in🌟

🧩 5. ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।

(i)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^3 + b^3 + x^3 - 3abx$

✅ ଉତ୍ତର:

ସୂତ୍ର $X^3 + Y^3 + Z^3 - 3XYZ = (X + Y + Z)(X^2 + Y^2 + Z^2 - XY - YZ - ZX)$ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା:

$$= (a + b + x)(a^2 + b^2 + x^2 - ab - bx - ax)$$

(ii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $8a^3 + b^3 + c^3 - 6abc$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (2a)^3 + b^3 + c^3 - 3(2a)(b)(c)$$

$$= (2a + b + c)((2a)^2 + b^2 + c^2 - (2a)(b) - (b)(c) - (c)(2a))$$

$$= (2a + b + c)(4a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - bc - 2ca)$$

(iii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^3 + b^3 - 8 + 6ab$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= a^3 + b^3 + (-2)^3 - 3(a)(b)(-2)$$

$$= (a + b - 2)(a^2 + b^2 + (-2)^2 - ab - (b)(-2) - (-2)(a))$$

$$= (a + b - 2)(a^2 + b^2 + 4 - ab + 2b + 2a)$$
🌟 WithTeachers.in🌟

(iv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $l^3 - 27m^3 - n^3 - 9lmn$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= l^3 + (-3m)^3 + (-n)^3 - 3(l)(-3m)(-n)$$

$$= (l - 3m - n)(l^2 + (-3m)^2 + (-n)^2 - l(-3m) - (-3m)(-n) - (-n)(l))$$

$$= (l - 3m - n)(l^2 + 9m^2 + n^2 + 3lm - 3mn + nl)$$

(v)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 - 3(a - b)(b - c)(c - a)$

✅ ଉତ୍ତର:

ମନେକର $X = a - b$, $Y = b - c$, ଏବଂ $Z = c - a$ ।

ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ ଯେ: $X + Y + Z = a - b + b - c + c - a = 0$

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଯଦି $X + Y + Z = 0$ ହୁଏ, ତେବେ $X^3 + Y^3 + Z^3 - 3XYZ = 0$ ଅଟେ।

ତେଣୁ ଏହି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ରାଶିର ମାନ ହେବ:

$$= 0$$

🌟 WithTeachers.in🌟

(vi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^6 + 4a^3 - 1$

✅ ଉତ୍ତର:

ଏହାକୁ ଆମେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବେ ସଜାଇ ପାରିବା:

$$= (a^2)^3 + a^3 + (-1)^3 - 3(a^2)(a)(-1)$$

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$$= (a^2 + a - 1)((a^2)^2 + a^2 + (-1)^2 - a^2(a) - a(-1) - (-1)(a^2))$$

$$= (a^2 + a - 1)(a^4 + a^2 + 1 - a^3 + a + a^2)$$

$$= (a^2 + a - 1)(a^4 - a^3 + 2a^2 + a + 1)$$

(vii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $x^3 + 72 - 24x$

✅ ଉତ୍ତର:

ସଜାଇ ଲେଖିଲେ:

$$= x^3 + 8 + 64 - 24x$$

$$= x^3 + 2^3 + 4^3 - 3(x)(2)(4)$$

$$= (x + 2 + 4)(x^2 + 2^2 + 4^2 - 2x - 8 - 4x)$$

$$= (x + 6)(x^2 + 4 + 16 - 6x - 8)$$

$$= (x + 6)(x^2 - 6x + 12)$$

(viii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $m^6 + 7m^3 - 8$

✅ ଉତ୍ତର:

ମଧ୍ୟପଦ ବିଭାଜନ କରିବା:

$$= m^6 + 8m^3 - m^3 - 8$$

$$= m^3(m^3 + 8) - 1(m^3 + 8)$$

$$= (m^3 + 8)(m^3 - 1)$$

$$= (m^3 + 2^3)(m^3 - 1^3)$$

$$= (m + 2)(m^2 - 2m + 4)(m - 1)(m^2 + m + 1)$$

(ix)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^6 + \frac{1}{a^6} + 2 \quad (a \neq 0)$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (a^3)^2 + \left(\frac{1}{a^3}\right)^2 + 2(a^3)\left(\frac{1}{a^3}\right)$$

$$= \left(a^3 + \frac{1}{a^3}\right)^2$$

ଏହାକୁ ଆହୁରି ବିଶ୍ଳେଷଣ କଲେ:

$$= \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 \left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right)^2$$

(x)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $r^6 + 45r^3 - 8$

✅ ଉତ୍ତର:

ସଜାଇ ଲେଖିଲେ:

$$= (r^2)^3 + (3r)^3 + (-2)^3 - 3(r^2)(3r)(-2)$$

$$= (r^2 + 3r - 2)((r^2)^2 + (3r)^2 + (-2)^2 - (r^2)(3r) - (3r)(-2) - (-2)(r^2))$$

$$= (r^2 + 3r - 2)(r^4 + 9r^2 + 4 - 3r^3 + 6r + 2r^2)$$

$$= (r^2 + 3r - 2)(r^4 - 3r^3 + 11r^2 + 6r + 4)$$

(xi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $16x^3 - 54y^6 - 2z^3 - 36xy^2z$

✅ ଉତ୍ତର:

$2$ କୁ ସାଧାରଣ ରାଶି ଭାବେ ବାହାରକୁ ଆଣିଲେ:

$$= 2(8x^3 - 27y^6 - z^3 - 18xy^2z)$$

$$= 2\{(2x)^3 + (-3y^2)^3 + (-z)^3 - 3(2x)(-3y^2)(-z)\}$$

$$= 2(2x - 3y^2 - z)((2x)^2 + (-3y^2)^2 + (-z)^2 - (2x)(-3y^2) - (-3y^2)(-z) - (-z)(2x))$$

$$= 2(2x - 3y^2 - z)(4x^2 + 9y^4 + z^2 + 6xy^2 - 3y^2z + 2zx)$$

(xii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^3 + b^3 - \frac{1}{27}c^3 + abc$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= a^3 + b^3 + \left(-\frac{c}{3}\right)^3 - 3(a)(b)\left(-\frac{c}{3}\right)$$

$$= \left(a + b - \frac{c}{3}\right)\left(a^2 + b^2 + \left(-\frac{c}{3}\right)^2 - ab - b\left(-\frac{c}{3}\right) - \left(-\frac{c}{3}\right)a\right)$$

$$= \left(a + b - \frac{c}{3}\right)\left(a^2 + b^2 + \frac{c^2}{9} - ab + \frac{bc}{3} + \frac{ca}{3}\right)$$

(xiii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $27a^3 - 8b^6 + 125c^3 + 90ab^2c$

✅ ଉତ୍ତର:

$$= (3a)^3 + (-2b^2)^3 + (5c)^3 - 3(3a)(-2b^2)(5c)$$

$$= (3a - 2b^2 + 5c)((3a)^2 + (-2b^2)^2 + (5c)^2 - (3a)(-2b^2) - (-2b^2)(5c) - (5c)(3a))$$

$$= (3a - 2b^2 + 5c)(9a^2 + 4b^4 + 25c^2 + 6ab^2 + 10b^2c - 15ca)$$

(xiv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $(2x + 3)^3 + (3x - 2)^3 - (5x + 1)^3$

✅ ଉତ୍ତର:

ଏହାକୁ ଆମେ ଏପରି ଲେଖିପାରିବା:

$$= (2x + 3)^3 + (3x - 2)^3 + (-5x - 1)^3$$

ମନେକର $A = 2x + 3$, $B = 3x - 2$, $C = -5x - 1$ ।

ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ: $A + B + C = 2x + 3 + 3x - 2 - 5x - 1 = 0$ ।

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଯଦି $A + B + C = 0$ ହୁଏ, ତେବେ $A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC$ ଅଟେ।

ତେଣୁ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ:

$$= 3(2x + 3)(3x - 2)(-5x - 1)$$

$$= -3(2x + 3)(3x - 2)(5x + 1)$$

📝 6.

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a + b + c = 0$ ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

✅ ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ଦତ୍ତ ଅଛି ଯେ: $a + b + c = 0$ ।

ବର୍ତ୍ତମାନ ଏହି ମୂଲ୍ୟକୁ ସୂତ୍ରରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 \times (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$

$$\Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$$

$$\Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \quad \textbf{(ପ୍ରମାଣିତ)}$$

🧩 7. ❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3$ ର ଉତ୍ପାଦକଗୁଡିକୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର:

ମନେକର $a = x - y$, $b = y - z$, ଏବଂ $c = z - x$ ।

ଏଠାରେ ପଦଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ:

$$a + b + c = (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0$$

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଯଦି $a + b + c = 0$ ହୁଏ, ତେବେ $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ ହେବ।

ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ:

$$= 3(x - y)(y - z)(z - x)$$

📝 8. ❓ ପ୍ରଶ୍ନ: ଦର୍ଶାଅ ଯେ, $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = \frac{1}{2}(x + y + z)\{(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2\}$

✅ ସମାଧାନ:

ବାମପକ୍ଷ:

$$= x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$$

ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ଏହାକୁ ସମ୍ପ୍ରସାରଣ କଲେ:

$$= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ଉଭୟ ଉପରେ ଏବଂ ତଳେ $2$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ ଓ ଭାଗ କରିବା:

$$= \frac{1}{2}(x + y + z)(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx)$$

ବର୍ତ୍ତମାନ କୁଟିଳ ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ସଜାଇ ଲେଖିବା:

$$= \frac{1}{2}(x + y + z)\{(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2)\}$$

ବର୍ଗ ସୂତ୍ର $(a - b)^2$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$$= \frac{1}{2}(x + y + z)\{(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2\}$$

= ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (ପ୍ରମାଣିତ)