🌟 WithTeachers.in🌟

📝 ଅନୁଶୀଳନୀ 3 (b)

1. ଭାଗକ୍ରିୟା ସମ୍ପାଦନ ନକରି ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ ଭାଗଶେଷ କେତେ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କରି)

(i)

❓ Question: ଭାଜ୍ୟ $x^3 + x^2 + x + 1$ ଏବଂ ଭାଜକ $x - 1$

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^3 + x^2 + x + 1$

ଭାଜକ ହେଉଛି $(x - 1)$ | ସୁତରାଂ $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ, ଭାଗଶେଷ ହେବ $p(1)$

$$p(1) = (1)^3 + (1)^2 + 1 + 1$$

$$p(1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$$

$\therefore$ ଭାଗଶେଷ = $4$

(ii)

❓ Question: ଭାଜ୍ୟ $x^3 - x^2 + x - 1$ ଏବଂ ଭାଜକ $x + 1$

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^3 - x^2 + x - 1$

ଭାଜକ ହେଉଛି $(x + 1)$ | ସୁତରାଂ $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

ଭାଗଶେଷ ହେବ $p(-1)$

$$p(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 + (-1) - 1$$

$$p(-1) = -1 - (1) - 1 - 1 = -4$$

$\therefore$ ଭାଗଶେଷ = $-4$
🌟 WithTeachers.in🌟
(iii)

❓ Question: ଭାଜ୍ୟ $2x^3 - 3x + 4$ ଏବଂ ଭାଜକ $2x - 1$

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = 2x^3 - 3x + 4$

ଭାଜକ ହେଉଛି $(2x - 1)$ | ସୁତରାଂ $2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$

ଭାଗଶେଷ ହେବ $p(\frac{1}{2})$

$$p\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{1}{2}\right) + 4$$

$$= 2\left(\frac{1}{8}\right) - \frac{3}{2} + 4$$

$$= \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{16}{4} = \frac{11}{4}$$

$\therefore$ ଭାଗଶେଷ = $\frac{11}{4}$

(iv)

❓ Question: ଭାଜ୍ୟ $t^4 - t^3 + t^2 - t + 1$ ଏବଂ ଭାଜକ $t + 2$

✅ Answer:

ମନେକର $p(t) = t^4 - t^3 + t^2 - t + 1$

ଭାଜକ ହେଉଛି $(t + 2)$ | ସୁତରାଂ $t + 2 = 0 \Rightarrow t = -2$

ଭାଗଶେଷ ହେବ $p(-2)$

$$p(-2) = (-2)^4 - (-2)^3 + (-2)^2 - (-2) + 1$$

$$= 16 - (-8) + 4 + 2 + 1$$

$$= 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31$$

$\therefore$ ଭାଗଶେଷ = $31$

2. (a) $p(x) = 8x^3 - 2x^2 + 5x - 6$ ହେଲେ, (i) $p(0)$ (ii) $p(1)$ (iii) $p(-1)$ (iv) $p(2)$ (v) $p(\frac{1}{2})$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ Question (i): $p(0)$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ Answer:

$$p(0) = 8(0)^3 - 2(0)^2 + 5(0) - 6 = -6$$

❓ Question (ii): $p(1)$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ Answer:

$$p(1) = 8(1)^3 - 2(1)^2 + 5(1) - 6$$

$$= 8 - 2 + 5 - 6 = 5$$

❓ Question (iii): $p(-1)$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ Answer:

$$p(-1) = 8(-1)^3 - 2(-1)^2 + 5(-1) - 6$$

$$= 8(-1) - 2(1) - 5 - 6$$

$$= -8 - 2 - 5 - 6 = -21$$

❓ Question (iv): $p(2)$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ Answer:

$$p(2) = 8(2)^3 - 2(2)^2 + 5(2) - 6$$

$$= 8(8) - 2(4) + 10 - 6$$

$$= 64 - 8 + 10 - 6 = 60$$

❓ Question (v): $p(\frac{1}{2})$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ Answer:

$$p\left(\frac{1}{2}\right) = 8\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{1}{2}\right) - 6$$

$$= 8\left(\frac{1}{8}\right) - 2\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{5}{2} - 6$$

$$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 6$$

$$= 1 + \frac{4}{2} - 6 = 1 + 2 - 6 = -3$$

2. (b) ନିମ୍ନଲିଖିତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ମାନଙ୍କର ‘ଜିରୋ’ (Zeros) ନିରୂପଣ କର ।

(i)

❓ Question: $p(x) = 3x^2 + 4x + 1$

✅ Answer:

ପଲିନୋମିଆଲର ଜିରୋ ପାଇଁ, $p(x) = 0$ ନେବା ।

$$3x^2 + 4x + 1 = 0$$

$$3x^2 + 3x + x + 1 = 0$$

$$3x(x + 1) + 1(x + 1) = 0$$

$$(3x + 1)(x + 1) = 0$$

ଏଠାରୁ, $3x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$ କିମ୍ବା $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

$\therefore$ ପଲିନୋମିଆଲର ଜିରୋ ଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $-1, -\frac{1}{3}$

(ii)

❓ Question: $p(x) = cx - d \quad (c \neq 0)$

✅ Answer:

ଜିରୋ ପାଇଁ, $p(x) = 0$

$$cx - d = 0$$

$$cx = d \Rightarrow x = \frac{d}{c}$$

$\therefore$ ପଲିନୋମିଆଲର ଜିରୋ ହେଲା: $\frac{d}{c}$

(iii)

❓ Question: $p(z) = 4z^2 - 1$

✅ Answer:

ଜିରୋ ପାଇଁ, $p(z) = 0$

$$4z^2 - 1 = 0$$

$$(2z)^2 - (1)^2 = 0$$

$$(2z + 1)(2z - 1) = 0$$

ଏଠାରୁ, $2z + 1 = 0 \Rightarrow z = -\frac{1}{2}$ କିମ୍ବା $2z - 1 = 0 \Rightarrow z = \frac{1}{2}$

$\therefore$ ପଲିନୋମିଆଲର ଜିରୋ ଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}$

(iv)

❓ Question: $p(y) = (y - 1)(y + 2)$

✅ Answer:

ଜିରୋ ପାଇଁ, $p(y) = 0$

$$(y - 1)(y + 2) = 0$$

ଏଠାରୁ, $y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1$ କିମ୍ବା $y + 2 = 0 \Rightarrow y = -2$

$\therefore$ ପଲିନୋମିଆଲର ଜିରୋ ଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $1, -2$

3. ପଲିନୋମିଆଲ୍ $p(x)$ ର ଗୋଟିଏ ଉତ୍ପାଦକ (Factor) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯଦି,

(ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ: ଯଦି $p(a) = 0$ ହୁଏ, ତେବେ $(x - a)$ ହେଉଛି $p(x)$ ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ)

(i)

❓ Question: $p(-3) = 0$ ହୁଏ ।

✅ Answer:

ଏଠାରେ $a = -3$ । ତେଣୁ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ: $(x - (-3))$

$\therefore$ ଉତ୍ପାଦକଟି ହେଉଛି: $(x + 3)$

(ii)

❓ Question: $p(2) = 0$ ହୁଏ ।

✅ Answer:

ଏଠାରେ $a = 2$ ।

$\therefore$ ଉତ୍ପାଦକଟି ହେଉଛି: $(x - 2)$

(iii)

❓ Question: $p(\frac{1}{2}) = 0$ ହୁଏ ।

✅ Answer:

ଏଠାରେ $a = \frac{1}{2}$ । ତେଣୁ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ: $(x - \frac{1}{2})$

(ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $(2x - 1)$ ମଧ୍ୟ ଲେଖାଯାଇପାରିବ)

$\therefore$ ଉତ୍ପାଦକଟି ହେଉଛି: $(2x - 1)$

(iv)

❓ Question: $p(\frac{3}{2}) = 0$ ହୁଏ ।

✅ Answer:

ଏଠାରେ $a = \frac{3}{2}$ । ତେଣୁ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ: $(x - \frac{3}{2})$

(ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $(2x - 3)$ ମଧ୍ୟ ଲେଖାଯାଇପାରିବ)

$\therefore$ ଉତ୍ପାଦକଟି ହେଉଛି: $(2x - 3)$
🌟 WithTeachers.in🌟

🔍 4. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ କେଉଁ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର $x+1$ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ?

(ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ, ଯଦି $p(-1) = 0$ ହୁଏ, ତେବେ $x+1$ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ)

(i)

❓ Question: $x^3 + x^2 + x + 1$

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^3 + x^2 + x + 1$

$$p(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1$$

$$= -1 + 1 - 1 + 1 = 0$$

$\therefore$ ଏଠାରେ $x+1$ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।

(ii)

❓ Question: $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$

$$p(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1$$

$$= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1 \neq 0$$

$\therefore$ ଏଠାରେ $x+1$ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ ।

(iii)

❓ Question: $x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1$

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1$

$$p(-1) = (-1)^4 + 3(-1)^3 + 3(-1)^2 + (-1) + 1$$

$$= 1 - 3(1) + 3(1) - 1 + 1$$

$$= 1 - 3 + 3 - 1 + 1 = 1 \neq 0$$

$\therefore$ ଏଠାରେ $x+1$ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ ।

(iv)

❓ Question: $x^3 - x^2 - (2 + \sqrt{2})x - \sqrt{2}$

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^3 - x^2 - (2 + \sqrt{2})x - \sqrt{2}$

$$p(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (2 + \sqrt{2})(-1) - \sqrt{2}$$

$$= -1 - 1 + (2 + \sqrt{2}) - \sqrt{2}$$

$$= -2 + 2 + \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$$

$\therefore$ ଏଠାରେ $x+1$ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।

✏️ 5. କେଉଁ କେଉଁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ $p(x)$ ର ପଲିନୋମିଆଲ୍ $g(x)$ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ ?

(ଯଦି $g(x) = x - a$ ହୁଏ ଏବଂ $p(a) = 0$ ହୁଏ, ତେବେ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ)

(i)

❓ Question: $p(x) = 2x^3 + x^2 - 2x - 1, \ g(x) = x + 1$

✅ Answer:

ଏଠାରେ $g(x) = x + 1$, ତେଣୁ $x = -1$ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା:

$$p(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) - 1$$

$$= 2(-1) + 1 + 2 - 1$$

$$= -2 + 1 + 2 - 1 = 0$$

$\therefore$ ହଁ, ଏଠାରେ $g(x)$ ପଲିନୋମିଆଲ୍ $p(x)$ ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।

(ii)

❓ Question: $p(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1, \ g(x) = x + 2$

✅ Answer:

ଏଠାରେ $g(x) = x + 2$, ତେଣୁ $x = -2$ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା:

$$p(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + 1$$

$$= -8 + 3(4) - 6 + 1$$

$$= -8 + 12 - 6 + 1 = -1 \neq 0$$

$\therefore$ ନା, ଏଠାରେ $g(x)$ ପଲିନୋମିଆଲ୍ $p(x)$ ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ ।

(iii)

❓ Question: $p(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6, \ g(x) = x - 3$

✅ Answer:

ଏଠାରେ $g(x) = x - 3$, ତେଣୁ $x = 3$ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା:

$$p(3) = (3)^3 - 4(3)^2 + 3 + 6$$

$$= 27 - 4(9) + 9$$

$$= 27 - 36 + 9$$

$$= 36 - 36 = 0$$

$\therefore$ ହଁ, ଏଠାରେ $g(x)$ ପଲିନୋମିଆଲ୍ $p(x)$ ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।
🌟 WithTeachers.in🌟

🧩 6. ପଲିନୋମିଆଲ୍ $p(x)$ ର $x - 1$ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେଲେ $k$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ, ଯଦି $x - 1$ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହୁଏ, ତେବେ $p(1) = 0$ ହେବ)

(i)

❓ Question: $p(x) = x^2 + x + k$

✅ Answer:

ଯେହେତୁ $x - 1$ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ, ତେଣୁ $p(1) = 0$

$$(1)^2 + (1) + k = 0$$

$$1 + 1 + k = 0$$

$$2 + k = 0$$

$\therefore k = -2$

(ii)

❓ Question: $p(x) = 2x^2 + kx + \sqrt{2}$

✅ Answer:

ଯେହେତୁ $x - 1$ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ, ତେଣୁ $p(1) = 0$

$$2(1)^2 + k(1) + \sqrt{2} = 0$$

$$2 + k + \sqrt{2} = 0$$

$\therefore k = -(2 + \sqrt{2})$

(iii)

❓ Question: $p(x) = kx^2 - \sqrt{2}x + 1$

✅ Answer:

ଯେହେତୁ $x - 1$ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ, ତେଣୁ $p(1) = 0$

$$k(1)^2 - \sqrt{2}(1) + 1 = 0$$

$$k - \sqrt{2} + 1 = 0$$

$\therefore k = \sqrt{2} - 1$

(iv)

❓ Question: $p(x) = kx^2 + 3x + k$

✅ Answer:

ଯେହେତୁ $x - 1$ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ, ତେଣୁ $p(1) = 0$

$$k(1)^2 + 3(1) + k = 0$$

$$k + 3 + k = 0$$

$$2k + 3 = 0 \Rightarrow 2k = -3$$

$\therefore k = -\frac{3}{2}$

➗ 7. ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗରେ ଭାଗଶେଷ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i)

❓ Question: $(x^4 - 1) \div (x + 1)$

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^4 - 1$

ଭାଜକ $= (x + 1) \Rightarrow x = -1$

ଭାଗଶେଷ $= p(-1)$

$$p(-1) = (-1)^4 - 1 = 1 - 1 = 0$$

$\therefore$ ଭାଗଶେଷ $= 0$

(ii)

❓ Question: $(x^3 - 3x + 7) \div (x - 2)$

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^3 - 3x + 7$

ଭାଜକ $= (x - 2) \Rightarrow x = 2$

ଭାଗଶେଷ $= p(2)$

$$p(2) = (2)^3 - 3(2) + 7 = 8 - 6 + 7 = 9$$

$\therefore$ ଭାଗଶେଷ $= 9$

(iii)

❓ Question: $(x^2 - 3x + 2) \div (x + 3)$

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^2 - 3x + 2$

ଭାଜକ $= (x + 3) \Rightarrow x = -3$

ଭାଗଶେଷ $= p(-3)$

$$p(-3) = (-3)^2 - 3(-3) + 2 = 9 + 9 + 2 = 20$$

$\therefore$ ଭାଗଶେଷ $= 20$
🌟 WithTeachers.in🌟
(iv)

❓ Question: $(2x^2 - x - 1) \div (2x - 1)$

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = 2x^2 - x - 1$

ଭାଜକ $= (2x - 1) \Rightarrow x = \frac{1}{2}$

ଭାଗଶେଷ $= p(\frac{1}{2})$

$$p\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right) - 1$$

$$= 2\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 = -1$$

$\therefore$ ଭାଗଶେଷ $= -1$

✂️ 8. ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗରେ ନିମ୍ନସ୍ଥ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଗୁଡିକୁ ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।

(i)

❓ Question: $x^2 - 7x + 12$

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^2 - 7x + 12$ । $12$ ର ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ ହେଲା $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \dots$

$$p(3) = (3)^2 - 7(3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0 \Rightarrow (x - 3) \text{ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ}$$

$$p(4) = (4)^2 - 7(4) + 12 = 16 - 28 + 12 = 0 \Rightarrow (x - 4) \text{ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ}$$

$\therefore$ ଉତ୍ପାଦକ ବିଶ୍ଳେଷଣ = $(x - 3)(x - 4)$

(ii)

❓ Question: $x^2 - 3x - 4$

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^2 - 3x - 4$ । $-4$ ର ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ ହେଲା $\pm 1, \pm 2, \pm 4$

$$p(-1) = (-1)^2 - 3(-1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 \Rightarrow (x + 1) \text{ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ}$$

$$p(4) = (4)^2 - 3(4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0 \Rightarrow (x - 4) \text{ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ}$$

$\therefore$ ଉତ୍ପାଦକ ବିଶ୍ଳେଷଣ = $(x + 1)(x - 4)$

(iii)

❓ Question: $x^3 - 2x^2 - x + 2$

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$

$$p(1) = 1^3 - 2(1)^2 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$

$\Rightarrow (x - 1) \text{ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ}$$

$p(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 2 + 1 + 2 = 0$

$\Rightarrow (x + 1) \text{ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ}$

$p(2) = 2^3 - 2(2)^2 - 2 + 2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0$

$\Rightarrow (x - 2) \text{ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ}$

$\therefore$ ଉତ୍ପାଦକ ବିଶ୍ଳେଷଣ = $(x - 1)(x + 1)(x - 2)$

(iv)

❓ Question: $y^3 + y^2 - 2y - 2$

✅ Answer:

ମନେକର $p(y) = y^3 + y^2 - 2y - 2$

ଏହାକୁ ସଜାଇ ଲେଖିଲେ:

$$y^2(y + 1) - 2(y + 1)$$

$$= (y^2 - 2)(y + 1)$$

$\therefore$ ଉତ୍ପାଦକ ବିଶ୍ଳେଷଣ = $(y + 1)(y^2 - 2)$

📝 9. ଯଦି $x^2 - 1, ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ ପଲିନୋମିଆଲର ଏକ ଗୁଣନୀୟକ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $a + c + e = b + d = 0$

❓ Question: ଯଦି $x^2 - 1$ ଏକ ଗୁଣନୀୟକ (factor), ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର: $a + c + e = b + d = 0$

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$

ଦତ୍ତ ଅଛି ଯେ, $(x^2 - 1)$ ଏହାର ଏକ ଗୁଣନୀୟକ।

$(x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1)$

ତେଣୁ, $(x - 1)$ ଏବଂ $(x + 1)$ ଉଭୟ $p(x)$ ର ଗୁଣନୀୟକ ଅଟନ୍ତି ।

ଅର୍ଥାତ୍ $p(1) = 0$ ଏବଂ $p(-1) = 0$

୧. $p(1) = a(1)^4 + b(1)^3 + c(1)^2 + d(1) + e = 0$

$\Rightarrow a + b + c + d + e = 0 \dots \dots (\text{ସମୀକରଣ ୧})$

୨. $p(-1) = a(-1)^4 + b(-1)^3 + c(-1)^2 + d(-1) + e = 0$

$\Rightarrow a - b + c - d + e = 0 \dots \dots (\text{ସମୀକରଣ ୨})$

ବର୍ତ୍ତମାନ (ସମୀକରଣ ୧) ଓ (ସମୀକରଣ ୨) କୁ ଯୋଗ କଲେ:

$(a + b + c + d + e) + (a - b + c - d + e) = 0 + 0$

$\Rightarrow 2a + 2c + 2e = 0$

$\Rightarrow 2(a + c + e) = 0$

$\Rightarrow \mathbf{a + c + e = 0}$

ବର୍ତ୍ତମାନ $a + c + e = 0$ ମୂଲ୍ୟକୁ (ସମୀକରଣ ୧) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$(a + c + e) + b + d = 0$

$\Rightarrow 0 + b + d = 0$

$\Rightarrow \mathbf{b + d = 0}$

$\therefore a + c + e = b + d = 0$ (ପ୍ରମାଣିତ / Proved)

📝 10. ଯଦି $(x - 1), x^2 + mx + 1$ ପଲିନୋମିଆଲର ଉତ୍ପାଦକ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କରଯେ $(x - m), x^3 + 3x^2 + 3x + 2$ ପଲିନୋମିଆଲର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ ।

🌟 WithTeachers.in🌟
❓ Question: $(x - 1), x^2 + mx + 1$ ର ଉତ୍ପାଦକ ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ $(x - m)$ ହେଉଛି $x^3 + 3x^2 + 3x + 2$ ର ଉତ୍ପାଦକ ।

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^2 + mx + 1$

ଯେହେତୁ $(x - 1)$, $p(x)$ ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ, ତେଣୁ $p(1) = 0$ ହେବ ।

$$(1)^2 + m(1) + 1 = 0$$

$$1 + m + 1 = 0$$

$$m + 2 = 0 \Rightarrow \mathbf{m = -2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ ଯେ $(x - m)$ ଅର୍ଥାତ୍ $(x - (-2)) = \mathbf{(x + 2)}$ ହେଉଛି ଅନ୍ୟ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।

ମନେକର ଦ୍ୱିତୀୟ ପଲିନୋମିଆଲ୍ $q(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2$

ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ, ଆମକୁ ଦେଖିବାକୁ ହେବ ଯେ $q(-2) = 0$ କି ନୁହେଁ ।

$$q(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + 2$$

$$= -8 + 3(4) - 6 + 2$$

$$= -8 + 12 - 6 + 2$$

$$= 14 - 14 = \mathbf{0}$$

ଯେହେତୁ $q(-2) = 0$, ତେଣୁ $(x + 2)$ ବା $(x - m)$ ହେଉଛି $x^3 + 3x^2 + 3x + 2$ ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।

(ପ୍ରମାଣିତ / Proved)

🌟 WithTeachers.in🌟

11.

❓ Question: ଦର୍ଶାଅ ଯେ, $x^2 + 2x + 3$ ପଲିନୋମିଆଲର କୌଣସି ଜିରୋ ନାହିଁ ।

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^2 + 2x + 3$

ଏହାକୁ ଆମେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବେ ସଜାଇ ଲେଖିପାରିବା:

$$p(x) = x^2 + 2x + 1 + 2$$

$$p(x) = (x^2 + 2x + 1) + 2$$

$$p(x) = (x + 1)^2 + 2$$

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଯେକୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ କୌଣସି ବର୍ଗର ମାନ କେବେବି ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ, ଅର୍ଥାତ୍ $(x + 1)^2 \geq 0$ ।

ତେଣୁ, $(x + 1)^2 + 2$ ର ମାନ ସର୍ବଦା $2$ କିମ୍ବା ତା’ଠାରୁ ବଡ଼ ହେବ । ଏହା କେବେବି $0$ ସହ ସମାନ ହେବ ନାହିଁ ।

ଯେହେତୁ $p(x) \neq 0$, ତେଣୁ $x^2 + 2x + 3$ ପଲିନୋମିଆଲର କୌଣସି ଜିରୋ ନାହିଁ । (ପ୍ରମାଣିତ)

12.

❓ Question: ଦର୍ଶାଅ ଯେ, $1$, $-1$ ଓ $3$ ପଲିନୋମିଆଲର $x^3 - 3x^2 - x + 3$ ର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଜିରୋ ଅଟନ୍ତି ।

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$

ଯଦି ଏହି ମାନଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରୟୋଗ କଲାପରେ ମୂଲ୍ୟ ଶୂନ ହୁଏ, ତେବେ ସେଗୁଡ଼ିକ ଜିରୋ ହେବେ ।

୧. $x = 1$ ପାଇଁ:

$$p(1) = (1)^3 - 3(1)^2 - (1) + 3$$

$$= 1 - 3(1) - 1 + 3 = 1 - 3 - 1 + 3 = 0$$

୨. $x = -1$ ପାଇଁ:

$$p(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - (-1) + 3$$

$$= -1 - 3(1) + 1 + 3 = -1 - 3 + 1 + 3 = 0$$

୩. $x = 3$ ପାଇଁ:

$$p(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - (3) + 3$$

$$= 27 - 3(9) - 3 + 3 = 27 - 27 - 3 + 3 = 0$$

ଯେହେତୁ $p(1) = 0$, $p(-1) = 0$ ଏବଂ $p(3) = 0$, ତେଣୁ $1, -1$ ଏବଂ $3$ ପ୍ରଦତ୍ତ ପଲିନୋମିଆଲର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଜିରୋ ଅଟନ୍ତି । (ପ୍ରମାଣିତ)

13.

❓ Question: $b$ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $x^3 - 3x^2 + bx - 6$ ପଲିନୋମିଆଲର $(x - 3)$ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ?

✅ Answer:

ମନେକର $p(x) = x^3 - 3x^2 + bx - 6$

ଯେହେତୁ ପଲିନୋମିଆଲଟି $(x - 3)$ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ (ଅର୍ଥାତ୍ ଏହା ଏକ ଉତ୍ପାଦକ), ତେଣୁ ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ $p(3) = 0$ ହେବ ।

$$p(3) = (3)^3 - 3(3)^2 + b(3) - 6 = 0$$

$$27 - 3(9) + 3b - 6 = 0$$

$$27 - 27 + 3b - 6 = 0$$

$$3b - 6 = 0$$

$$3b = 6 \Rightarrow b = \frac{6}{3}$$

$\therefore b = 2$

14.

❓ Question: ଯଦି $x^2 - bx + c = (x + p)(x - q)$ ହୁଏ ତେବେ $x^2 - bxy + cy^2$ ର ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ Answer:

ଦତ୍ତ ଅଛି ଯେ:

$$x^2 - bx + c = (x + p)(x - q)$$

ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କଲେ:

$$x^2 - bx + c = x^2 - qx + px - pq$$

$$x^2 - bx + c = x^2 + (p - q)x - pq$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ସହଗ ଗୁଡ଼ିକୁ ତୁଳନା କଲେ ଆମେ ପାଇବା:

$$-b = p - q \Rightarrow \mathbf{b = q - p}$$

$$\mathbf{c = -pq}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ପ୍ରଦତ୍ତ ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶିଟିକୁ ସମାଧାନ କରିବା ଯେଉଁଥିରେ ଆମେ $b$ ଏବଂ $c$ ର ମାନ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା:

ରାଶି $= x^2 - bxy + cy^2$

$$= x^2 - (q - p)xy + (-pq)y^2$$

$$= x^2 - qxy + pxy - pqy^2$$

ଏବେ ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ପଦରୁ $x$ ଏବଂ ଶେଷ ଦୁଇଟି ପଦରୁ $py$ କମନ୍ ଆଣିବା:

$$= x(x - qy) + py(x - qy)$$

$$= \mathbf{(x + py)(x - qy)}$$

$\therefore x^2 - bxy + cy^2$ ର ଉତ୍ପାଦକ ହେଉଛି $(x + py)(x - qy)$ ।