ଅଧ୍ୟାୟ 3: ସଂଖ୍ୟା ଖେଳ (Number Games) - ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ନୋଟ୍ସ

.1. ଉଚ୍ଚତା ଅନୁସାରେ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ 📏👧👦

ପିଲାମାନେ ଧାଡ଼ିରେ ଠିଆ ହୋଇ ନିଜ ପାଖରେ ଥିବା ପିଲାଙ୍କ ଉଚ୍ଚତାକୁ ଦେଖି ସଂଖ୍ୟା କହିଥାନ୍ତି:

• ଯଦି ଗୋଟିଏ ପିଲା ପାଖରେ (କେବଳ ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ୱରେ) ଗୋଟିଏ ଡେଙ୍ଗା ପିଲା ଥାଏ, ତେବେ ପିଲାଟି କହିବ - 1।

• ଯଦି ଗୋଟିଏ ପିଲାର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଡେଙ୍ଗା ପିଲା ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ ପିଲାଟି କହିବ - 2।

• ଯଦି ଗୋଟିଏ ପିଲାର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ତା’ଠାରୁ କମ୍ ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଗେଡା ପିଲା ଥିବେ, ତେବେ ପିଲାଟି କହିବ - 0।

• ଅର୍ଥାତ୍ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପିଲା ତା ପାଖରେ ଥିବା ଡେଙ୍ଗା କିମ୍ବା ଗେଡା ପିଲାଙ୍କ ଆଧାରରେ ହିଁ ସଂଖ୍ୟା କହିବେ।

.2. ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟାବିଶିଷ୍ଟ କୋଠରି (Super Cell) ⭐🔲

• ଏକ କୋଠରୀ ରଙ୍ଗୀନ ହେବ ବା ‘ସୁପର ସେଲ୍’ ହେବ, ଯଦି ସେଥିରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଟି ତାହାର ପାଖ କୋଠରିର ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ବୃହତ୍ତର ହୋଇଥିବ।

• ଏଠାରେ ଠିକ୍ ବାମ, ଡାହାଣ, ଉପର ଓ ତଳକୁ ଥିବା କୋଠରୀ ଗୁଡିକ ପଡୋଶୀ କୋଠରି ଅଟନ୍ତି। ଗୋଟିଏ କୋଠରି ସୁପର୍ ସେଲ୍ ହେବ, ଯଦି ଏଥିରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଏହାର ସମସ୍ତ ପଡ଼ୋଶୀ କୋଠରୀର ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ହେବ।

• ଉଦାହରଣ: 626 ସଂଖ୍ୟା ଥିବା କୋଠରି ରଙ୍ଗୀନ ହୋଇଛି ଯେହେତୁ ଏହା 577 ଏବଂ 345 ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ଅଟେ। କିନ୍ତୁ 200 ରଙ୍ଗୀନ ହୋଇନାହିଁ ଯେହେତୁ ଏହା 577 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଅଟେ।

.3. ଅଙ୍କଗୁଡିକରେ ଅଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ➕🔢

କିଛି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡିକର ଅଙ୍କମାନଙ୍କୁ ମିଶାଇଲେ, ମିଶାଣଫଳ ବା ସମଷ୍ଟି ସମାନ ଆସିଥାଏ।

• ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ: 68, 176 ଓ 545 ର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ମିଶାଣଫଳ ସମାନ ହେବ।

  • $6+8=14$

  • $1+7+6=14$

  • $5+4+5=14$

.4. ସୁନ୍ଦର ପାଲିଣ୍ଡ୍ରୋମିକ୍ ସଂରଚନା (Palindromic Numbers) 🔄👀

• ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡିକ ବାମରୁ ଡାହାଣକୁ ଏବଂ ଡାହାଣରୁ ବାମକୁ ପଢ଼ିବା ଏକାକଥା, ସେଗୁଡିକୁ ପାଲିଣ୍ଡ୍ରୋମ୍ କିମ୍ବା ପାଲିଣ୍ଡ୍ରୋମିକ୍ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ।

• ଉଦାହରଣ: 676, 848, 1111 ଇତ୍ୟାଦି।

• ଯୋଗ କରି ପାଲିଣ୍ଡ୍ରୋମ୍ ତିଆରି କରିବାର ସୋପାନ: 1. ଏକ ଦୁଇଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାରୁ ଆରମ୍ଭ କର।

  2. ଏହି ସଂଖ୍ୟାକୁ ଏହାର ଓଲଟା ସଂଖ୍ୟା ସହ ମିଶାଅ।

  3. ତୁମେ ଯେଉଁଠି ଏକ ପାଲିଣ୍ଡ୍ରୋମ୍ ପାଇବ ସେହିଠାରେ ବନ୍ଦ କର।

  • ସମାଧାନର ଉଦାହରଣ: $\frac{34}{43}$ ମିଶାଇଲେ ଆମେ 77 ପାଇବା (ଯାହାକି ଏକ ପାଲିଣ୍ଡ୍ରୋମ୍)।

.5. କାପ୍ରେକରଙ୍କ କୌତୁକ ସଂଖ୍ୟା (Kaprekar’s Constant) 🎩🔢

ମହାରାଷ୍ଟ୍ରର ଗଣିତ ଶିକ୍ଷକ ଡି.ଆର୍. କାପ୍ରେକର 1949 ମସିହାରେ ଚାରିଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ନେଇ ଗୋଟିଏ ଆକର୍ଷଣୀୟ ଓ କୌତୁକିଆ ତଥ୍ୟ ଆବିଷ୍କାର କରିଥିଲେ।

• ଖେଳିବାର ପ୍ରଣାଳୀ:

  1. ଏକ ଚାରି-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ନିଅ, ଯେଉଁଥିରେ ଅତିକମ୍‌ରେ ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ଅଙ୍କ ଥିବ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ: $A=8632$।

  2. ଏହି ଅଙ୍କ ମାନଙ୍କୁ ନେଇ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟାଟି ତିଆରି କର, ଏହାକୁ ‘$A$’ କୁହ।

  3. ଏହି ଅଙ୍କମାନଙ୍କୁ ନେଇ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଟି ତିଆରି କର, ଏହାକୁ ‘$B$’ କୁହ। ($B=2368$)

  4. $A$ ରୁ $B$ ବିୟୋଗ କର, ଏହାକୁ ‘$C$’ କୁହ।

     • $C = 8632 - 2368$

     • $C = 6264$

  5. $C$ ର ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ବ୍ୟବହାର କରି ପୁଣିଥରେ ବଡ଼ ଓ ସାନସଂଖ୍ୟା ତିଆରି କର ଓ ସମାନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଜାରି ରଖ।

• ତୁମେ ଏହିପରି କଲେ ସବୁବେଳେ 6174 କୌତୁକ ସଂଖ୍ୟାରେ ହିଁ ପହଞ୍ଚିବ। ଏହି 6174 କୌତୁକ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ “କାପ୍ରେକର ସ୍ଥିରାଙ୍କ” କୁହାଯାଏ।

.6. ମାନସାଙ୍କ ଏବଂ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା (Mental Math and Operations) 🧠➕➖

ବିଭିନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ମାନସିକ ସ୍ତରରେ ଯୋଗ ଓ ବିୟୋଗ କରି ଆମେ ଅନେକ ନୂତନ ସଂଖ୍ୟା ସୃଷ୍ଟି କରିପାରିବା। ବାକ୍ସ ଗୁଡିକରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରି ଆବଶ୍ୟକ ସଂଖ୍ୟା ପାଇବା ପାଇଁ ଆମେ ଉଭୟ ଯୋଗ ଏବଂ ବିୟୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା କରିପାରିବା। ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ସମଷ୍ଟି ପାଇବା ପାଇଁ ଏକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଏକାଧିକ ଥର ଯୋଗ କିମ୍ବା ବିୟୋଗ କରାଯାଇପାରେ।

• ଯୋଗ ଓ ବିୟୋଗର ଉଦାହରଣ:

  • $38800 = 25000 + 400 \times 2 + 13000$

  • $3400 = 1500 + 1500 + 400$

  • $39800 = 40000 - 800 + 300 + 300$

• ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାର ପ୍ରକ୍ରିୟା: ଦୁଇଟି 5-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଯୋଗ କରି ଏକ ନୂତନ ସଂଖ୍ୟା ପାଇବାର ଉଦାହରଣ ହେଉଛି $12350 + 24545 = 36895$।

.7. ସଂଖ୍ୟା ସଂରଚନା ସମ୍ପର୍କୀୟ ଖେଳ (Number Pattern Games) 🧩🔢

ଯେତେବେଳେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟାର ଏକ କ୍ରମ ଦିଆଯାଇଥାଏ, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଗୋଟିଏ ପରେ ଗୋଟିଏ ନ ମିଶାଇ କୌଣସି ଏକ ସହଜ ସଂରଚନା (Pattern) ମାଧ୍ୟମରେ ଶୀଘ୍ର ଯୋଗ କରାଯାଇପାରିବ। ଏହି ପଦ୍ଧତି ଆମର ଗଣନାକୁ ଦ୍ରୁତ ଏବଂ ସହଜ କରିଥାଏ।

.8. ଅସମାଧିତ ସମସ୍ୟା - କୋଲାଜ୍‌ଙ୍କ ଅନୁମାନ (Collatz Conjecture) 🧐📉

1937 ମସିହାରେ ଜର୍ମାନ ଗଣିତଜ୍ଞ ଲୋଥର କୋଲାଜ୍ ଏକ ଅଦ୍ଭୁତ ଗାଣିତିକ ଅନୁମାନ କରିଥିଲେ ଯାହା ଆଜି ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏକ ଅସମାହିତ ସମସ୍ୟା ହୋଇ ରହିଛି।

• କୋଲାଜ୍‌ଙ୍କ ନିୟମ (Collatz Rule/Formula): ଯେକୌଣସି ଏକ ଅଖଣ୍ଡ ସଂଖ୍ୟାରୁ ଆରମ୍ଭ କର।

  1. ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଟି ଯୁଗ୍ମ (Even): ତେବେ ଏହାର ଅଧା ନିଅ। ସୂତ୍ର: $\frac{n}{2}$

  2. ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଟି ଅଯୁଗ୍ମ (Odd): ତେବେ ସେଥିରେ 3 ଗୁଣନ କରି 1 ଯୋଗ କର। ସୂତ୍ର: $3n + 1$

• କ୍ରମର ଉଦାହରଣ: 12 ରୁ ଆରମ୍ଭ କଲେ କ୍ରମଟି ହେବ: $12 \rightarrow 6 \rightarrow 3 \rightarrow 10 \rightarrow 5 \rightarrow 16 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$।

• ଅନୁମାନର ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: କୋଲାଜ୍ ଅନୁମାନ କରିଥିଲେ ଯେ ତୁମେ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟାରୁ ଆରମ୍ଭ କଲେ ମଧ୍ୟ ଏହି କ୍ରମ ସର୍ବଦା ଶେଷରେ ‘1’ ରେ ହିଁ ପହଞ୍ଚିବ।

.9. ସରଳ ଆକଳନ (Simple Estimation) 📏🤔

ଠିକରେ ଗଣନା ଜାଣି ନଥିଲେ କିମ୍ବା ସଠିକ୍ ଗଣନାର ଆବଶ୍ୟକତା ନଥିଲେ, କୌଣସି ଜିନିଷ ବା ପରିମାଣର ଶୀଘ୍ର ଉତ୍ତର ପାଇବା ପାଇଁ ଆକଳନ (Estimation) କରାଯାଏ।

• ଉଦାହରଣ: ଯଦି ତିନୋଟି ଶ୍ରେଣୀ ବିଭାଗରେ ଯଥାକ୍ରମେ 32, 29 ଏବଂ 35 ଜଣ ଶିକ୍ଷାର୍ଥୀ ଅଛନ୍ତି, ତେବେ ମୋଟ ଶିକ୍ଷାର୍ଥୀଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାୟ 100 ବୋଲି ଆକଳନ କରାଯାଇପାରେ।

.10. ଖେଳ ଏବଂ ଜିତିବା ରଣନୀତି (Games and Winning Strategies) 🏆🎮

ଖେଳ ଖେଳିବା ଏବଂ ସେଥିରେ ବିଜୟୀ ହେବା ପାଇଁ ଗାଣିତିକ ରଣନୀତି ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରେ।

• ଖେଳ - 1 (21 ଖେଳ): ପ୍ରଥମ ଖେଳାଳୀ 1, 2 କିମ୍ବା 3 କହିବ। ତା’ପରେ ଦୁଇ ଖେଳାଳୀ ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟାରେ 1, 2 କିମ୍ବା 3 ଯୋଗ କରି ଚାଲିବେ। ଯିଏ ପ୍ରଥମେ ସଂଖ୍ୟା 21 ରେ ପହଞ୍ଚିବ, ସେହି ଖେଳାଳୀ ବିଜୟୀ ହେବ।

• ଖେଳ - 2: ପ୍ରଥମ ଖେଳାଳୀ 1 ରୁ 10 ମଧ୍ୟରେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା କହିବ। ତା’ପରେ ଦ୍ଵିତୀୟ ଖେଳାଳି ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାରେ 1 ରୁ 10 ମଧ୍ୟରେ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗ କରିବ। ଯିଏ ପ୍ରଥମେ 22 ରେ ପହଞ୍ଚିବ, ସେ ବିଜୟୀ ହେବ। ଏଭଳି ଖେଳ ଜିତିବା ପାଇଁ ଖେଳାଳିକୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ସଂରଚନା ଆପଣେଇବାକୁ ପଡ଼ିଥାଏ।

.11. ଆମେ କ’ଣ ଶିଖିଲେ (Chapter Summary) 💡📚

• ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ବିଭିନ୍ନ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟରେ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରେ, ଯଥା: ସୂଚନା ପହଞ୍ଚାଇବା, ସଂରଚନା ତିଆରି ଓ ଆବିଷ୍କାର କରିବା, ପରିମାଣ ଆକଳନ କରିବା, ଧନ୍ଦାଗୁଡ଼ିକ ତିଆରି କରିବା ଏବଂ ଖେଳ ଖେଳି ଜିତିବା।

• ସଂଖ୍ୟାକୁ ଏହିପରି ବିଭିନ୍ନ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଚିନ୍ତା କରିବା ଏବଂ ବ୍ୟବହାର କରିବାର କ୍ଷମତାକୁ “ଗଣନାକାରୀ ଚିନ୍ତାଧାରା” (Computational Thinking) କୁହାଯାଏ।