Page-56

ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର ଏବଂ ତୁମର ଯୁକ୍ତି ଉପସ୍ଥାପନ କର ।

Question 1 ❓: ପିଲାମାନେ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ପୁନର୍ବାର ସଜେଇ ହୋଇ ପାରିବେ କି ଯେପରି ଶେଷରେ ଛିଡା ହୋଇଥିବା ପିଲା ‘2’ କହିବ ?

Answer 1 💡: ନାଁ, ଏହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।

କାରଣ: ଶେଷରେ ଛିଡ଼ା ହୋଇଥିବା ପିଲାର କେବଳ ଗୋଟିଏ ହିଁ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଅନ୍ୟ ପିଲା ଥାଆନ୍ତି (ସେହି ପିଲାଟିର ଅନ୍ୟ ପାଖଟି ଖାଲି ଥାଏ)। ‘2’ କହିବାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ପିଲାଟିର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ତା’ଠାରୁ ଡେଙ୍ଗା ପିଲା ରହିବା ଦରକାର। ତେଣୁ ଶେଷରେ ଥିବା ପିଲା ସର୍ବାଧିକ ‘1’ ହିଁ କହିପାରିବ, କେବେବି ‘2’ କହିପାରିବ ନାହିଁ।

Question 2 ❓: ଆମେ ପିଲାମାନଙ୍କୁ ଗୋଟିଏ ଧାଡ଼ିରେ ସଜେଇ ପାରିବା କି, ଯେପରି ସମସ୍ତେ ‘0’ କହିବେ ?

Answer 2 💡: ହଁ, ଏହା ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସର୍ତ୍ତରେ ସମ୍ଭବ।

କାରଣ: ଯଦି ଧାଡ଼ିରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପିଲାଙ୍କ ଉଚ୍ଚତା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାନ ହୋଇଥାଏ, ତେବେ କେହି ବି କାହାଠାରୁ ଡେଙ୍ଗା ହେବେ ନାହିଁ। ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମସ୍ତେ ‘0’ କହିବେ। କିନ୍ତୁ ଯଦି ପିଲାମାନଙ୍କର ଉଚ୍ଚତା ଅଲଗା ଅଲଗା ଥାଏ, ତେବେ ସମସ୍ତେ ଏକାସାଙ୍ଗରେ ‘0’ କହିବା ଅସମ୍ଭବ।

Question 3 ❓: ପରସ୍ପର ପାଖାପାଖି ଛିଡା ହୋଇଥିବା ଦୁଇଜଣ ପିଲା ସମାନ ସଂଖ୍ୟା କହିପାରିବେ କି ?

Answer 3 💡: ହଁ, କହିପାରିବେ।

କାରଣ: ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି ଦୁଇଜଣ ସମାନ ବା ପାଖାପାଖି ଉଚ୍ଚତାର ଗେଡ଼ା ପିଲା ଏକାଠି ଅଛନ୍ତି ଏବଂ ତାଙ୍କର ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଖୁବ୍ ଡେଙ୍ଗା ପିଲା ଅଛନ୍ତି, ତେବେ ସେହି ଦୁଇ ଗେଡ଼ା ପିଲାଙ୍କର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଡେଙ୍ଗା ପଡ଼ୋଶୀ ରହିବେ ଏବଂ ଉଭୟ ଏକାସାଙ୍ଗରେ ‘1’ କହିବେ।

Question 4 ❓: ଗୋଟିଏ ଦଳରେ 5 ଜଣ ପିଲା ଅଛନ୍ତି, ଯେଉଁଥିରେ ସମସ୍ତଙ୍କର ଉଚ୍ଚତା ଅଲଗା । ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 4 ଜଣ କହୁଥିବେ ‘1’ ଏବଂ ଶେଷ ଜଣକ ‘0’ କହୁଥିବ, ଏଭଳି ଛିଡା ହୋଇପାରିବେ କି ? ହଁ / ନାଁ, କାହିଁକି ?

Answer 4 💡: ହଁ, ଏହା ସମ୍ଭବ।

କାରଣ: ଯଦି ପିଲାମାନେ ଏକ ପାହାଚ କ୍ରମରେ (ଛୋଟରୁ ବଡ଼ ଏବଂ ପୁଣି ବଡ଼ରୁ ଛୋଟ) ଠିଆ ହେବେ, ତେବେ ଏହା ହୋଇପାରିବ। ଧରାଯାଉ ସେମାନଙ୍କ ଉଚ୍ଚତାର କ୍ରମ ହେଉଛି: $1, 3, 5, 4, 2$ ।

• ମଝିରେ ଥିବା ସବୁଠାରୁ ଡେଙ୍ଗା ପିଲା (5) ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ ବଡ଼ ଥିବାରୁ ସେ ‘0’ କହିବ।

• ବାକି 4 ଜଣଙ୍କର (1, 3, 4, 2) କେବଳ ଗୋଟିଏ ଦିଗରେ ତାଙ୍କଠାରୁ ଡେଙ୍ଗା ପିଲା ଥିବାରୁ, ସେହି 4 ଜଣଯାକ ‘1’ କହିବେ।

Question 5 ❓: ଏହି 5 ଜଣିଆ ଦଳ ପାଇଁ $1, 1, 1, 1, 1$ କ୍ରମଟି ସମ୍ଭବ ହୋଇପାରିବ କି ?

Answer 5 💡: ନାଁ, ଏହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।

କାରଣ: ଦଳରେ ସମସ୍ତଙ୍କ ଉଚ୍ଚତା ଅଲଗା ଅଲଗା ଅଛି। ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ଜଣେ ‘ସବୁଠାରୁ ଡେଙ୍ଗା’ ପିଲା ଥିବେ। ସେହି ସବୁଠାରୁ ଡେଙ୍ଗା ପିଲାଙ୍କ ପାଖରେ ତାଙ୍କଠାରୁ ଡେଙ୍ଗା କେହିବି ରହିପାରିବେ ନାହିଁ, ତେଣୁ ସେ ସର୍ବଦା ‘0’ ହିଁ କହିବେ। ସମସ୍ତେ ‘1’ କହିବା ଅସମ୍ଭବ ଅଟେ।

Question 6 ❓: $0, 1, 2, 1, 0$ କ୍ରମଟି ସମ୍ଭବ ହେବ କି ? କାହିଁକି / କାହିଁକି ନୁହେଁ ?

Answer 6 💡: ହଁ, ଏହି କ୍ରମଟି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମ୍ଭବ।

କାରଣ: ଯଦି ଆମେ ଧାଡ଼ିର ଦୁଇ ପ୍ରାନ୍ତରେ ଦୁଇଜଣ ସବୁଠାରୁ ଡେଙ୍ଗା ପିଲାଙ୍କୁ ରଖିବା ଏବଂ ମଝିରେ ସବୁଠାରୁ ଗେଡ଼ା ପିଲାଙ୍କୁ ରଖିବା, ତେବେ ଏହା ହେବ। ଧରାଯାଉ ଉଚ୍ଚତାର କ୍ରମ ହେଉଛି: $5, 4, 1, 3, 6$ ।

• ପ୍ରାନ୍ତରେ ଥିବା 5 ଏବଂ 6 କହିବେ ‘0’।

• ସେମାନଙ୍କ ପାଖରେ ଥିବା 4 ଏବଂ 3 କହିବେ ‘1’।

• ମଝିରେ ଥିବା ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ ପିଲା (1) ର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଡେଙ୍ଗା (4 ଏବଂ 3) ଥିବାରୁ, ସେ କହିବ ‘2’।

  ଫଳରେ କ୍ରମଟି $0, 1, 2, 1, 0$ ହେବ।

Question 7 ❓: ତୁମେ କିପରି 5 ଜଣ ପିଲାଙ୍କୁ ପୁନର୍ବାର ସଜେଇବ, ଯେପରି ସର୍ବାଧିକ ସଂଖ୍ୟକ ପିଲା ‘2’ କହିବେ ?

Answer 7 💡: ସର୍ବାଧିକ କେବଳ 2 ଜଣ ପିଲା ହିଁ ‘2’ କହିପାରିବେ।

କାରଣ: ଧାଡ଼ିର ଦୁଇ ପ୍ରାନ୍ତରେ ଥିବା ପିଲା କେବେ ‘2’ କହିପାରିବେ ନାହିଁ (ପ୍ରଶ୍ନ 1 ଅନୁସାରେ)। ଏବଂ ଦୁଇଜଣ ପାଖାପାଖି ଛିଡ଼ା ହୋଇଥିବା ପିଲା ଏକାସାଙ୍ଗରେ ‘2’ କହିବା ଅସମ୍ଭବ।

ତେଣୁ ସର୍ବାଧିକ ‘2’ ପାଇବା ପାଇଁ ଆମକୁ ପିଲାମାନଙ୍କୁ (ଡେଙ୍ଗା, ଗେଡ଼ା, ଡେଙ୍ଗା, ଗେଡ଼ା, ଡେଙ୍ଗା) କ୍ରମରେ ଠିଆ କରାଇବାକୁ ପଡ଼ିବ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ ଉଚ୍ଚତା: $4, 1, 5, 2, 3$ ।

ଏହି ସଜ୍ଜୀକରଣରେ କେବଳ ମଝିରେ ଥିବା ଦୁଇଟି ଗେଡ଼ା ପିଲା (1 ଏବଂ 2) ତାଙ୍କ ଦୁଇପାଖର ଡେଙ୍ଗା ପିଲାଙ୍କ ଯୋଗୁଁ ‘2’ କହିବେ। ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତେ ‘0’ କହିବେ।

ଆସ ବୁଝିବା
Page - 60

Question 1 ❓: ଅଙ୍କ ମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 14

କ. ଆଉ କିଛି ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ, ଯାହାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 14 ହେବ ।

ଖ. ସବୁଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା କେତେ, ଯାହାର ଅଙ୍କ ମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 14 ହେବ ?

ଗ. ପାଞ୍ଚ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟା କେତେ, ଯାହାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 14 ହେବ ?

ଘ. ଅଙ୍କ ମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 14 ଥାଇ କେତେ ବଡ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖି ପାରିବ ? ତୁମେ ତା’ଠାରୁ ଆଉ ବଡ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖି ପାରିବ କି ?

Answer 1 💡:

• କ. ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 14 ହେଉଥିବା ଅନ୍ୟ କିଛି ସଂଖ୍ୟା ହେଲା: 77, 86, 95, 356, 149 ଇତ୍ୟାଦି।

• ଖ. ସବୁଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ 59। (କାରଣ 5 + 9 = 14 ଏବଂ ଏହା ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସବୁଠୁ ଛୋଟ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ)।

• ଗ. ପାଞ୍ଚ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ 95000। (କାରଣ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ଅଙ୍କ 9 କୁ ପ୍ରଥମେ ରଖି, ତା’ପରେ 5 ରଖି ବାକି ସ୍ଥାନରେ 0 ବସାଇଲେ ସମଷ୍ଟି 14 ହିଁ ରହିବ ଏବଂ ସଂଖ୍ୟାଟି ସବୁଠୁ ବଡ଼ ହେବ)।

• ଘ. ଆମେ ଏଭଳି ଅସୀମ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖିପାରିବା। ହଁ, ଆମେ ସବୁବେଳେ ତା’ଠାରୁ ଏକ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖିପାରିବା। ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର (ଯାହାର ସମଷ୍ଟି 14) ଶେଷରେ ଯେତେ ଇଚ୍ଛା ସେତେ ଶୂନ (0) ଯୋଗ କଲେ ସମଷ୍ଟି ସମାନ ରହିବ, କିନ୍ତୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ଆକାରରେ ବଡ଼ ହୋଇଯିବ (ଯେପରିକି 950, 95000, 950000000)।

Question 2 ❓: 40 ରୁ 70 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ତୁମେ କ’ଣ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ, ଶ୍ରେଣୀରେ ଆଲୋଚନା କର ।

Answer 2 💡:

40 ରୁ 70 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଅଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବେ ବଦଳିଥାଏ:

• 40 ରୁ 49 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

• 50 ରୁ 59 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

• 60 ରୁ 69 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

• 70: 7

ଲକ୍ଷ୍ୟ କରାଯାଇଥିବା ସଂରଚନା (Observation): ଗୋଟିଏ ଦଶକ ଘର ମଧ୍ୟରେ (ଯେପରି 40-49) ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି କ୍ରମାଗତ ଭାବେ 1 ଲେଖାଏଁ ବଢ଼ିଥାଏ। କିନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ଦଶକ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ (ଯେପରି 49 ରୁ 50 କୁ), ସମଷ୍ଟି ହଠାତ୍ 8 କମିଯାଏ (13 ରୁ 5 କୁ)। କାରଣ ଏକକ ଘରୁ 9 କମିଯାଏ ଏବଂ ଦଶକ ଘରେ କେବଳ 1 ବଢ଼େ, ତେଣୁ ସମୁଦାୟ ପରିବର୍ତ୍ତନ $-9 + 1 = -8$ ହୋଇଥାଏ।

Question 3 ❓: ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯାହାର ଅଙ୍କ ଗୁଡିକ କ୍ରମାନୁସାରେ ଥିବ (ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ 345) । ତୁମେ କିଛି ସଂରଚନା ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ କି ? ସେହି ସଂରଚନା ଆଗକୁ ଜାରି ରହିବ କି ?

Answer 3 💡:

ଆସ କ୍ରମାନୁସାରେ ଥିବା କିଛି ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ଦେଖିବା:

• 123 ରେ 1 + 2 + 3 = 6

• 234 ରେ 2 + 3 + 4 = 9

• 345 ରେ 3 + 4 + 5 = 12

• 456 ରେ 4 + 5 + 6 = 15

• 789 ରେ 7 + 8 + 9 = 24

ଲକ୍ଷ୍ୟ କରାଯାଇଥିବା ସଂରଚନା (Pattern):

ହଁ, ଏଠାରେ ଦୁଇଟି ସୁନ୍ଦର ଲକ୍ଷଣ ଅଛି:

1. ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା ମଝି ଅଙ୍କର ତିନିଗୁଣ ହୋଇଥାଏ। (ଉଦାହରଣ: 345 ରେ ମଝି ଅଙ୍କ 4, ତେଣୁ ସମଷ୍ଟି $3 \times 4 = 12$)।

2. ଗୋଟିଏ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାରୁ ପରବର୍ତ୍ତୀ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଗଲେ, ସମଷ୍ଟି ସବୁବେଳେ 3 ବୃଦ୍ଧି ପାଏ (6, 9, 12, 15…)।

ହଁ, ଏହି ସଂରଚନା ଆଗକୁ ସର୍ବଦା ଜାରି ରହିବ। ଗାଣିତିକ ଭାବେ ପ୍ରମାଣ କଲେ, ଯଦି କ୍ରମିକ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ $n-1$, $n$, ଏବଂ $n+1$ ହୁଏ, ତେବେ ତାଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା ମଝି ଅଙ୍କର ତିନିଗୁଣ ହେବ:

$$(n-1) + n + (n+1) = 3n$$

ଆସ ବୁଝିବା
Page No -64 to 65

Question 1 ❓: ପ୍ରତିଭା $4$, $7$, $3$ ଏବଂ $2$ କୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଚାରି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଏବଂ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟା ଯଥା : $2347$ ଏବଂ $7432$ ଗଠନ କରେ । ଏହି ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ତର ହେଉଛି $7432 - 2347 = 5085$ । ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟିର ସମଷ୍ଟି $9779$ ଅଟେ । ଚାରୋଟି ଅଙ୍କ ବାଛ ଯେପରି :

a) ବୃହତ୍ତମ ଏବଂ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଅନ୍ତର $5085$ ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ହେଉଥିବ ।

b) ବୃହତ୍ତମ ଓ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ତର $5085$ ଠାରୁ କମ୍ ।

c) ବୃହତ୍ତମ ଓ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟିର ସମଷ୍ଟି $9779$ ଠାରୁ ବେଶୀ ।

d) ବୃହତ୍ତମ ଓ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟିର ସମଷ୍ଟି $9779$ ଠାରୁ କମ୍ ।

Answer 1 💡: (a) ଅନ୍ତର $5085$ ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର: ଧରାଯାଉ ଆମେ ବାଛିଥିବା $4$ ଟି ଅଙ୍କ ହେଲା $1, 2, 8, 9$। ଏହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟା $9821$ ଓ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା $1289$ ହେବ।

ଅନ୍ତର = $9821 - 1289 = 8532$ (ଯାହାକି $5085$ ଠାରୁ ବଡ଼ ଅଟେ)।

(b) ଅନ୍ତର $5085$ ଠାରୁ କମ୍: ଧରାଯାଉ ଆମେ ବାଛିଥିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ହେଲା $5, 6, 7, 8$। ଏହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟା $8765$ ଓ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା $5678$ ହେବ।

ଅନ୍ତର = $8765 - 5678 = 3087$ (ଯାହାକି $5085$ ଠାରୁ ସାନ ଅଟେ)।

© ସମଷ୍ଟି $9779$ ଠାରୁ ବେଶୀ: ଧରାଯାଉ ଆମେ ବାଛିଥିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ହେଲା $6, 7, 8, 9$। ଏହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟା $9876$ ଓ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା $6789$ ହେବ।

ସମଷ୍ଟି = $9876 + 6789 = 16665$ (ଯାହାକି $9779$ ଠାରୁ ବଡ଼ ଅଟେ)।

(d) ସମଷ୍ଟି $9779$ ଠାରୁ କମ୍: ଧରାଯାଉ ଆମେ ବାଛିଥିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ହେଲା $1, 2, 3, 4$। ଏହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟା $4321$ ଓ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା $1234$ ହେବ।

ସମଷ୍ଟି = $4321 + 1234 = 5555$ (ଯାହାକି $9779$ ଠାରୁ ସାନ ଅଟେ)।

Question 2 ❓: $5$ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଏବଂ ବୃହତ୍ତମ ପଲିଣ୍ଡ୍ରୋମ ଦୁଇଟିର ସମଷ୍ଟି କେତେ ? ସେମାନଙ୍କ ଭିତରେ ଅନ୍ତର କେତେ ?

Answer 2 💡:

• $5$ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ପଲିଣ୍ଡ୍ରୋମ = $10001$ (ଯାହା ଉଭୟ ପଟୁ ପଢିଲେ ସମାନ)

• $5$ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ତମ ପଲିଣ୍ଡ୍ରୋମ = $99999$

• ସମଷ୍ଟି = $99999 + 10001 = 110000$

• ଅନ୍ତର = $99999 - 10001 = 89998$

Question 3 ❓: ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୟ ହେଉଛି $10:01$ ଆଉ କେତେ ମିନିଟ୍ ପରେ ଘଣ୍ଟାରେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ପଲିଣ୍ଡ୍ରୋମିକ୍ ସମୟ ଆସିବ ? ତା’ପରେ ଆଉ କେତେ ସମୟ ପରେ ?

Answer 3 💡:

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୟ ହେଉଛି $10:01$

• ଏହା ପରେ ଆସୁଥିବା ପରବର୍ତ୍ତୀ ପଲିଣ୍ଡ୍ରୋମିକ୍ ସମୟ ହେଉଛି $11:11$ ।

  $10:01$ ରୁ $11:11$ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ ହେଉଛି $70$ ମିନିଟ୍ (ଅର୍ଥାତ୍ $1$ ଘଣ୍ଟା $10$ ମିନିଟ୍)।

• $11:11$ ପରେ ଆସୁଥିବା ପରବର୍ତ୍ତୀ ପଲିଣ୍ଡ୍ରୋମିକ୍ ସମୟ ହେଉଛି $12:21$ ।

  $11:11$ ରୁ $12:21$ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ ମଧ୍ୟ ହେଉଛି $70$ ମିନିଟ୍।

Question 4 ❓: କାପ୍ରେକର ସ୍ଥିରାଙ୍କରେ ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ $5683$ ସଂଖ୍ୟା କେତେ ଥର ନେବ ?

Answer 4 💡: କାପ୍ରେକର ସ୍ଥିରାଙ୍କରେ ($6174$) ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ ଆସନ୍ତୁ କ୍ରମାଗତ ବିୟୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା କରିବା:

• Step 1: $8653 - 3568 = 5085$

• Step 2: $8550 - 0558 = 7992$

• Step 3: $9972 - 2799 = 7173$

• Step 4: $7731 - 1377 = 6354$

• Step 5: $6543 - 3456 = 3087$

• Step 6: $8730 - 0378 = 8352$

• Step 7: $8532 - 2358 = 6174$ (କାପ୍ରେକର ସ୍ଥିରାଙ୍କ ମିଳିଗଲା)

ତେଣୁ, $5683$ ସଂଖ୍ୟାଟି କାପ୍ରେକର ସ୍ଥିରାଙ୍କରେ ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ ସମୁଦାୟ $7$ ଥର ନେବ।

ନିଜେ କରି ଦେଖ
Page No -66

ଏଠାରେ ତୁମେ ଦେଇଥିବା ଫଟୋରେ ଥିବା ପ୍ରଶ୍ନର ସଠିକ୍ ସମାଧାନ ଦିଆଗଲା। ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ଅନୁଯାୟୀ ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଉତ୍ତରକୁ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଇଂରାଜୀ ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ସଜାଯାଇଛି। 📝✨

Question 1 ❓: ମଝିରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଆମେ $1000$ କରିପାରିବା କି ? କାହିଁକି ନୁହେଁ ?

Answer 1 💡: କେବଳ ଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା ବ୍ୟବହାର କରି ଆମେ ମଝି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ($400, 1500, 13000, 25000, 60000$) ରୁ $1000$ ଗଠନ କରିପାରିବା ନାହିଁ।

କାରଣ: $1000$ ପାଇବାକୁ ହେଲେ ଆମକୁ କେବଳ ସବୁଠାରୁ ସାନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ($400$ କିମ୍ବା $1500$) ବ୍ୟବହାର କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ, କାରଣ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ବହୁତ ବଡ଼। ଏଠାରେ $1500$ ନିଜେ $1000$ ଠାରୁ ବଡ଼ ହୋଇଥିବାରୁ ତାହାକୁ ଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ବ୍ୟବହାର କରିହେବ ନାହିଁ। ବାକି ରହିଲା $400$। ଯଦି ଆମେ $400$ କୁ ଦୁଇଥର ଯୋଗ କରିବା, ତେବେ ଏହା $800$ ହେବ ଏବଂ ତିନିଥର ଯୋଗ କଲେ ଏହା $1200$ ହେବ। କୌଣସି ପରିସ୍ଥିତିରେ ବି ଏହା ଠିକ୍ $1000$ ସହ ସମାନ ହେବ ନାହିଁ। ତେଣୁ ଏହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।

Question 2 ❓: $14000$, $15000$ ଏବଂ $16000$ କରିପାରିବା କି ? ହଁ, ଏହା ସମ୍ଭବ | କେଉଁ ସବୁ ହଜାର କରିପାରିବା ନାହିଁ ?

Answer 2 💡: ହଁ, ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଆମେ ଏହି ସବୁ ସଂଖ୍ୟା ଗଠନ କରିପାରିବା। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ:

• $14000$ କରିବା: $14000 = (1500 \times 8) + (400 \times 5) = 12000 + 2000$

• $15000$ କରିବା: $15000 = 1500 \times 10$

• $16000$ କରିବା: $16000 = 13000 + 1500 + 1500$

କେଉଁ ସବୁ ହଜାର କରିପାରିବା ନାହିଁ ?

ଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା ବ୍ୟବହାର କରି ଆମେ କେବଳ $1000$ ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ହଜାର ସଂଖ୍ୟା (ଯେପରିକି $2000, 3000, 4000$ ଇତ୍ୟାଦି) କରିପାରିବା!

କାରଣ: ଆମେ $400$ କୁ $5$ ଥର ନେଲେ $2000$ ପାଇବା ଏବଂ $1500$ କୁ $2$ ଥର ନେଲେ $3000$ ପାଇବା। ଥରେ ଆମେ $2000$ ଏବଂ $3000$ ପାଇଗଲେ, ଏହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ବାରମ୍ବାର ମିଶାଇ ଆମେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଯେକୌଣସି ହଜାର ସଂଖ୍ୟା ସହଜରେ ଗଠନ କରିପାରିବା (ଯେପରିକି $4000 = 2000 + 2000$, $5000 = 2000 + 3000$ ଇତ୍ୟାଦି)। ତେଣୁ ଏହି ଖେଳରେ କେବଳ $1000$ ହିଁ ଏକମାତ୍ର “ହଜାର” ଯାହାକୁ ଗଠନ କରିବା ଅସମ୍ଭବ।

ଆସ ବୁଝିବା
Page No -66
Question 1 ❓: ଆସ ବୁଝିବା: ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରିସ୍ଥିତି ପାଇଁ ଏକ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉଦାହରଣ ଦିଅ । (ଚିତ୍ରରେ ଥିବା 10 ଟି ବାକ୍ସର ସମାଧାନ)

Answer 1 💡:

• ପରିସ୍ଥିତି 1: ଦୁଇଟି 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ନିଅ, ଯାହାର ସମଷ୍ଟି ଏକ 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ 90,250 ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ।

  • ଉଦାହରଣ: $45000 + 46000 = 91000$

• ପରିସ୍ଥିତି 2: 5 ଅଙ୍କ ଓ 3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି 6 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ।

  • ଉଦାହରଣ: $99500 + 600 = 100100$

• ପରିସ୍ଥିତି 3: 4 ଅଙ୍କ ଓ 4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ଗୋଟିଏ 6 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ।

  • ଉତ୍ତର: ଏହା ଅସମ୍ଭବ ଅଟେ। (କାରଣ ସର୍ବବୃହତ୍ତ 4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟିର ଯୋଗଫଳ $9999 + 9999 = 19998$, ଯାହାକି ଏକ 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା)।

• ପରିସ୍ଥିତି 4: 5 ଅଙ୍କ ଓ 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ଏକ 6 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ।

  • ଉଦାହରଣ: $50000 + 60000 = 110000$

• ପରିସ୍ଥିତି 5: ଦୁଇଟି 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି 18,500 ।

  • ଉତ୍ତର: ଏହା ଅସମ୍ଭବ ଅଟେ। (କାରଣ ସବୁଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 10,000, ତେଣୁ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ମିଶାଇଲେ ସର୍ବନିମ୍ନ ସମଷ୍ଟି $10000 + 10000 = 20000$ ହେବ, ଯାହା 18,500 ଠାରୁ ବଡ଼)।

• ପରିସ୍ଥିତି 6: ଦୁଇଟି 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଅନ୍ତର, 56,503 ଠାରୁ କମ୍ ।

  • ଉଦାହରଣ: $50000 - 40000 = 10000$

• ପରିସ୍ଥିତି 7: (5 ଅଙ୍କ) - (3 ଅଙ୍କ) ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଅନ୍ତର = 4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ।

  • ଉଦାହରଣ: $10000 - 500 = 9500$

• ପରିସ୍ଥିତି 8: (5 ଅଙ୍କ) - (4 ଅଙ୍କ) ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଅନ୍ତର = 4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ।

  • ଉଦାହରଣ: $12000 - 3000 = 9000$

• ପରିସ୍ଥିତି 9: (5 ଅଙ୍କ) - (5 ଅଙ୍କ) ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଅନ୍ତର = 3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ।

  • ଉଦାହରଣ: $50500 - 50000 = 500$

• ପରିସ୍ଥିତି 10: (5 ଅଙ୍କ) - (5 ଅଙ୍କ) ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଅନ୍ତର = 91,500 ।

  • ଉତ୍ତର: ଏହା ଅସମ୍ଭବ ଅଟେ। (କାରଣ 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ସର୍ବାଧିକ ଅନ୍ତର $99999 - 10000 = 89999$ ଅଟେ। ଏହା କେବେବି 91,500 ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ)।

:** ତୁମେ ସମସ୍ତ ପରିସ୍ଥିତି ପାଇଁ ଉଦାହରଣ ଦେଇପାରିବ କି ? ଯଦି ନୁହେଁ, ତେବେ ଏହାର କାରଣ କ’ଣ ହୋଇପାରେ ଚିନ୍ତାକର ଏବଂ ଆଲୋଚନା କର ।

Answer 💡: ନାଁ, ଆମେ ସମସ୍ତ ପରିସ୍ଥିତି ପାଇଁ ଉଦାହରଣ ଦେଇପାରିବା ନାହିଁ। ଏହାର କାରଣ ହେଉଛି କିଛି ପରିସ୍ଥିତି ଗାଣିତିକ ନିୟମ ଅନୁସାରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅସମ୍ଭବ ଅଟେ। (ଯେପରି ପରିସ୍ଥିତି 3, 5 ଏବଂ 10 ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି)।

Question 2 ❓: ନିମ୍ନରେ କିଛି ଉକ୍ତି ଦିଆଯାଇଛି । ଚିନ୍ତାକର, ଅନୁସନ୍ଧାନ କର ଏବଂ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରି ଲେଖ, ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉକ୍ତି “ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ” ବା “ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ” ବା “କଦାପି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ” ।

a) (5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା) + (5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା) = 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ।

b) (4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା) + (2 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା) = 4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ।

c) (4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା) + (2 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା) = 6 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ।

d) (5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା) - (5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା) = 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ।

e) (5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା) - (2 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା) = 3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ।

Answer 2 💡:

• a) ଏହା ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ ଅଟେ।

  (କାରଣ: $10000 + 10000 = 20000$ କଲେ ତାହା 5 ଅଙ୍କ ହୁଏ, କିନ୍ତୁ $60000 + 60000 = 120000$ କଲେ ତାହା 6 ଅଙ୍କ ହୋଇଯାଏ)।

• b) ଏହା ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ ଅଟେ।

  (କାରଣ: $1000 + 10 = 1010$ କଲେ ତାହା 4 ଅଙ୍କ ହୁଏ, କିନ୍ତୁ $9990 + 20 = 10010$ କଲେ ତାହା 5 ଅଙ୍କ ହୋଇଯାଏ)।

• c) ଏହା କଦାପି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।

  (କାରଣ: ସର୍ବବୃହତ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ନେଲେ ମଧ୍ୟ ସମଷ୍ଟି $9999 + 99 = 10098$ ହେବ, ଯାହା ଏକ 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା, 6 ଅଙ୍କ କେବେବି ହେବ ନାହିଁ)।

• d) ଏହା ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ ଅଟେ।

  (କାରଣ: $90000 - 10000 = 80000$ କଲେ ତାହା 5 ଅଙ୍କ ରହେ, କିନ୍ତୁ $20000 - 15000 = 5000$ କଲେ ତାହା 4 ଅଙ୍କ ହୋଇଯାଏ)।

• e) ଏହା କଦାପି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।

  (କାରଣ: ସବୁଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ 5 ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସର୍ବବୃହତ୍ତ 2 ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ମଧ୍ୟ ସର୍ବନିମ୍ନ ଫଳାଫଳ $10000 - 99 = 9901$ ମିଳିବ, ଯାହାକି 4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା। ଏହା କେବେବି 3 ଅଙ୍କ ହେବ ନାହିଁ)।

3.9
Page No -67 TO 68
Question ❓: ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାକୁ କିଛି ସଂରଚନାରେ ସଜା ଯାଇଛି । ନିମ୍ନରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ସେଗୁଡିକ ଆମେ ଗୋଟିଏ ପରେ ଗୋଟିଏ ମିଶାଇବା ଉଚିତ୍ ନା ଶୀଘ୍ର କରିପାରିବା ପାଇଁ ଆଉ କିଛି ଉପାୟ ଅଛି ?

Answer 💡: ଗୋଟିଏ ପରେ ଗୋଟିଏ ମିଶାଇବା (ଯେପରିକି $40+40+40...$) ବହୁତ ସମୟ ନେବ ଏବଂ ଭୁଲ୍ ହେବାର ସମ୍ଭାବନା ମଧ୍ୟ ଥାଏ। ଶୀଘ୍ର ଉତ୍ତର ପାଇବା ପାଇଁ ଆମେ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଏବଂ ସଂରଚନା (Pattern) ର ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବା।

(a) କ ଚିତ୍ରର ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ ଆମେ ଧାଡ଼ି (row) ଅନୁସାରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଗଣି ସହଜରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବା:

• 40 ର ହିସାବ: ଚିତ୍ରରେ 3 ଟି ଧାଡ଼ିରେ ‘40’ ଅଛି ଏବଂ ପ୍ରତି ଧାଡ଼ିରେ 4 ଟି ଲେଖାଏଁ ‘40’ ଅଛି।

  ମୋଟ ‘40’ ର ସଂଖ୍ୟା = $3 \times 4 = 12$ ଟି।

  ସେଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = $12 \times 40 = 480$

• 

  50 ର ହିସାବ: ଚିତ୍ରରେ 2 ଟି ଧାଡ଼ିରେ ‘50’ ଅଛି ଏବଂ ପ୍ରତି ଧାଡ଼ିରେ 5 ଟି ଲେଖାଏଁ ‘50’ ଅଛି।

  ମୋଟ ‘50’ ର ସଂଖ୍ୟା = $2 \times 5 = 10$ ଟି।

  ସେଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = $10 \times 50 = 500$

• ସର୍ବମୋଟ ସମଷ୍ଟି = $480 + 500 = 980$

(b) ଖ ଚିତ୍ରର ସମାଧାନ:

ଏହି ଚିତ୍ରରେ ଛୋଟ ଛୋଟ ବିନ୍ଦୁ (dots) ଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ଗୋଟିଏ ବଡ଼ ବର୍ଗାକାର ସଂରଚନା ତିଆରି କରାଯାଇଛି। ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ ଗଣିବା ବଦଳରେ ଆମେ ଦୁଇଟି ସହଜ ଉପାୟ ଆପଣେଇ ପାରିବା:

• ଉପାୟ 1 (ବାକ୍ସ ଗଣନା): ଯଦି ଆମେ ଧ୍ୟାନ ଦେବା, ଦେଖିବା ଯେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଛୋଟ ରଙ୍ଗୀନ ବାକ୍ସ (ଗୋଲାପୀ ବା ନୀଳ) ଭିତରେ $3 \times 3 = 9$ ଟି ବିନ୍ଦୁ ଅଛି।

  ଚିତ୍ରରେ ମୋଟ 5 ଟି ଗୋଲାପୀ ବାକ୍ସ ଏବଂ 4 ଟି ନୀଳ ବାକ୍ସ (ଅର୍ଥାତ୍ ମୋଟ 9 ଟି ବାକ୍ସ) ଅଛି।

  ତେଣୁ, ସର୍ବମୋଟ ବିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା = $9 \text{ ବାକ୍ସ} \times 9 \text{ ବିନ୍ଦୁ} = 81$

• ଉପାୟ 2 (ଧାଡ଼ି ଓ ସ୍ତମ୍ଭ ଗଣନା): ଏହା ଏକ ବଡ଼ ବର୍ଗାକାର (Square grid) ଅଟେ। ଯଦି ଆମେ ଏହାର ଲମ୍ବ ଏବଂ ଓସାରକୁ ଗଣିବା, ତେବେ ଦେଖିବା ଯେ ଉପରୁ ତଳକୁ 9 ଟି ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ ବାମରୁ ଡାହାଣକୁ 9 ଟି ବିନ୍ଦୁ ଅଛି।

  ତେଣୁ, ସର୍ବମୋଟ ବିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା = $9 \times 9 = 81$
  📝✨

(ଗ) ତୃତୀୟ ଚିତ୍ରର ସମାଧାନ 🔲:

ଏଠାରେ ବାକ୍ସଗୁଡ଼ିକରେ $32$ ଏବଂ $64$ ଲେଖାଯାଇଛି। ଆମେ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଧାଡ଼ି ଓ ସ୍ତମ୍ଭ ଅନୁସାରେ ଗଣି ସହଜରେ ସମଷ୍ଟି ବାହାର କରିପାରିବା:

• $32$ ର ହିସାବ: ଉପରେ $4$ ଟି ଧାଡ଼ି ଅଛି ଏବଂ ପ୍ରତି ଧାଡ଼ିରେ $8$ ଟି ବାକ୍ସ ଅଛି।

  ମୋଟ $32$ ଥିବା ବାକ୍ସ = $4 \times 8 = 32$ ଟି।

  ସେଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = $32 \times 32 = 1024$

• $64$ ର ହିସାବ: ତଳ ଭାଗରେ ବାମ ପଟେ $4 \times 3 = 12$ ଟି ଏବଂ ଡାହାଣ ପଟେ $4 \times 1 = 4$ ଟି ବାକ୍ସ ଅଛି।

  ମୋଟ $64$ ଥିବା ବାକ୍ସ = $12 + 4 = 16$ ଟି।

  ସେଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = $16 \times 64 = 1024$

• ସର୍ବମୋଟ ସମଷ୍ଟି = $1024 + 1024 = 2048$

(ଘ) ଚତୁର୍ଥ ଚିତ୍ରର ସମାଧାନ 🎲:

ଏହା ଏକ $7 \times 5$ ଗ୍ରୀଡ୍ ଯେଉଁଥିରେ ମୋଟ $35$ ଟି ଛୋଟ ବାକ୍ସ ଅଛି। ଏହାକୁ ଆମେ ଦୁଇ ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରି ଗଣିପାରିବା:

• ମଝିର ନାଲି (Red) ବାକ୍ସ: ଏଠାରେ $5$ ଟି ଧାଡ଼ି ଓ $3$ ଟି ସ୍ତମ୍ଭ ଅଛି (ମୋଟ $15$ ବାକ୍ସ)।

  ଉପର $4$ ଟି ଧାଡ଼ିରେ ଥିବା $12$ ଟି ବାକ୍ସରେ $4$ ଟି ଲେଖାଏଁ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି $\rightarrow 12 \times 4 = 48$

  ସର୍ବନିମ୍ନ (ତଳ) ଧାଡ଼ିର $3$ ଟି ବାକ୍ସରେ $3$ ଟି ଲେଖାଏଁ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି $\rightarrow 3 \times 3 = 9$

  ନାଲି ବାକ୍ସର ମୋଟ ବିନ୍ଦୁ = $48 + 9 = 57$

• ବାହାରର ବାଇଗଣୀ (Purple) ବାକ୍ସ: (ମୋଟ $20$ ବାକ୍ସ)

  ୪ଟି କୋଣରେ ଥିବା ବାକ୍ସରେ ୩ଟି ଲେଖାଏଁ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି $\rightarrow 4 \times 3 = 12$

  ବାମ ଓ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ୧୦ଟି ବାକ୍ସରେ ୩ଟି ଲେଖାଏଁ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି $\rightarrow 10 \times 3 = 30$

  ଉପର ଓ ତଳ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ୬ଟି ମଝି ବାକ୍ସରେ ୨ଟି ଲେଖାଏଁ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି $\rightarrow 6 \times 2 = 12$

  ବାଇଗଣୀ ବାକ୍ସର ମୋଟ ବିନ୍ଦୁ = $12 + 30 + 12 = 54$

• ସର୍ବମୋଟ ବିନ୍ଦୁ ସମଷ୍ଟି = $57 + 54 = 111$

(ଙ) ପଞ୍ଚମ ଚିତ୍ରର ସମାଧାନ 🛑:

ଏହି ଚିତ୍ରଟି ଏକ ବଡ଼ ଷଡ଼ଭୁଜ (Hexagon) ଯାହାକି ଛୋଟ ଛୋଟ $24$ ଟି ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ ହୋଇଛି।

• ପ୍ରତି ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କରେ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖାଯାଇଛି (ଅର୍ଥାତ୍ ପ୍ରତି ତ୍ରିଭୁଜରେ ମୋଟ $3$ ଟି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି)।

• ଯଦି ଆମେ ଧ୍ୟାନ ଦେବା, ଦେଖିବା ଯେ ଅଧିକାଂଶ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $15, 25$ ଏବଂ $35$, ଯାହାର ସମଷ୍ଟି ହେଉଛି $15 + 25 + 35 = 75$।

• ବାହାର ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ନୀଳ ତ୍ରିଭୁଜଗୁଡ଼ିକର ନିଜସ୍ୱ ସମଷ୍ଟି ଟିକେ ଭିନ୍ନ ହେଲେ ମଧ୍ୟ, ସମଗ୍ର ଚିତ୍ରରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ସଜାଇଲେ ହାରାହାରି ଭାବେ ପ୍ରତି ତ୍ରିଭୁଜର ମୂଲ୍ୟ $75$ ହିଁ ଆସିଥାଏ।

• ତେଣୁ ଶୀଘ୍ର ହିସାବ କରିବା ପାଇଁ, $24$ ଟି ତ୍ରିଭୁଜର ସର୍ବମୋଟ ସମଷ୍ଟି = $24 \times 75 = 1800$

(ଚ) ଷଷ୍ଠ ଚିତ୍ରର ସମାଧାନ 🎯:

ଏହା ଏକ ବୃତ୍ତାକାର ସଂରଚନା ଯେଉଁଥିରେ କେନ୍ଦ୍ରରୁ ବାହାରକୁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ସଜାଯାଇଛି:

• କେନ୍ଦ୍ରରେ: ଗୋଟିଏ $1000$ ଅଛି $\rightarrow 1 \times 1000 = 1000$

• ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତ (Ring 1): $4$ ଟି $500$ ଅଛି $\rightarrow 4 \times 500 = 2000$

• ଦ୍ୱିତୀୟ ବୃତ୍ତ (Ring 2): $8$ ଟି $250$ ଅଛି $\rightarrow 8 \times 250 = 2000$

• ତୃତୀୟ ବୃତ୍ତ (Ring 3): $16$ ଟି $125$ ଅଛି $\rightarrow 16 \times 125 = 2000$

• ଏଠାରେ ଏକ ସୁନ୍ଦର ଗାଣିତିକ ସଂରଚନା ଦେଖିବାକୁ ମିଳୁଛି ଯେଉଁଥିରେ ପ୍ରତି ବୃତ୍ତର ସମଷ୍ଟି ସମାନ ($2000$) ଅଟେ!

• ସର୍ବମୋଟ ସମଷ୍ଟି = $1000 + 2000 + 2000 + 2000 = 7000$

Page No-76 to 77
ଆସ ବୁଝିବା :

1. ସାନନ୍ଦ ଗୁରୁଜୀଙ୍କୁ ଠିକ୍ ପରିମାଣର ମିଠା କିଣିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିବା ପାଇଁ ତଳ ସାରଣୀ ପୂରଣ କର :

❓ Question 1.କ a: କେତେ ଜଣ ଶିକ୍ଷାର୍ଥୀ ଜିଲାପି ବାଛିଥିଲେ ?

💡 Answer .a: $6$ ଜଣ , $\cancel{||||} \quad |$

❓ Question ଖ .b: କେତେ ଜଣ ଶିକ୍ଷାର୍ଥୀ ବର୍ଫି ବାଛିଥିଲେ ?

💡 Answer 1.b: $3$ ଜଣ, $|||$

❓ Question 1. ଗ c: କେତେ ଜଣ ଶିକ୍ଷାର୍ଥୀ ଛେନା ଗଜା ବାଛିଥିଲେ ?

💡 Answer 1.c: $13$ ଜଣ , $\cancel{||||} \quad \cancel{||||} \quad |||$

❓ Question 1.ଘ d: କେତେ ଜଣ ଶିକ୍ଷାର୍ଥୀ ରସଗୋଲା ବାଛିଥିଲେ ?

💡 Answer 1.d: $7$ ଜଣ, $\cancel{||||} \quad ||$

❓ Question 1.ଊ e: କେତେ ଜଣ ଶିକ୍ଷାର୍ଥୀ ଗୁଲାବ ଜାମୁନ ବାଛିଥିଲେ ?

💡 Answer 1.e: $9$ ଜଣ
ଏଠାରେ ତୁମେ ଦେଇଥିବା ଫଟୋର ପ୍ରଶ୍ନ ଏବଂ ତାହାର ଉତ୍ତର ଓଡ଼ିଆରେ ଦିଆଗଲା:

❓ Question 2: ଉପରୋକ୍ତ ସାରଣୀ ଦେଖି ପିଲାମାନଙ୍କର ପସନ୍ଦ ଅନୁଯାୟୀ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରକାରର ମିଠା ବଣ୍ଟନ କରିବା ପାଇଁ ଯଥେଷ୍ଟ କି ? ଆଲୋଚନା କର । ଯଦି ଏହା ଯଥେଷ୍ଟ ନୁହେଁ, ତେବେ ଆଉ କ’ଣ କରାଯାଇ ପାରିବ ?

💡 Answer 2: ନା, କେବଳ ଉପରୋକ୍ତ ସାରଣୀଟି ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରକାରର ମିଠାକୁ ସଠିକ୍ ପିଲାଙ୍କୁ ବାଣ୍ଟିବା ପାଇଁ ଯଥେଷ୍ଟ ନୁହେଁ । ଏହି ସାରଣୀ କେବଳ କେଉଁ ମିଠାକୁ କେତେ ଜଣ ପିଲା ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି ତାହାର ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା ଦର୍ଶାଉଛି, କିନ୍ତୁ କେଉଁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପିଲା କେଉଁ ମିଠା ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି ତାହା ଜଣାପଡୁନାହିଁ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ପିଲା ଯେପରି ନିଜ ପସନ୍ଦର ଠିକ୍ ମିଠା ପାଆନ୍ତି ତାହା ନିଶ୍ଚିତ କରିବା ପାଇଁ, ଆମକୁ ଏକ ବିସ୍ତୃତ ତାଲିକାର ଆବଶ୍ୟକତା ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପିଲାଙ୍କ ନାମ ସହିତ ସେମାନଙ୍କ ପସନ୍ଦର ମିଠାର ନାମ ଲେଖାହୋଇଥିବ ।